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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Fr 19.12.2014 | | Autor: | xx_xx_xx |
| Aufgabe | Im euklidischen Raum [mm] \IR^3 [/mm] sei die Ebene E gegeben durch die Gleichung
[mm] 2x_1+x_2+2x_3=5
[/mm]
Ferner sei [mm] \phi: \IR^3\to\IR^3 [/mm] die orthogonale Projektion auf die Ebene E. Bestimmen sie die Matrix M [mm] \in \IR^{3x3} [/mm] und den Vektor t [mm] \in \IR^3, [/mm] so dass für alle x [mm] \in \IR^3 [/mm] gilt: [mm] \phi(x)=Mx+t [/mm] |
Hallo!
Ich habe die Aufgabe gelöst, bin mir aber nicht sicher, ob das alles so richtig ist...
[mm] E=\vektor{0 \\ 0 \\ 2,5}+\IR\vektor{1 \\ 0 \\ -1}+\IR\vektor{0 \\ 1 \\ -0,5}
[/mm]
[mm] \Rightarrow U_E =\IR\vektor{1 \\ 0 \\ -1}+\IR\vektor{0 \\ 1 \\ -0,5}
[/mm]
[mm] U_E^\perp [/mm] ergibt sich aus [mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 &-0,5 }x=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow U_E^\perp=\IR\vektor{2 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow E^\perp=\vektor{0 \\ 0 \\ 2,5}+\IR\vektor{2 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
sei [mm] a:=\vektor{0 \\ 0 \\ 2,5}
[/mm]
[mm] \phi_{E^\perp(a)}(\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3})=\vektor{0 \\ 0 \\ 2,5}+\bruch{<\vektor{x_1-0 \\ x_2-0 \\ x_3-2,5} , \vektor{2 \\ 1 \\ 2}>}{\parallel \vektor{2 \\ 1 \\ 2} \parallel^2}\vektor{2 \\ 1 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 2,5}+\bruch{2x_1+x_2+2x_3-5}{3}\vektor{2 \\ 1 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{4}{3}x_1 + \bruch{2}{3}x_2+\bruch{4}{3}x_3-\bruch{10}{3} \\ \bruch{2}{3}x_1 + \bruch{1}{3}x_2+\bruch{2}{3}x_3-\bruch{5}{3} \\ \bruch{4}{3}x_1 + \bruch{2}{3}x_2+\bruch{4}{3}x_3-\bruch{10}{3} }
[/mm]
Dann:
[mm] \phi_{E(a)}(x)=x-\phi_{E^\perp(a)}+a
[/mm]
[mm] =\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} [/mm] - [mm] \vektor{\bruch{4}{3}x_1 + \bruch{2}{3}x_2+\bruch{4}{3}x_3-\bruch{10}{3} \\ \bruch{2}{3}x_1 + \bruch{1}{3}x_2+\bruch{2}{3}x_3-\bruch{5}{3} \\ \bruch{4}{3}x_1 + \bruch{2}{3}x_2+\bruch{4}{3}x_3-\bruch{10}{3} } [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 2,5}
[/mm]
[mm] =\pmat{ \bruch{-1}{3} & \bruch{2}{3} & \bruch{4}{3}\\ \bruch{1}{3} & \bruch{1}{3} & \bruch{2}{3} \\ \bruch{-1}{3} & \bruch{2}{3} & \bruch{4}{3}} \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} [/mm] + [mm] \vektor{\bruch{-10}{3} \\ \bruch{-5}{3} \\ \bruch{5}{3}}
[/mm]
also: [mm] M=\pmat{ \bruch{-1}{3} & \bruch{2}{3} & \bruch{4}{3}\\ \bruch{1}{3} & \bruch{1}{3} & \bruch{2}{3} \\ \bruch{-1}{3} & \bruch{2}{3} & \bruch{4}{3}} [/mm] und [mm] t=\vektor{\bruch{-10}{3} \\ \bruch{-5}{3} \\ \bruch{5}{3}}
[/mm]
Wäre super, wenn da jemand rüber gucken könnte!
Vielen Dank!
VG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:15 Fr 19.12.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
> Hallo!
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> Ich habe die Aufgabe gelöst, bin mir aber nicht sicher, ob
> das alles so richtig ist...
