orientierbare Flächen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | (i) Eine orientierbare Fläche ist genau dann zusammenhängend, wenn sie genau zwei Orientierungen besitzt.
(ii) Jede Fläche die durch eine einzige Karte beschrieben werden kann, ist orientierbar. |
Hallo,
diese Aussagen sind wohl nur "Trivialitäten" und deshalb in der Literatur nicht ausführlich begründet - nur für mich leider nicht so einsichtlich. Könnt ihr mir helfen das einzusehen?
zu (i)
1. )
F sei also zusammenhängend und (A, [mm] \phi), [/mm] (B, [mm] \psi) [/mm] zwei Parameterdarstellungen des Flächenstücks F. Es gibt einen Satz, der dann sagt, dass eine top.stetige Abb. [mm] \chi: [/mm] A -> B existiert, mit [mm] det(\frac{d \phi}{dt_j}) \not= [/mm] 0 auf A und [mm] \phi [/mm] = [mm] \chi [/mm] o [mm] \psi.
[/mm]
Ist das der richtige Ansatz?
Kann man dann sagen, weil die det [mm] \not= [/mm] 0 ist, verschwindet [mm] \phi [/mm] nirgendwo, also ist [mm] \phi(m) \not= [/mm] 0 für alle m [mm] \in [/mm] F, d.h. [mm] \phi(m) [/mm] > 0 oder [mm] \phi(m) [/mm] < 0. Dann ist " [mm] \phi [/mm] entweder zu - [mm] \psi [/mm] oder [mm] \psi [/mm] äquivalent". Was bedeutet das äquivalent hier? Weil daraus kann man ja dann angeblich schließen, dass F genau zwei Orientierungen besitzt ?
2.)
Die Idee ist hier wohl F als nicht zusammenhängend anzunehmen und dann zu zeigen, dass F mehr als zwei Orientierungen besitzt. Dann betrachtet man
[mm] \psi(m) [/mm] = [mm] \begin{cases} \phi(m), & \mbox{für } m \in X \\ -\phi(m), & \mbox{für } m \in F \setminus X \end{cases}
[/mm]
wobei X eine nichtleere, offene, abgl Teilmenge von F ist.
Das versteh ich nicht, warum folgt daraus dass F mehr als zwei Orientierungen hat? Oder kann man das alles einfacher zeigen?
Und wie kann ich die zweite Aussage begründen?
Also laut Definition gilt:
F heißt orientierbar, wenn es eine Überdeckung durch Flächenstücke [mm] F_i [/mm] gibt mit verträglichen Paraeterdarstellungen [mm] (A_i, \phi_i), [/mm] d.h.
[mm] F_i \cap F_j \not= \emptyset \Rightarrow det(\frac{d(\chi_{ij})_k}{dt_i}) [/mm] >0 mit
[mm] \chi_{ij}: \phi^{-1} (F_i \cap F_j) \rightarrow \phi_j^{-1}(F_i \cap F_j).
[/mm]
Und eine Karte ist so eine Parameterdarstellung, hab ich das richtig verstanden?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:34 Fr 11.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> (i) Eine orientierbare Fläche ist genau dann
> zusammenhängend, wenn sie genau zwei Orientierungen
> besitzt.
>
> (ii) Jede Fläche die durch eine einzige Karte beschrieben
> werden kann, ist orientierbar.
> Hallo,
> diese Aussagen sind wohl nur "Trivialitäten" und deshalb
> in der Literatur nicht ausführlich begründet - nur für mich
> leider nicht so einsichtlich. Könnt ihr mir helfen das
> einzusehen?
>
> zu (i)
> 1. )
> F sei also zusammenhängend und (A, [mm]\phi),[/mm] (B, [mm]\psi)[/mm] zwei
> Parameterdarstellungen des Flächenstücks F. Es gibt einen
> Satz, der dann sagt, dass eine top.stetige Abb. [mm]\chi:[/mm] A ->
> B existiert, mit [mm]det(\frac{d \phi}{dt_j}) \not=[/mm] 0 auf A und
> [mm]\phi[/mm] = [mm]\chi[/mm] o [mm]\psi.[/mm]
> Ist das der richtige Ansatz?
