p-adische Quersumme < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei p Primzahl und sp(m) die p-adische Quersumme (m [mm] \in \IN). [/mm] Zeige Sp(m+n) [mm] \le [/mm] Sp(m)+Sp(n).
Mittels Satz 10 [Satz von Legendre] zeige man [mm] (m!)^{n}|(nm)! [/mm] |
Hallöchen,
ich bräuchte Hilfe bei der obigen Aufgabe. Den zweiten Teil habe ich hinbekommen. Aber der erste Teil macht mir Probleme.
Wir hatten den Satz von Legendre der wie folgt lautet:
Sei n [mm] \in \IN [/mm] und p Primzahl. Schreibe [mm] n=a_{0}+a_{1}p+...+a_{r} p^{r} [/mm] mit 0 [mm] \le a_{i}
Ich weiß aber nicht wie fern ich das nutzen kann um die Ungleichung
Sp(m+n) [mm] \le [/mm] Sp(m)+Sp(n). zu zeigen. Kann mir bitte jemand einen Tip geben?
LG Schmetterfee
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> Sei p Primzahl und sp(m) die p-adische Quersumme (m [mm]\in \IN).[/mm]
> Zeige Sp(m+n) [mm]\le[/mm] Sp(m)+Sp(n).
> Mittels Satz 10 [Satz von Legendre] zeige man
> [mm](m!)^{n}|(nm)![/mm]
> Hallöchen,
>
> ich bräuchte Hilfe bei der obigen Aufgabe. Den zweiten
> Teil habe ich hinbekommen. Aber der erste Teil macht mir
> Probleme.
>
> Wir hatten den Satz von Legendre der wie folgt lautet:
> Sei n [mm]\in \IN[/mm] und p Primzahl. Schreibe
> [mm]n=a_{0}+a_{1}p+...+a_{r} p^{r}[/mm] mit 0 [mm]\le a_{i}
> [mm]Sp(n)=a_{0}+...+a_{r}[/mm] ist p-adische Quersumme. Dann ist
> vp(n!)= [mm]\bruch{n-Sp(n)}{p-1}.[/mm]
>
> Ich weiß aber nicht wie fern ich das nutzen kann um die
> Ungleichung
> Sp(m+n) [mm]\le[/mm] Sp(m)+Sp(n). zu zeigen. Kann mir bitte jemand
> einen Tip geben?
>
> LG Schmetterfee
[mm] Sp(m+n)\le [/mm] Sp(m)+Sp(n) scheint mir elementar aus der Definition der Addition zu folgen.
Gibt es bei der Addition keinen Übertrag, ist Sp(m+n)=Sp(m)+Sp(n).
Wenn es irgendwo einen Übertrag gibt, verringert sich dadurch die Quersumme.
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Hallöchen
erstmal danke für die schnelle Antwort, jedoch verstehe ich das leider nicht ganz
> [mm]Sp(m+n)\le[/mm] Sp(m)+Sp(n) scheint mir elementar aus der
> Definition der Addition zu folgen.
> Gibt es bei der Addition keinen Übertrag, ist
> Sp(m+n)=Sp(m)+Sp(n).
> Wenn es irgendwo einen Übertrag gibt, verringert sich
> dadurch die Quersumme.
Was meinst du denn genau mit Übertrag? Heißt das ich muss gar nichts zeigen sondern nur sagen, dass das direkt aus der Addition folgt? Ich sehe das nämlich leider nicht ganz.
LG Schmetterfee
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> Hallöchen
>
> erstmal danke für die schnelle Antwort, jedoch verstehe
> ich das leider nicht ganz
>
> > [mm]Sp(m+n)\le[/mm] Sp(m)+Sp(n) scheint mir elementar aus der
> > Definition der Addition zu folgen.
> > Gibt es bei der Addition keinen Übertrag, ist
> > Sp(m+n)=Sp(m)+Sp(n).
> > Wenn es irgendwo einen Übertrag gibt, verringert sich
> > dadurch die Quersumme.
>
> Was meinst du denn genau mit Übertrag? Heißt das ich muss
> gar nichts zeigen sondern nur sagen, dass das direkt aus
> der Addition folgt? Ich sehe das nämlich leider nicht
> ganz.
>
> LG Schmetterfee
Dann addier mal zwei Dezimalzahlen und schau, was mit der Quersumme geschieht.
Mit p-adischen Zahlen funktioniert das ganz genauso.
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Hallöchen
> >
> > > [mm]Sp(m+n)\le[/mm] Sp(m)+Sp(n) scheint mir elementar aus der
> > > Definition der Addition zu folgen.
> > > Gibt es bei der Addition keinen Übertrag, ist
> > > Sp(m+n)=Sp(m)+Sp(n).