>
> [mm]E=\vektor{0 \\ 0 \\ 2,5}+\IR\vektor{1 \\ 0 \\ -1}+\IR\vektor{0 \\ 1 \\ -0,5}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow U_E =\IR\vektor{1 \\ 0 \\ -1}+\IR\vektor{0 \\ 1 \\ -0,5}[/mm]
>
> [mm]U_E^\perp[/mm] ergibt sich aus [mm]\pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 &-0,5 }x=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow U_E^\perp=\IR\vektor{2 \\ 1 \\ 2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow E^\perp=\vektor{0 \\ 0 \\ 2,5}+\IR\vektor{2 \\ 1 \\ 2}[/mm]
>
> sei [mm]a:=\vektor{0 \\ 0 \\ 2,5}[/mm]
>
> [mm]\phi_{E^\perp(a)}(\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3})=\vektor{0 \\ 0 \\ 2,5}+\bruch{<\vektor{x_1-0 \\ x_2-0 \\ x_3-2,5} , \vektor{2 \\ 1 \\ 2}>}{\parallel \vektor{2 \\ 1 \\ 2} \parallel^2}\vektor{2 \\ 1 \\ 2}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 2,5}+\bruch{2x_1+x_2+2x_3-5}{3}\vektor{2 \\ 1 \\ 2}[/mm]
> = [mm]\vektor{\bruch{4}{3}x_1 + \bruch{2}{3}x_2+\bruch{4}{3}x_3-\bruch{10}{3} \\ \bruch{2}{3}x_1 + \bruch{1}{3}x_2+\bruch{2}{3}x_3-\bruch{5}{3} \\ \bruch{4}{3}x_1 + \bruch{2}{3}x_2+\bruch{4}{3}x_3-\bruch{10}{3} }[/mm]
Das Normquadrat ist 9 und nicht 3.
> Dann:
>
> [mm]\phi_{E(a)}(x)=x-\phi_{E^\perp(a)}+a[/mm]
> [mm]=\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}[/mm] -
> [mm]\vektor{\bruch{4}{3}x_1 + \bruch{2}{3}x_2+\bruch{4}{3}x_3-\bruch{10}{3} \\ \bruch{2}{3}x_1 + \bruch{1}{3}x_2+\bruch{2}{3}x_3-\bruch{5}{3} \\ \bruch{4}{3}x_1 + \bruch{2}{3}x_2+\bruch{4}{3}x_3-\bruch{10}{3} }[/mm]
> + [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 2,5}[/mm]
>
> [mm]=\pmat{ \bruch{-1}{3} & \bruch{2}{3} & \bruch{4}{3}\\ \bruch{1}{3} & \bruch{1}{3} & \bruch{2}{3} \\ \bruch{-1}{3} & \bruch{2}{3} & \bruch{4}{3}} \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}[/mm]
> + [mm]\vektor{\bruch{-10}{3} \\ \bruch{-5}{3} \\ \bruch{5}{3}}[/mm]
>
Da hast du noch u.a. ein paar Vorzeichenfehler eingebaut.
> also: [mm]M=\pmat{ \bruch{-1}{3} & \bruch{2}{3} & \bruch{4}{3}\\ \bruch{1}{3} & \bruch{1}{3} & \bruch{2}{3} \\ \bruch{-1}{3} & \bruch{2}{3} & \bruch{4}{3}}[/mm]
> und [mm]t=\vektor{\bruch{-10}{3} \\ \bruch{-5}{3} \\ \bruch{5}{3}}[/mm]
>
>
> Wäre super, wenn da jemand rüber gucken könnte!
> Vielen Dank!
> VG
Liebe Grüße
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Zur Kontrolle:
Die richtige Lösung lautet
[mm]M=\pmat{ \bruch{5}{9} & \bruch{-2}{9} & \bruch{-4}{9}\\ \bruch{-2}{9} & \bruch{8}{9} & \bruch{-2}{9} \\ \bruch{-4}{9} & \bruch{-2}{9} & \bruch{5}{9}}[/mm]
und [mm]t=\vektor{\bruch{10}{9} \\ \bruch{5}{9} \\ \bruch{10}{9}}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:51 Sa 20.12.2014 | | Autor: | xx_xx_xx |
Klasse! Vielen Dank!
VG
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