> Kann man dann sagen, weil die det [mm]\not=[/mm] 0 ist,
> verschwindet [mm]\phi[/mm] nirgendwo, also ist [mm]\phi(m) \not=[/mm] 0 für
> alle m [mm]\in[/mm] F, d.h. [mm]\phi(m)[/mm] > 0 oder [mm]\phi(m)[/mm] < 0.
So stimmt das nicht; die Aussage [mm]\phi(m) > 0[/mm] ergibt keinen Sinn.
Überlege dir mal, was aus [mm]det(\frac{d \phi}{dt_j}) \not= 0[/mm] folgt, indem du [mm]\phi=\psi\circ\chi[/mm] einsetzt. Du bekommst eine Aussage über Jacobiterminanten von [mm] $\chi$ [/mm] und [mm] $\psi$. [/mm] Kann die Jacobideterminante von [mm] $\chi$ [/mm] 0 werden?
> 2.)
> Die Idee ist hier wohl F als nicht zusammenhängend
> anzunehmen und dann zu zeigen, dass F mehr als zwei
> Orientierungen besitzt. Dann betrachtet man
> [mm]\psi(m)[/mm] = [mm]\begin{cases} \phi(m), & \mbox{für } m \in X \\ -\phi(m), & \mbox{für } m \in F \setminus X \end{cases}[/mm]
>
> wobei X eine nichtleere, offene, abgl Teilmenge von F ist.
Aber nicht eine beliebige Teilmenge! Nicht zusammenhängend bedeutet, dass F in (mindestens) zwei offene oder abgeschlossene nichtleere disjunkte Teilmengen zerfällt. Stell dir F als zwei Flächenstücke vor, die einen Meter auseinander liegen. Wie kannst du die Orientierung der beiden Teile wählen?
> Und wie kann ich die zweite Aussage begründen?
> Also laut Definition gilt:
> F heißt orientierbar, wenn es eine Überdeckung durch
> Flächenstücke [mm]F_i[/mm] gibt mit verträglichen
> Paraeterdarstellungen [mm](A_i, \phi_i),[/mm] d.h.
> [mm]F_i \cap F_j \not= \emptyset \Rightarrow det(\frac{d(\chi_{ij})_k}{dt_i})[/mm]
> >0 mit
> [mm]\chi_{ij}: \phi^{-1} (F_i \cap F_j) \rightarrow \phi_j^{-1}(F_i \cap F_j).[/mm]
>
> Und eine Karte ist so eine Parameterdarstellung, hab ich
> das richtig verstanden?
Ja, wobei eine Karte immer bijektiv sein muss. Eine Parameterdarstellung muss das nicht unbedingt sein.
Du kannst hier für alle Flächenstücke [mm] $F_j$ [/mm] dieselbe Parameterdarstellung wählen.
Viele Grüße,
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo Rainer,
vielen Dank für die Erklärungen.
>
> > (i) Eine orientierbare Fläche ist genau dann
> > zusammenhängend, wenn sie genau zwei Orientierungen
> > besitzt.
> >
> > (ii) Jede Fläche die durch eine einzige Karte beschrieben
> > werden kann, ist orientierbar.
> Überlege dir mal, was aus [mm]det(\frac{d \phi}{dt_j}) \not= 0[/mm]
> folgt, indem du [mm]\phi=\psi\circ\chi[/mm] einsetzt. Du bekommst
> eine Aussage über Jacobiterminanten von [mm]\chi[/mm] und [mm]\psi[/mm]. Kann
> die Jacobideterminante von [mm]\chi[/mm] 0 werden?
AH, die Jacobidet. von [mm] \chi [/mm] ist ungleich Null. In dem Satz steht auch schon [mm] det(\frac{d \chi_i}{ dt_j}) \not= [/mm] 0, hab das falsch getippt, sorry. Also d.h. ja dass Determinante dieser Jacobimatrix entweder <0 oder >0 ist.
Hm, aber wie kann ich jetzt schließen, dass nicht beide positiv oder beide negativ sind ?
Es gilt ja [mm] \chi [/mm] = [mm] \psi^{-1} [/mm] o [mm] \phi. [/mm] Kann man deshalb sagen, dass wegen "hoch -1" die eine positiv, die andre negativ sein muss?