> > > Wenn es irgendwo einen Übertrag gibt, verringert
> sich
> > > dadurch die Quersumme.
> >
> > Was meinst du denn genau mit Übertrag? Heißt das ich muss
> > gar nichts zeigen sondern nur sagen, dass das direkt aus
> > der Addition folgt? Ich sehe das nämlich leider nicht
> > ganz.
> >
> > LG Schmetterfee
>
> Dann addier mal zwei Dezimalzahlen und schau, was mit der
> Quersumme geschieht.
> Mit p-adischen Zahlen funktioniert das ganz genauso.
Ja klar wie dumm von mir aber wie kann ich das denn formal zeigen? weil in der Fragestellung steht ja zeige und nicht begründe.
bin noch etwas ratlos.
LG Schmetterfee
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> Hallöchen
> > >
> > > > [mm]Sp(m+n)\le[/mm] Sp(m)+Sp(n) scheint mir elementar aus der
> > > > Definition der Addition zu folgen.
> > > > Gibt es bei der Addition keinen Übertrag, ist
> > > > Sp(m+n)=Sp(m)+Sp(n).
> > > > Wenn es irgendwo einen Übertrag gibt, verringert
> > sich
> > > > dadurch die Quersumme.
> > >
> > > Was meinst du denn genau mit Übertrag? Heißt das ich muss
> > > gar nichts zeigen sondern nur sagen, dass das direkt aus
> > > der Addition folgt? Ich sehe das nämlich leider nicht
> > > ganz.
> > >
> > > LG Schmetterfee
> >
> > Dann addier mal zwei Dezimalzahlen und schau, was mit der
> > Quersumme geschieht.
> > Mit p-adischen Zahlen funktioniert das ganz genauso.
>
> Ja klar wie dumm von mir aber wie kann ich das denn formal
> zeigen? weil in der Fragestellung steht ja zeige und nicht
> begründe.
>
> bin noch etwas ratlos.
>
> LG Schmetterfee
Ist möglicherweise etwas mühsam. Vielleicht etwa so:
[mm] n+m=\sum a_kp^k+\sum b_kp^k [/mm] = [mm] \sum c_k^{(0)}p^k [/mm] mit [mm] c_k^{(0)}=a_k+b_k
[/mm]
Dann ist [mm] \sum c_k^{(0)} [/mm] = [mm] \sum a_k+\sum b_k [/mm] =Sp(n)+Sp(m)
Nun setzte
[mm] c_k^{(1)}=c_k^{(0)} [/mm] für alle k, falls [mm] c_0^{(0)}
[mm] c_0^{(1)}=c_0^{(0)}-p, c_1^{(1)}=c_1^{(0)}+1 [/mm] sowie [mm] c_k^{(1)}=c_k^{(0)} [/mm] für [mm] k\ge [/mm] 2, falls [mm] c_0^{(0)}\ge [/mm] p
Im ersten Fall ist [mm] \sum c_k^{(1)} [/mm] = [mm] \sum c_k^{(0)}, [/mm]
im zweiten Fall [mm] \sum c_k^{(1)} [/mm] = [mm] \sum c_k^{(0)}-p+1 [/mm] < Sp(n)+Sp(n).
Nun geht das Spiel weiter:
[mm] c_0=c^{(1)}_0,
[/mm]
[mm] c_k^{(2)}=c_k^{(1)} [/mm] für [mm] k\ge [/mm] 1, falls [mm] c_1^{(1)}
[mm] c_1^{(2)}=c_1^{(1)}-p, c_2^{(2)}=c_2^{(1)}+1 [/mm] sowie [mm] c_k^{(2)}=c_k^{(1)} [/mm] für [mm] k\ge [/mm] 3, falls [mm] c_1^{(1)}\ge [/mm] p
[mm] c_1=c^{(2)}_1,
[/mm]
usw ....
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Hallöchen
erstmal riesen Dank für die Mühe, ich verstehe es nur leider noch nicht ganz.
>
> Ist möglicherweise etwas mühsam. Vielleicht etwa so:
> [mm]n+m=\sum a_kp^k+\sum b_kp^k[/mm] = [mm]\sum c_k^{(0)}p^k[/mm] mit
> [mm]c_k^{(0)}=a_k+b_k[/mm]
> Dann ist [mm]\sum c_k^{(0)}[/mm] = [mm]\sum a_k+\sum b_k[/mm] =Sp(n)+Sp(m)
> Nun setzte
> [mm]c_k^{(1)}=c_k^{(0)}[/mm] für alle k, falls [mm]c_0^{(0)}
wieso ist es sinnvoll den Fall zu betrachten, dass das kleiner p ist bzw größer p ist? Außerdem verstehe ich nicht ganz, was mir die Hochzahl beim c sagt? magst du mir das noch näher erklären?
