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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:38 Mo 12.09.2011 | | Autor: | sqflo |
| Aufgabe | Sei [mm] $V=\mathbb{C}^3$ [/mm] der unitäre Standardraum der Dimension 3 und
[mm] $U=\{x\in V : x_1+ix_2-ix_3=0\}$
[/mm]
Bestimmen Sie die darstellende Matrix der orthogonalen Projektion von V auf U (bzgl. der Standardbasis). |
Hallo...
erstmal habe ich eine Orthonormalbasis von U berechnet. Das ist
[mm] $v_1=\vektor{-i \\ 1 \\ 0}$ [/mm] und [mm] $v_2=\vektor{i \\ 0 \\ 1}$.
[/mm]
Damit lässt sich dann eine ONB über die Formel $p(v)= [mm] v_1+ v_2$
[/mm]
das ergibt insgesamt
[mm] $p(e_1)=\frac{1}{2}\vektor{-2 \\ -i \\ i}$
[/mm]
[mm] $p(e_2)=\frac{1}{2}\vektor{-i \\ 1 \\ 0}$
[/mm]
[mm] $p(e_3)=\frac{1}{2}\vektor{i \\ 0 \\ 1}$.
[/mm]
Die darstellende Matrix ist also
[mm] $A=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
-2 & -i & i \\ -i & 1 & 0 \\ i&0&1
\end{pmatrix}$
[/mm]
ist das richtig?
Ich bin da etwa unsicher weil ich meine, dass für orth. Projektionen [mm] $A^2=A$ [/mm] gelten muss, was mit A aber nicht geht.
alle anderen Eigenschaften erfüllt A aber:
[mm] $A*\vektor{1 \\ i\\ -i}=0$ [/mm] und [mm] $S*e_i [/mm] = [mm] S^2*e_i$ [/mm] für i=1,2,3.
war meine Rechnung also richtig oder habe ich einen Fehler gemacht?
lg, flo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo sqflo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei [mm]V=\mathbb{C}^3[/mm] der unitäre Standardraum der Dimension
> 3 und
>
> [mm]U=\{x\in V : x_1+ix_2-ix_3=0\}[/mm]
>
> Bestimmen Sie die darstellende Matrix der orthogonalen
> Projektion von V auf U (bzgl. der Standardbasis).
>
>
>
> Hallo...
>
> erstmal habe ich eine Orthonormalbasis von U berechnet. Das
> ist
>
> [mm]v_1=\vektor{-i \\ 1 \\ 0}[/mm] und [mm]v_2=\vektor{i \\ 0 \\ 1}[/mm].
>
Das ist keine Orthonormalbasis von U.
> Damit lässt sich dann eine ONB über die Formel [mm]p(v)= v_1+ v_2[/mm]
>
> das ergibt insgesamt
>
> [mm]p(e_1)=\frac{1}{2}\vektor{-2 \\ -i \\ i}[/mm]
>
> [mm]p(e_2)=\frac{1}{2}\vektor{-i \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]p(e_3)=\frac{1}{2}\vektor{i \\ 0 \\ 1}[/mm].
>
> Die darstellende Matrix ist also
>
> [mm]$A=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
-2 & -i & i \\ -i & 1 & 0 \\ i&0&1
\end{pmatrix}$[/mm]
>
> ist das richtig?
>
> Ich bin da etwa unsicher weil ich meine, dass für orth.
> Projektionen [mm]A^2=A[/mm] gelten muss, was mit A aber nicht geht.
>
> alle anderen Eigenschaften erfüllt A aber:
>
> [mm]A*\vektor{1 \\ i\\ -i}=0[/mm] und [mm]S*e_i = S^2*e_i[/mm] für i=1,2,3.
>
>
> war meine Rechnung also richtig oder habe ich einen Fehler
> gemacht?
>
>
> lg, flo
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruss
MathePower
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