Könnt man dann eigentlich nicht auch gerade die Rückrichtung zeigen, dass wenn die Fläche genau 2 Orientierungen besitzt, sie zusammehängend ist?
> Aber nicht eine beliebige Teilmenge! Nicht zusammenhängend
> bedeutet, dass F in (mindestens) zwei offene oder
> abgeschlossene nichtleere disjunkte Teilmengen zerfällt.
> Stell dir F als zwei Flächenstücke vor, die einen Meter
> auseinander liegen. Wie kannst du die Orientierung der
> beiden Teile wählen?
Das versteh ich noch nicht. Wie viele Orientierungen kann eine Fläche eigentlich besitzen? Ich hab das Bsp. gelesen, dass das Möbiusband keine Orientierung hat, das ist irgendwie auch einleuchtend. Aber wie kann ich mir das bei einer "normalen" Fläche vorstellen? Und wie viele Parameterdarstellungen kann eine Fläche/ ein Flächenstück grundsätzlich haben?
> Ja, wobei eine Karte immer bijektiv sein muss. Eine
> Parameterdarstellung muss das nicht unbedingt sein.
> Du kannst hier für alle Flächenstücke [mm]F_j[/mm] dieselbe
> Parameterdarstellung wählen.
Hm, aber was bedeutet dann [mm] \chi: \phi^{-1}(F_i \cap F_j) \rightarrow \phi^{-1}(F_i \cap F_j)?
[/mm]
Dann hab ich eine bijektive Parameterdarstellung und wie kann ich zeigen dass sie mit sich selbst verträglich ist, also dass die Determinante der Jacobimatrix > 0 ist?
Sorry für die vielen Fragen...
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:41 Sa 12.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Hallo Rainer,
> vielen Dank für die Erklärungen.
> >
> > > (i) Eine orientierbare Fläche ist genau dann
> > > zusammenhängend, wenn sie genau zwei Orientierungen
> > > besitzt.
> > >
> > > (ii) Jede Fläche die durch eine einzige Karte beschrieben
> > > werden kann, ist orientierbar.
> > Überlege dir mal, was aus [mm]det(\frac{d \phi}{dt_j}) \not= 0[/mm]
> > folgt, indem du [mm]\phi=\psi\circ\chi[/mm] einsetzt. Du bekommst
> > eine Aussage über Jacobiterminanten von [mm]\chi[/mm] und [mm]\psi[/mm]. Kann
> > die Jacobideterminante von [mm]\chi[/mm] 0 werden?
> AH, die Jacobidet. von [mm]\chi[/mm] ist ungleich Null. In dem Satz
> steht auch schon [mm]det(\frac{d \chi_i}{ dt_j}) \not=[/mm] 0, hab
> das falsch getippt, sorry. Also d.h. ja dass Determinante
> dieser Jacobimatrix entweder <0 oder >0 ist.
> Hm, aber wie kann ich jetzt schließen, dass nicht beide
> positiv oder beide negativ sind ?
> Es gilt ja [mm]\chi[/mm] = [mm]\psi^{-1}[/mm] o [mm]\phi.[/mm] Kann man deshalb sagen,
> dass wegen "hoch -1" die eine positiv, die andre negativ
> sein muss?
Wie hängt denn die Jacobideterminante von [mm] $\chi$ [/mm] mit der von [mm] $\psi$ [/mm] und [mm] $\phi$ [/mm] zusammen (Kettenregel und Satz über inverse Funktionen)?
Da [mm]\det(\frac{d \chi_i}{ dt_j}) \not= 0[/mm], müssen auch die Jacobideterminanten von [mm] $\phi$ [/mm] und [mm] $\psi$ [/mm] ungleich 0 sein. Und weil sie stetig sind....
> Könnt man dann eigentlich nicht auch gerade die
> Rückrichtung zeigen, dass wenn die Fläche genau 2
> Orientierungen besitzt, sie zusammehängend ist?
Bestimmt, aber der Weg unten erscheint mir einfacher.
> > Aber nicht eine beliebige Teilmenge! Nicht zusammenhängend
> > bedeutet, dass F in (mindestens) zwei offene oder
> > abgeschlossene nichtleere disjunkte Teilmengen zerfällt.
> > Stell dir F als zwei Flächenstücke vor, die einen Meter
> > auseinander liegen. Wie kannst du die Orientierung der
> > beiden Teile wählen?