> [mm]c_0^{(1)}=c_0^{(0)}-p, c_1^{(1)}=c_1^{(0)}+1[/mm] sowie
> [mm]c_k^{(1)}=c_k^{(0)}[/mm] für [mm]k\ge[/mm] 2, falls [mm]c_0^{(0)}\ge[/mm] p
> Im ersten Fall ist [mm]\sum c_k^{(1)}[/mm] = [mm]\sum c_k^{(0)},[/mm]
> im zweiten Fall [mm]\sum c_k^{(1)}[/mm] = [mm]\sum c_k^{(0)}-p+1[/mm] <
> Sp(n)+Sp(n).
> Nun geht das Spiel weiter:
> [mm]c_0=c^{(1)}_0,[/mm]
> [mm]c_k^{(2)}=c_k^{(1)}[/mm] für [mm]k\ge[/mm] 1, falls [mm]c_1^{(1)}
> [mm]c_1^{(2)}=c_1^{(1)}-p, c_2^{(2)}=c_2^{(1)}+1[/mm] sowie
> [mm]c_k^{(2)}=c_k^{(1)}[/mm] für [mm]k\ge[/mm] 3, falls [mm]c_1^{(1)}\ge[/mm] p
> [mm]c_1=c^{(2)}_1,[/mm]
> usw ....
>
>
LG Schmetterfee
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> Hallöchen
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> erstmal riesen Dank für die Mühe, ich verstehe es nur
> leider noch nicht ganz.
> >
> > Ist möglicherweise etwas mühsam. Vielleicht etwa so:
> > [mm]n+m=\sum a_kp^k+\sum b_kp^k[/mm] = [mm]\sum c_k^{(0)}p^k[/mm] mit
> > [mm]c_k^{(0)}=a_k+b_k[/mm]
> > Dann ist [mm]\sum c_k^{(0)}[/mm] = [mm]\sum a_k+\sum b_k[/mm]
> =Sp(n)+Sp(m)
> > Nun setzte
> > [mm]c_k^{(1)}=c_k^{(0)}[/mm] für alle k, falls [mm]c_0^{(0)}
>
> wieso ist es sinnvoll den Fall zu betrachten, dass das
> kleiner p ist bzw größer p ist? Außerdem verstehe ich
> nicht ganz, was mir die Hochzahl beim c sagt? magst du mir
> das noch näher erklären?
Beispiel mit Dezimalzahlen: 456+719 = (11)(6)(15)
Die Ziffern 11, 6 und 15 entsprechen den [mm] c_k^{(0)}, [/mm] also der Addition ohne Übertrag.
Wenn die letzte Ziffer <10 ist, bleibt sie, ansonsten gibt es an der letzten Stelle einen Übetrag:
Aus 15 wird 5 und aus der 6 an vorletzter Stelle eine 7, also (11)(7)(5) Das entspricht jetzt den [mm] c_k^{(1)}
[/mm]
Im nächsten Schritt wird die vorletzte Stelle betrachtet: 7<10 => kein Übertrag und [mm] c_k^{(2)}=c_k^{(1)}
[/mm]
Im 3. Schritt wird [mm] c_2=c_2^{(3)}=11-10=1 [/mm] und [mm] c_3=0+1, [/mm] was die Zahl (1)(1)(7)(5)=1175 als Endergebnis ergibt
>
> > [mm]c_0^{(1)}=c_0^{(0)}-p, c_1^{(1)}=c_1^{(0)}+1[/mm] sowie
> > [mm]c_k^{(1)}=c_k^{(0)}[/mm] für [mm]k\ge[/mm] 2, falls [mm]c_0^{(0)}\ge[/mm] p
> > Im ersten Fall ist [mm]\sum c_k^{(1)}[/mm] = [mm]\sum c_k^{(0)},[/mm]
> > im zweiten Fall [mm]\sum c_k^{(1)}[/mm] = [mm]\sum c_k^{(0)}-p+1[/mm] <
> > Sp(n)+Sp(n).
> > Nun geht das Spiel weiter:
> > [mm]c_0=c^{(1)}_0,[/mm]
> > [mm]c_k^{(2)}=c_k^{(1)}[/mm] für [mm]k\ge[/mm] 1, falls [mm]c_1^{(1)}
> > [mm]c_1^{(2)}=c_1^{(1)}-p, c_2^{(2)}=c_2^{(1)}+1[/mm] sowie
> > [mm]c_k^{(2)}=c_k^{(1)}[/mm] für [mm]k\ge[/mm] 3, falls [mm]c_1^{(1)}\ge[/mm] p
> > [mm]c_1=c^{(2)}_1,[/mm]
> > usw ....
