orthogonale Matrix bestimmen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei A eine symmetrische [mm] n\times [/mm] n Matrix.
Bestimme eine orthogonale Matrix P, so dass [mm] P^{t}AP [/mm] eine Diagonalmatrix ist. |
Hallo,
ich habe hier keine konkrete Matrix A angegeben, weil ich nur das Verfahren verstehen will.
Ich habe eine symmetrische Matrix gegeben, dann gibt es eine Orthonomalbasis aus Eigenvektoren.
Ich habe jetzt also die Eigenvektoren berechnet. Diese sind dann ja schonmal orthogonal zueinander. Aber doch noch nicht orthonomal. Ich habe dann einfach für [mm] v_1,v_2 [/mm] Eigenvektoren [mm] \frac{1}{||v_1||}v_1 [/mm] und gleiches für [mm] v_2 [/mm] berechnet und dachte mir eigentlich, dass ich damit P schon fast gefunden hätte, in dem ich dann einfach schreibe: [mm] P=\begin{pmatrix}\uparrow & \uparrow & \uparrow\\
v_{1} & v_{2} & ...\\
\downarrow & \downarrow & \downarrow\end{pmatrix}. [/mm] Aber das klappt so nicht. Wo ist mein Fehler bzw. was muss ich anders oder noch zusätzlich machen?
Mein gefundenes P muss doch dann auch symmetrisch sein?
Gruß Sleeper
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> Sei A eine symmetrische [mm]n\times[/mm] n Matrix.
> Bestimme eine orthogonale Matrix P, so dass [mm]P^{t}AP[/mm] eine
> Diagonalmatrix ist.
> Hallo,
>
> ich habe hier keine konkrete Matrix A angegeben, weil ich
> nur das Verfahren verstehen will.
>
> Ich habe eine symmetrische Matrix gegeben, dann gibt es
> eine Orthonomalbasis aus Eigenvektoren.
Hallo,
ja, das stimmt.
>
> Ich habe jetzt also die Eigenvektoren berechnet. Diese sind
> dann ja schonmal orthogonal zueinander.
Hast Du es überprüft?
"Automatisch" orthogonal sind die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten, aber die Basen der einzelnen Eigenräume sind nicht unedingt orthogonal.
Du kannst sie aber orthogonalisieren.
> Aber doch noch
> nicht orthonomal. Ich habe dann einfach für [mm]v_1,v_2[/mm]
> Eigenvektoren [mm]\frac{1}{||v_1||}v_1[/mm] und gleiches für [mm]v_2[/mm]
> berechnet
Genau. Die Vektoren müssen noch normiert werden.
und dachte mir eigentlich, dass ich damit P schon
> fast gefunden hätte, in dem ich dann einfach schreibe:
> [mm]P=\begin{pmatrix}\uparrow & \uparrow & \uparrow\\
v_{1} & v_{2} & ...\\
\downarrow & \downarrow & \downarrow\end{pmatrix}.[/mm]
> Aber das klappt so nicht. Wo ist mein Fehler bzw. was muss
> ich anders oder noch zusätzlich machen?
Entweder hast Du einen Rechenfehler gemacht, ich vermute aber, daß Du nicht bedacht hast, daß Du innerhalb der Eigenräume ggf. noch orthogonalisieren mußt.
>
> Mein gefundenes P muss doch dann auch symmetrisch sein?
Nein. Orthogonal.
Gruß v. Angela
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> > Mein gefundenes P muss doch dann auch symmetrisch sein?
>
> Nein. Orthogonal.
>
> Gruß v. Angela
Ja das war natürlich Blödsinn. Eigentlich sollte es heißen: das gefundene [mm] P^{-1} [/mm] ist dann symmetrisch, d.h. ich kann [mm] P^{t}AP=P^{-1}AP [/mm] schreiben.
Sind folgende Vektoren jeweils orthogonal zu v und paarweise linear unabhängig:
v=(1,1,-1), [mm] v_2=(1,-1,0), v_3=(1,0,1) [/mm] ?
Mit denen hat es bei mir nicht geklappt.
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> > > Mein gefundenes P muss doch dann auch symmetrisch sein?
> >
> > Nein. Orthogonal.
> Ja das war natürlich Blödsinn. Eigentlich sollte es heißen:
> das gefundene [mm]P^{-1}[/mm] ist dann symmetrisch, d.h. ich kann
> [mm]P^{t}AP=P^{-1}AP[/mm] schreiben.
Hallo,
???
[mm] P^{-1}=P^{t} [/mm] gilt für orthogonale Matrizen.
Was hast Du mit der Symmetrie gerade?
>
> Sind folgende Vektoren jeweils orthogonal zu v und
> paarweise linear unabhängig:
> v=(1,1,-1), [mm]v_2=(1,-1,0), v_3=(1,0,1)[/mm] ?
Ja.
EDIT: zwar sind [mm] v_2 [/mm] und [mm] v_3 [/mm] orthogonal zu v, aber es sind [mm] v_2 [/mm] und [mm] v_3 [/mm] nicht orthogonal zueinander.
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> Mit denen hat es bei mir nicht geklappt.
Vielleicht doch mal die Originalaufgabe?
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | P soll so bestimmt werden, dass [mm] P^{t}AP [/mm] Diagonalmatrix ist.
Gegeben ist [mm] A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 1\\
-1 & 2 & 1\\
1 & 1 & 2\end{pmatrix} [/mm] mit Koeffizienten in [mm] \mathbb{R}. [/mm] |
Das mit der Symmetrie war natürlich vollkommener Mist.