> Das versteh ich noch nicht. Wie viele Orientierungen kann
> eine Fläche eigentlich besitzen? Ich hab das Bsp. gelesen,
> dass das Möbiusband keine Orientierung hat, das ist
> irgendwie auch einleuchtend. Aber wie kann ich mir das bei
> einer "normalen" Fläche vorstellen? Und wie viele
> Parameterdarstellungen kann eine Fläche/ ein Flächenstück
> grundsätzlich haben?
Parameterdarstellungen kann (und wird es) unendlich viele geben.
Zur Orientierbarkeit: das bedeutet einfach nur, dass ich festlegen kann, was "oben" und "unten" ist. Nimm ein Blatt Papier. Du Definierst die eine Seite als die Oberseite, die andere als die Unterseite. Ich definiere das genau umgekehrt. Das sind die beiden möglichen Orientierungen. Beide sind über eine Transformation verbunden, deren Jacobideterminante kleiner als 0 ist.
(Bei einer geschlossenen Fläche wie der Kugeloberfläche stellst du dir besser "außen" und "innen" statt "oben und" "unten" vor.)
Jetzt nimm zwei Blatt Papier. Wenn die mit Abstand nebeneinander liegen, hast du eine nicht zusammenhängende Fläche. Welche Möglichkeiten hast du, oben und unten zu definieren?
> > Du kannst hier für alle Flächenstücke [mm]F_j[/mm] dieselbe
> > Parameterdarstellung wählen.
> Hm, aber was bedeutet dann [mm]\chi: \phi^{-1}(F_i \cap F_j) \rightarrow \phi^{-1}(F_i \cap F_j)?[/mm]
[mm] $\phi$ [/mm] ist ja auf der gesamten Fläche definiert. Du kannst einfach [mm] $\chi [/mm] = id$ wählen, dann ist die Vorausssetzung erfüllt, denn die Determinante ist 1.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Sa 12.04.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Rainer,
vielen Dank für deine Antwort, du kannst wirklich gut erklären!! so langsam verstehe ich ein bisschen mehr davon... 
> Wie hängt denn die Jacobideterminante von [mm]\chi[/mm] mit der von
> [mm]\psi[/mm] und [mm]\phi[/mm] zusammen (Kettenregel und Satz über inverse
> Funktionen)?
Die Jacobideterminante von [mm] \chi [/mm] ist das Produkt der Jacobidet. von [mm] (\psi)^{-1} [/mm] und [mm] \phi, [/mm] nach der Kettenregel. Und der Inversensatz sagt, dass die Jacobimatrix von [mm] (\psi^{-1}) [/mm] ex. weil sie stetig ist?
> Da [mm]\det(\frac{d \chi_i}{ dt_j}) \not= 0[/mm], müssen auch die
> Jacobideterminanten von [mm]\phi[/mm] und [mm]\psi[/mm] ungleich 0 sein. Und
> weil sie stetig sind....
Hm, also das mit dem pos. oder negativ ist mir noch nicht klar...?
> Jetzt nimm zwei Blatt Papier. Wenn die mit Abstand
> nebeneinander liegen, hast du eine nicht zusammenhängende
> Fläche. Welche Möglichkeiten hast du, oben und unten zu
> definieren?
Naja, bei jeder Fläche 2, also insgesamt 4 Möglichkeiten? Also besitzt sie mehr als zwei Orientierungen.
> [mm]\phi[/mm] ist ja auf der gesamten Fläche definiert. Du kannst
> einfach [mm]\chi = id[/mm] wählen, dann ist die Vorausssetzung
> erfüllt, denn die Determinante ist 1.
Dann ist die Det. der Jacobimatrix der Identität gleich 1 > 0 und damit ist sie nach Def. orientierbar?
Viele Grüße,
Riley
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Sa 12.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> vielen Dank für deine Antwort, du kannst wirklich gut
> erklären!! so langsam verstehe ich ein bisschen mehr
> davon...
Vielen Dank.
Ich finde es traurig, dass in den Vorlesungen sowenig anschaulich erklärt wird. Natürlich kann man nicht alle mathematischen Objekte wirklich anschaulich machen, aber die Orientierbarkeit von Flächen kann man sehr schön vorführen.
