orthogonale Funktionen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Di 30.12.2008 | | Autor: | Rutzel |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo,
ich bereite mich gerade auf eine Klausur vor, und habe diese Aufgabe in einer alten Klausur gefunden.
Leider fällt mir als Lösung nur die Nullfunktion ein.
Gut, diese ist hier nicht ausgeschlossen, aber ich denke diese triviale Lösung ist sicher nicht gewollt.
Wie kann man sich hier eine Lösung konstruieren, außer durch rumprobieren? Hat jemand von Euch noch eine andere Funktion parat?
Gruß,
Rutzel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Di 30.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo,
>
> ich bereite mich gerade auf eine Klausur vor, und habe
> diese Aufgabe in einer alten Klausur gefunden.
>
> Leider fällt mir als Lösung nur die Nullfunktion ein.
>
> Gut, diese ist hier nicht ausgeschlossen, aber ich denke
> diese triviale Lösung ist sicher nicht gewollt.
>
> Wie kann man sich hier eine Lösung konstruieren, außer
> durch rumprobieren? Hat jemand von Euch noch eine andere
> Funktion parat?
Alle höheren Potenzen von x fallen mir ein.
Tipp: Starte mit [mm] $x^2$ [/mm] und wende das Schmidtsche Orthogonalisierungverfahren an.
Alternativer Tipp: Nimm ein beliebiges Polynom 2. Grades und bestimmte die Koeffizienten so, dass die Skalarprodukte 0 sind. Bedenke, dass du o.B.d.A den Koeffizienten von [mm] x^2 [/mm] als 1 annehmen kannst!
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:47 Di 30.12.2008 | | Autor: | Rutzel |
> Tipp: Starte mit [mm]x^2[/mm] und wende das Schmidtsche
> Orthogonalisierungverfahren an.
Hallo Rainer,
leider finde ich mit diesem Verfahren immer nur eine Funktion die entweder zu 1, oder zu x orthogonal ist.
Gruß,
Rutzel
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> > Tipp: Starte mit [mm]x^2[/mm] und wende das Schmidtsche
> > Orthogonalisierungverfahren an.
>
> Hallo Rainer,
>
> leider finde ich mit diesem Verfahren immer nur eine
> Funktion die entweder zu 1, oder zu x orthogonal ist.
Hallo,
rechne mal vor, was Du tust. Wenn wir das nicht sehen, können wir ja schlecht helfen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Sa 03.01.2009 | | Autor: | Rutzel |
Naja, es liegt ja am Verfahren, dass ich jeweils immer nur eine Orthogonale Funktion zu einem der beiden Funktionen finde.
Hier das Verfahren:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Quelle:http://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren
Das Verfahren macht mir ja aus einer Menge von Vektoren eine gleichmächtige Menge von Orthogonalen Vektoren. Nur der erste vektor, der in den Algorithmus eingeht, bleibt unverändert.
Gruß,
Rutzel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo,
in der Tat hatt ich mich hier getäuscht - bzw. mir die Integralgrenzen nicht richtig angesehen: 1 und x sind ja gar nicht orthogonal.
Daher kann der Weg, daß man einfach [mm] 1,x,x^2 [/mm] orthogonalisiert nicht klappen.
Aber mit Rainers Alternativtip bist Du zum Ziel gekommen? Das geht nämlich gut und einach.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 So 04.01.2009 | | Autor: | Rutzel |
> Aber mit Rainers Alternativtip bist Du zum Ziel gekommen?
>
Hallo,
Als Polynom 2. Grades nehme ich: [mm] x^2+ax+b
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}{1 \cdot (x^2+ax+b) dx} [/mm] = [mm] \frac{1}{3}+\frac{a}{2}+b
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}{x \cdot (x^2+ax+b) dx} [/mm] = [mm] \frac{1}{4}+\frac{a}{3}+\frac{b}{2}
[/mm]
Durch Lösen des sich ergebenden Gleichungssys. erhält man:
a=-1
b=1/6
also=> [mm] x^2-x+1/6 [/mm] führt zum Erfolg.
Wie kommt man aber zu dem Ansatz, dass es mit einem Polynom zweiten Grades funktionieren muss?
Gruß,
Rutzel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 So 04.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Aber mit Rainers Alternativtip bist Du zum Ziel gekommen?
> >
>
> Hallo,
>
> Als Polynom 2. Grades nehme ich: [mm]x^2+ax+b[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{1 \cdot (x^2+ax+b) dx}[/mm] =
> [mm]\frac{1}{3}+\frac{a}{2}+b[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{x \cdot (x^2+ax+b) dx}[/mm] =
> [mm]\frac{1}{4}+\frac{a}{3}+\frac{b}{2}[/mm]
>
> Durch Lösen des sich ergebenden Gleichungssys. erhält man:
> a=-1
> b=1/6
>
> also=> [mm]x^2-x+1/6[/mm] führt zum Erfolg.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wie kommt man aber zu dem Ansatz, dass es mit einem Polynom
> zweiten Grades funktionieren muss?
Es ist die einfachste Funktion nach 1 und x, die man überhaupt probieren kann.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:36 So 04.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Angela!
> in der Tat hatt ich mich hier getäuscht - bzw. mir die
> Integralgrenzen nicht richtig angesehen: 1 und x sind ja
> gar nicht orthogonal.
> Daher kann der Weg, daß man einfach [mm]1,x,x^2[/mm]
> orthogonalisiert nicht klappen.
Warum kann das nicht klappen? Wenn ich erst [mm]1,x[/mm] orthogonalisiere, bekomme ich zwei Funktionen, die orthogonal und Linearkombinationen von 1 und x sind (nämlich $1$ und $x-1/2$). Wenn ich [mm] $x^2$ [/mm] hinzunehme, bekomme ich also eine Funktion, die orthogonal zu diesen beiden Linearkombinationen und damit auch orthogonal zu 1 und x ist (nämlich [mm] x^2-x+1/6[/mm]).
Viele Grüße
Rainer
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> > in der Tat hatt ich mich hier getäuscht - bzw. mir die
> > Integralgrenzen nicht richtig angesehen: 1 und x sind ja
> > gar nicht orthogonal.
> > Daher kann der Weg, daß man einfach [mm]1,x,x^2[/mm]
> > orthogonalisiert nicht klappen.
>
> Warum kann das nicht klappen?
Hallo Rainer,
es klappt ganz prächtig, und ich hatte wohl für einen kurzen Moment eine andere Aufgabenstellung im Kopf.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 So 04.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Naja, es liegt ja am Verfahren, dass ich jeweils immer nur
> eine Orthogonale Funktion zu einem der beiden Funktionen
> finde.
Das stimmt nicht, da hast du das Verfahren nicht richtig verstanden.
> Hier das Verfahren:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Quelle:http://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren
>
> Das Verfahren macht mir ja aus einer Menge von Vektoren
> eine gleichmächtige Menge von Orthogonalen Vektoren. Nur
> der erste vektor, der in den Algorithmus eingeht, bleibt
> unverändert.
Das ändert aber nichts, denn der Vektor [mm] $u_3$ [/mm] ist nicht nur orthogonal zu [mm] $u_1$ [/mm] und [mm] $u_2$, [/mm] sondern auch zu [mm] $v_1$ [/mm] und [mm] $v_2$: $v_2$ [/mm] ist eine Linearkombination von [mm] $u_1$ [/mm] und [mm] $u_2$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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