Einfach nur Transponierte von P=Inverse von P.
Aber gut. Da steht meine Matrix A. Mein Vorgehen ist bereits bekannt. Wenn ich meine Vektoren normiere, erhalte ich neue Vektoren, nämlich:
[mm] w=\frac{1}{\sqrt{3}}v,
[/mm]
[mm] w_2=\frac{1}{\sqrt{2}}v_2,
[/mm]
[mm] w_3=\frac{1}{\sqrt{2}}v_3.
[/mm]
Dann bekomme ich P. Ich hab mir [mm] P^{-1} [/mm] berechnen lassen und es stimmt nicht mit der Transponierten überein.
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> P soll so bestimmt werden, dass [mm]P^{t}AP[/mm] Diagonalmatrix
> ist.
> Gegeben ist [mm]A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 1\\
-1 & 2 & 1\\
1 & 1 & 2\end{pmatrix}[/mm]
> mit Koeffizienten in [mm]\mathbb{R}.[/mm]
> Das mit der Symmetrie war natürlich vollkommener Mist.
> Einfach nur Transponierte von P=Inverse von P.
>
> Aber gut. Da steht meine Matrix A. Mein Vorgehen ist
> bereits bekannt. Wenn ich meine Vektoren normiere, erhalte
> ich neue Vektoren, nämlich:
> [mm]w=\frac{1}{\sqrt{3}}v,[/mm]
> [mm]w_2=\frac{1}{\sqrt{2}}v_2,[/mm]
> [mm]w_3=\frac{1}{\sqrt{2}}v_3.[/mm]
>
> Dann bekomme ich P. Ich hab mir [mm]P^{-1}[/mm] berechnen lassen
> und es stimmt nicht mit der Transponierten überein.
Hallo,
das liegt genau an dem, was ich schon gesagt habe, als ich Deine Vektoren noch nicht kannte: es sind Deine Vektoren [mm] w_2 [/mm] und [mm] w_3 [/mm] doch nicht orthogonal! (Was ich vorhin leider auch verschlafen habe, weil sie mich so unschuldig-orthogonal angeguckt haben.)
Gruß v. Angela
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Vielleicht sollte ich mir einfach den Eigenvektor zum Eigenraum(0,A) hernehmen, zwei linear unabhängige Vektoren hinzunehmen und mit Gram-Schmidt orthonormalisieren. Das müsste dann doch auf jeden Fall immer so gehen oder?
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> Vielleicht sollte ich mir einfach den Eigenvektor zum
> Eigenraum(0,A) hernehmen, zwei linear unabhängige Vektoren
> hinzunehmen und mit Gram-Schmidt orthonormalisieren. Das
> müsste dann doch auf jeden Fall immer so gehen oder?
Hallo,
wie ich schon vorher mal irgendwo in dem Thread schrieb: Du mußt innerhalb der Eigenräume orthogonalisieren, also hier die Basis für den Eigenraum zu 3. Gram-Schmidt wäre passend.
Da die EVen zu verschiedenen Eigenwerten bei symmetrischen Matrizen zwangsläufig orthogonal sind, brauchst Du diesbezüglich nichts zu tun. Bloß innerhalb der Eigenräume.
Gruß v. Angela
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> Hallo,
>
> wie ich schon vorher mal irgendwo in dem Thread schrieb: Du
> mußt innerhalb der Eigenräume orthogonalisieren, also hier
> die Basis für den Eigenraum zu 3. Gram-Schmidt wäre
> passend.
>
> Da die EVen zu verschiedenen Eigenwerten bei symmetrischen
> Matrizen zwangsläufig orthogonal sind, brauchst Du
> diesbezüglich nichts zu tun. Bloß innerhalb der
> Eigenräume.
>
> Gruß v. Angela
>
Ja. Worum es mir nur geht, ist etwas Arbeit zu sparen.
Ich kann natürlich erst das charakteristische Polynom berechnen und die Eigenräume.
Aber letztenendes kann ich mir auch einen Eigenvektor "erraten" und mir 2 linear unabhängige Vektoren hinzunehmen und alles orthonormalisieren, die entstandenen Vektoren in meine Matrix P schreiben und fertig. Das müsste doch theoretisch richtig sein, oder?
Dann brauche ich erst garnicht die anderen Eigenräume zu betrachten und es reicht wenn ich Ker(A) berechne.
Ich weiß aufgrund der Symmetrie ja bereits, dass A eine ONB Basis aus EV besitzt.
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> Aber letztenendes kann ich mir auch einen Eigenvektor
> "erraten" und mir 2 linear unabhängige Vektoren hinzunehmen
> und alles orthonormalisieren, die entstandenen Vektoren in
> meine Matrix P schreiben und fertig. Das müsste doch
> theoretisch richtig sein, oder?
Hallo,
das funktioniert hier, weil Deine Matrix 1. symmetrisch ist und Du 2. ausgerechnet hast, daß es nur 2 Eigenwerte gibt.
Wenn Du drei Eigenwerte hättest, würde es nicht funktionieren, weil es nicht egal wäre, welchen zum ersten senkrechten Vektor Du nimmst.
> Dann brauche ich erst garnicht die anderen Eigenräume zu
> betrachten und es reicht wenn ich Ker(A) berechne.
Kern(A), weil 0 ein EW ist.
>
> Ich weiß aufgrund der Symmetrie ja bereits, dass A eine ONB
> Basis aus EV besitzt.
Ja.
Gruß v. Angela
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