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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:59 Do 25.04.2013 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | 1) Zeige, dass eine Produktmannigfaltigkeit genau dann orientierbar ist, wenn beide Faktoren es sind.
2) Zeige, dass das Tangentialbündel stets orientierbar ist. |
Hallöle!
Wir arbeiten mit folgender Definition von Orientierbarkeit:
Definition: Eine Mannigfaltigkeit heißt orientierbar, wenn jeder Punkt eine kleine Umgebung hat, sodass es auf dieser stetige Schnitte [mm] f_{1},...,f_{n} [/mm] des Tangentialbündels gibt, derart, dass sie an jedem Punkt eine orientierte Basis der gewählten Orientierung der Tangentialräume bilden.
Es ist klar, dass wenn X und Y orientierbare Mannigfaltigkeiten sind, dass dann auch X [mm] \times [/mm] Y orientierbar ist. Aber wie zeige ich ausgehend von der Orientierbarkeit von X times Y, dass auch X und Y orientierbar sind?
Das heißt ja erstmal, dass ich zu dem Paar (x,y) eine Umgebung U finde und Schnitte [mm] f_{1},...,f_{m+n}, [/mm] sodass sie an jedem Punkt eine orientierte Basis von [mm] T_{(a,b)}(X \times Y)=T_{a}(X) \times T_{b}(Y) [/mm] bilden. In U ist natürlich eine Produktumgebung [mm] U_{X}\times U_{Y} [/mm] enthalten, aber wie mach ich jetzt aus den Schnitten [mm] f_{i} [/mm] passende Schnitte? Ich kann doch nicht einmal sagen, dass die ersten n immer im X-Teil liegen und die anderen m im Y? Und wie kann ich dann auch noch was über die Orientierung von Subbasen aussagen?
Bei 2) hab ich so garkeine Idee, wie man auf solche Schnitte kommen könnte. Es gibt wohl geeignetäre Definitionen von Orientierbarkeit, um dies zu beweisen, nur leider weiß ich auch nicht wie ich die Äquivalenzen dieser Definitionen zeige. Ist es irgendwie möglich über den Standardatlas des Tangentialbündels, der ja aus Karten der Form ( h Karte für X)
[mm] T(h)\colon [/mm] T(U) [mm] \to [/mm] V [mm] \times \mathbb{R}^{n}
[/mm]
(x,v) [mm] \mapsto [/mm] ( h(x), [mm] T_{x} [/mm] h (v))
solche Schnitte zu konstruieren?
Oder ist das TB lokal nicht einfach U [mm] \times \mathbb{R}^{n} [/mm] und darüber dann U [mm] \times \IR^{n} \times \IR^{2 n}
[/mm]
wären dann [mm] f_{i}(x,v):=(x,v,e_{i}) [/mm] 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] 2 n
mit [mm] e_{i} [/mm] Standardbasisvektor nicht stetige Schnitte des Tangentialbündels, die überall positiv orientiert sind?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Sa 27.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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