ortho. Proj. des Hamiltonians < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Auf dem Schwarzraum mit dem [mm]L^2[/mm] Skalarprodukt betrachten wir den Hamiltonoperator [mm]\hat H = A_x^T A_x + A_y^T A_y + 1[/mm]
a)Berechne die Eigenwerte [mm]\lambda_i[/mm] von H un die orthogonalen Projrektionen [mm]\pi_i[/mm] auf die zugehörigen Eigenräume
b) Zeige [mm]\lim_{N->\infty}\sum_{i=1}^N \pi_i f = f[/mm] für alle f im 2-D Schwartzraum |
Grüsse Matheboard
Ich bastle nun schon eine Weile an dieser Aufgabe und mir ist bisher gelungen die Eigenwerte zu bestimmen. Mit dem Wissen das für die Hermite-Funktionen gilt: [mm]A_x^T A_x h_n(x)=nh_n(x)[/mm] findet man, dass [mm]\hat H h_{n1}(x) h_{n2}(y)=(n1+n2+1)h_{n1}(x) h_{n2}(y)[/mm]
und damit sind die Eigenwerte also alle natürlichen Zahlen grösser 1.
Für die Projektionen haben wir die Lösung gegeben:
[mm]\pi_n = \sum_{n1,n2\ge 0 , n1+n2=n-1}{|h_{n1}(x) h_{n2}(y)>
Allerdings verstehe ich diese überhaupt nicht. Ich komme alleine schon mit der bra-ket-Notation nicht wirklich klar. Das hier ist ja dann die Duale Abbildung angewendet auf die "normale" richtig? ket ist ja immer aus dem Dualraum.
Warum ist das ganze überhaupt eine Projektion (wie also prüfe ich nach das ∏^2=∏ gilt?)
und warum ist sie orthogonal?
Ich meine der Eigenraum zu "n" wird offensichtlich gebildet aus den [mm]h_{n1}(x) h_{n2}(y)[/mm] sodass n1+n2+1=n gilt.
Aufgabenteil b) fehlt mir relativ gänzlich der Ansatz.
Für alle Verständnissanregungen wäre ich dankbar und für Lösungsansätze natürlich auch.
Grüsse
Phorkyas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 Di 22.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:55 Di 13.07.2010 | | Autor: | Phorkyas |
*push*
Ich wäre an obiger Frage immer noch sehr interessiert.
Neue Ansätze habe ich leider immer noch nicht.
Weis denn keiner weiter oder habe ich irgendetwas komisch formuliert?
Wäre wirklich nett wenn jemand eine Ahnung hätte
Phorkyas
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Grüsse nochmal Matheboard.
Also die a) habe ich inzwischen verstanden. Nach einiger Beschäftigung mit dem Bra-Ket Formalismus ist es eigentlich klar geworden.
Bei Aufgabenteil b) allerdings habe ich jetzt noch auf halbem Wege ein relativ ernstes Problem:
Also die Idee dieses Aufgabenteils ist folgende:
Definiere:[mm]a_{n1,n2}:=[/mm]
Dann kann man zeigen, dass [mm]\sum_{n1,n2\ge0}a_{n1,n2}h_{n1,n2}=lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^N \pi_i f[/mm]
Jetzt versucht man zu zeigen, dass die Summe auf der linken Seite gleich der Funktion f ist. Dazu definiert man sich:
[mm]g(x,y):=f(x,y)-\sum_{n1,n2\ge 0}a_{n1,n2}h_{n1,n2}(x,y)[/mm]
und stellt fest, das g bzgl [mm]L^2[/mm]-Skalarprodukt orthogonal zu den [mm]h_{n1,n2}[/mm] ist.
Indem man jetzt noch die Funktion
[mm]h(\alpha,\beta):=\int_{R^2}g(x,y)e^{-\bruch{(\alpha-x)^2}{2}}e^{-\bruch{(\beta-y)^2}{2}}dxdy[/mm]
definiert soll man mit einer Reihenentwicklung der e-Fkt. in Hermite-Funktionen sehen, dass h die Nullfunktion ist. Damit wäre auch die Fouriertransformierte von h die Nullfunktion, dann aber auch die Fouriertransformierte von g und damit schlieslich g selbst womit die Aussage gezeigt wäre.
Ich hänge genau bei dem Schritt wo man die e-Fkt. entwickeln soll.
Es gilt:
[mm]e^{-\bruch{(\alpha-x)^2}{2}}=\sum_{n\ge 0}h_n(x)\bruch{2^{\bruch{n}{2}}\alpha^n}{\sqrt{n!}}\pi^{\bruch{1}{4}}e^{\bruch{\alpha^2}{2}}e^{-\alpha x}[/mm]
Das ist so richtig oder?
Was mich daran stört ist das [mm]e^{-\alpha x}[/mm] auf der rechten Seite. Damit kann ich ja dann die orthogonalitätsbedingung nichtmehr anwenden. Es gilt ja nur (wegen orthogonalität in [mm] L^2):[/mm] [mm]\sum_{n1,n2\ge 0}C_{n1,n2}\int_{R^2}g(x,y)h_{n1,n2}(x,y)dxdy=0[/mm], wenn aber das [mm]e^{-\alpha x}[/mm]noch hinzukommt ist dieses Integral nicht gleich 0.
Die entwicklung habe ich jetzt schon einige male kontrolliert, ich bin mir also recht sicher, das sie richtig ist. Wo kann der Fehler sonnst liegen?
Wäre für jede Hilfe dankbar
Grüsse
Phorkyas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Fr 06.08.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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