> > Wie hängt denn die Jacobideterminante von [mm]\chi[/mm] mit der von
> > [mm]\psi[/mm] und [mm]\phi[/mm] zusammen (Kettenregel und Satz über inverse
> > Funktionen)?
>
> Die Jacobideterminante von [mm]\chi[/mm] ist das Produkt der
> Jacobidet. von [mm](\psi)^{-1}[/mm] und [mm]\phi,[/mm] nach der Kettenregel.
Genau.
> Und der Inversensatz sagt, dass die Jacobimatrix von
> [mm](\psi^{-1})[/mm] ex. weil sie stetig ist?
Er sagt etwas über den Zusammenhang der Jacobideterminanten von [mm] $\psi$ [/mm] und [mm] $\psi^{-1}$.
[/mm]
> > Da [mm]\det(\frac{d \chi_i}{ dt_j}) \not= 0[/mm], müssen auch die
> > Jacobideterminanten von [mm]\phi[/mm] und [mm]\psi[/mm] ungleich 0 sein. Und
> > weil sie stetig sind....
>
> Hm, also das mit dem pos. oder negativ ist mir noch nicht
> klar...?
Die beiden Jacobideterminanten von [mm] $\phi$ [/mm] und [mm] $\psi$ [/mm] sind stetige Funktionen mit Werten in [mm] $\IR$. [/mm] Ihr Produkt darf nicht 0 werden. Können diese Funktionen ihr Vorzeichen wechseln?
> > Jetzt nimm zwei Blatt Papier. Wenn die mit Abstand
> > nebeneinander liegen, hast du eine nicht zusammenhängende
> > Fläche. Welche Möglichkeiten hast du, oben und unten zu
> > definieren?
>
> Naja, bei jeder Fläche 2, also insgesamt 4 Möglichkeiten?
> Also besitzt sie mehr als zwei Orientierungen.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> > [mm]\phi[/mm] ist ja auf der gesamten Fläche definiert. Du kannst
> > einfach [mm]\chi = id[/mm] wählen, dann ist die Vorausssetzung
> > erfüllt, denn die Determinante ist 1.
>
> Dann ist die Det. der Jacobimatrix der Identität gleich 1 >
> 0 und damit ist sie nach Def. orientierbar?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Sa 12.04.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo Rainer,
> Ich finde es traurig, dass in den Vorlesungen sowenig
> anschaulich erklärt wird. Natürlich kann man nicht alle
> mathematischen Objekte wirklich anschaulich machen, aber
> die Orientierbarkeit von Flächen kann man sehr schön
> vorführen.
Ja, mit dem Papier kann man eine gute kleine Vorstellung bekommen, mir hat das jedenfalls geholfen. Aber wahrscheinlich ist das für die Profs nur zu trivial.
> Er sagt etwas über den Zusammenhang der Jacobideterminanten
> von [mm]\psi[/mm] und [mm]\psi^{-1}[/mm].
Achso, gilt dann
det(J [mm] \chi) [/mm] = det(J [mm] \phi^{-1}) \cdot [/mm] det( [mm] \psi) [/mm] = [mm] \frac{det(J \psi)}{det( J \phi)} [/mm] ?
Weil nach dem Satz gilt ja unter entsprechenden Vss dass [mm] J(F^{-1}) [/mm] = [mm] (JF)^{-1} [/mm] ?
> Die beiden Jacobideterminanten von [mm]\phi[/mm] und [mm]\psi[/mm] sind
> stetige Funktionen mit Werten in [mm]\IR[/mm]. Ihr Produkt darf
> nicht 0 werden. Können diese Funktionen ihr Vorzeichen
> wechseln?
Ah, nein natürlich nicht. Also sind entweder beide Jacobideterminanten größer Null oder beide kleiner Null und damit haben wir genau zwei Orientierungen?
> Naja, bei jeder Fläche 2, also insgesamt 4 Möglichkeiten?
> Also besitzt sie mehr als zwei Orientierungen.
Hm, und wie kann ich das in mathematische Symbole fassen?
F lässt sich dann darstellen als F = [mm] \cup_{i=1}^n F_i [/mm] , wobei n [mm] \geq [/mm] 2 und [mm] F_i \cap F_j [/mm] = [mm] \emptyset. [/mm] D.h. die einzelnen [mm] F_i's [/mm] sind zusammenhängend. Darf ich dann mit unserem ersten Teil des Beweises folgern, dass dann jedes [mm] F_i [/mm] genau 2 Orientierungen besitzt, also F mindestens 4 ?
D.h. wir haben gezeigt wenn F nicht zusammenhängend ist, gibt es mehr als zwei Orientierungen. Aber warum ist damit dann die Äquivalenz gezeigt?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:13 So 13.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> > Er sagt etwas über den Zusammenhang der Jacobideterminanten
> > von [mm]\psi[/mm] und [mm]\psi^{-1}[/mm].
>
> Achso, gilt dann
>
> det(J [mm]\chi)[/mm] = det(J [mm]\phi^{-1}) \cdot[/mm] det( [mm]\psi)[/mm] =
> [mm]\frac{det(J \psi)}{det( J \phi)}[/mm] ?
> Weil nach dem Satz gilt ja unter entsprechenden Vss dass
> [mm]J(F^{-1})[/mm] = [mm](JF)^{-1}[/mm] ?
>
> > Die beiden Jacobideterminanten von [mm]\phi[/mm] und [mm]\psi[/mm] sind
> > stetige Funktionen mit Werten in [mm]\IR[/mm]. Ihr Produkt darf
> > nicht 0 werden. Können diese Funktionen ihr Vorzeichen
> > wechseln?
> Ah, nein natürlich nicht. Also sind entweder beide
> Jacobideterminanten größer Null oder beide kleiner Null und
> damit haben wir genau zwei Orientierungen?
> > Naja, bei jeder Fläche 2, also insgesamt 4 Möglichkeiten?
> > Also besitzt sie mehr als zwei Orientierungen.
> Hm, und wie kann ich das in mathematische Symbole fassen?
> F lässt sich dann darstellen als F = [mm]\cup_{i=1}^n F_i[/mm] ,
> wobei n [mm]\geq[/mm] 2 und [mm]F_i \cap F_j[/mm] = [mm]\emptyset.[/mm] D.h. die
> einzelnen [mm]F_i's[/mm] sind zusammenhängend. Darf ich dann mit
> unserem ersten Teil des Beweises folgern, dass dann jedes
> [mm]F_i[/mm] genau 2 Orientierungen besitzt, also F mindestens 4 ?
> D.h. wir haben gezeigt wenn F nicht zusammenhängend ist,
> gibt es mehr als zwei Orientierungen.
Ah, ein bischen präziser musst du das aufschreiben. Auch eine zusammenhängende orientierbare Fläche lässt sich in disjunkte Teilmenge zerlegen. Wichtig ist hier, dass die Teilmengen [mm] $F_i$ [/mm] (die nennen sich Zusammenhangskomponenten) offene Teilmengen sind. Daher kannst du für jedes [mm] $F_i$ [/mm] deine Orientierung getrennt wählen.
(Begründung: jede Parameterdarstellung ist stetig. Wenn es eine Parameterdarstellung [mm] $\psi$ [/mm] für zwei der [mm] $F_i$ [/mm] gebe, dann müssten die Urbilder [mm] $\psi^{-1}(F_i)$ [/mm] auch offene disjunkte Teilmengen des [mm] $\IR^n$ [/mm] sein. Deren Vereinigung ist aber nicht zusammenhängend. Oder vereinfacht gesagt: zwischen den einzelnen [mm] $F_i$ [/mm] liegen noch andere Punkte des Raumes. )
> Aber warum ist damit
> dann die Äquivalenz gezeigt?
Du hast zwei Aussagen über die orientierbare Fläche F:
A: F ist zusammenhängend.
B: F hat genau zwei Orientierungen.
Du hast gezeigt: [mm] $A\implies [/mm] B$ und [mm] $\neg [/mm] A [mm] \implies \neg [/mm] B $. Letzteres ist aber äquivalent zu [mm] $B\implies [/mm] A$, also ist [mm] $A\gdw [/mm] B$.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:28 So 13.04.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Rainer,
okay, dankeschön nochmal für deine Erklärungen und Korrektur, das hat mir wirklich geholfen!
Viele Grüße,
Riley
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