> >
> >
> LG Schmetterfee
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:15 Fr 11.11.2011 | | Autor: | Schmetterfee |
Hallöchen,
okay so habe ich es verstanden. Is aber wirklich ein bisschen fummelarbeit.
Mir bereitet nun der zweite Teil der Aufagbe doch größere Probleme
Ich soll ja zeigen [mm] (m!)^{n}|(nm)! [/mm] mithilfe von Legendre.
Benutze ich dann auch wieder die definition von teilbarkeie also es existert c, so dass (nm)!= c* [mm] (m!)^{n}?
[/mm]
Ich habe in einem Buch den Hinweis gefunden. Es gilt wegen n Sp(m) [mm] \ge [/mm] Sp(mn) für jede Primzahl p ist:
n* [mm] \bruch{m* Sp(m)}{p-1} \le \bruch{mn-Sp(mn)}{p-1}
[/mm]
doch irgendwie verstehe ich nicht wie ich diesen Tipp nutzen soll. Kann mir das jemand erklären?
LG Schmetterfee
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Hallöchen
ich habe mich weiter mit der Aufgabe beschäftigt. Und mir ist nun schoin klar geworden, dass
> n Sp(m) [mm]\ge[/mm] Sp(mn) für jede Primzahl p ist:
> n* [mm]\bruch{m* Sp(m)}{p-1} \le \bruch{mn-Sp(mn)}{p-1}[/mm]
>
gilt. Muss ich das auch noch beweisen? Mir ist nur leider nicht klar, wie ich daraus folgern kann, dass [mm] (m!)^{n}|(nm)!
[/mm]
Kann mir das jemand erklären?
LG Schmetterfee
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> Hallöchen
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> ich habe mich weiter mit der Aufgabe beschäftigt. Und mir
> ist nun schoin klar geworden, dass
>
> > n Sp(m) [mm]\ge[/mm] Sp(mn) für jede Primzahl p ist:
> > n* [mm]\bruch{m* Sp(m)}{p-1} \le \bruch{mn-Sp(mn)}{p-1}[/mm]
> >
> gilt. Muss ich das auch noch beweisen?
Das folgt ja aus dem 1. Teil: [mm] Sp(nm)=Sp(m+...+m)\le [/mm] n*Sp(m)
> Mir ist nur leider
> nicht klar, wie ich daraus folgern kann, dass
> [mm](m!)^{n}|(nm)![/mm]
> Kann mir das jemand erklären?
>
> LG Schmetterfee
>
Wenn ich es richtig verstanden habe, würde das mit obiger Aussage und dem Satz von Legendre so gehen:
Für jede Primzahl p gilt
[mm] vp(m!^n)=n*vp(m!)=\frac{n*m-n*Sp(m)}{p-1}\le\frac{n*m-Sp(n*m)}{p-1}=vp((n*m)!)
[/mm]
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Hallöchen
> >
> Das folgt ja aus dem 1. Teil: [mm]Sp(nm)=Sp(m+...+m)\le[/mm]
> n*Sp(m)
>
> > Mir ist nur leider
> > nicht klar, wie ich daraus folgern kann, dass
> > [mm](m!)^{n}|(nm)![/mm]
> > Kann mir das jemand erklären?
> >
> > LG Schmetterfee
> >
> Wenn ich es richtig verstanden habe, würde das mit obiger
> Aussage und dem Satz von Legendre so gehen:
> Für jede Primzahl p gilt
>
> [mm]vp(m!^n)=n*vp(m!)=\frac{n*m-n*Sp(m)}{p-1}\le\frac{n*m-Sp(n*m)}{p-1}=vp((n*m)!)[/mm]
>
Okay soweit verstehe ich das jetzt.Aber dann habe ich ja erst gezeigt, dass [mm] (m!)^{n} \le [/mm] (nm)! ist. Nun müsste ich ja noch zeigen, dass [mm] (m!)^{n} [/mm] |(nm)! aber wie mache ich das denn?
Die Definition von | besagt ja: (nm)!= c* [mm] (m!)^{n}
[/mm]
Muss ich dann noch so ein c bestimmen? und vorallem wie?
LG Schmetterfee
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> Hallöchen
> > >
> > Das folgt ja aus dem 1. Teil: [mm]Sp(nm)=Sp(m+...+m)\le[/mm]
> > n*Sp(m)
> >
> > > Mir ist nur leider
> > > nicht klar, wie ich daraus folgern kann, dass
> > > [mm](m!)^{n}|(nm)![/mm]
> > > Kann mir das jemand erklären?
> > >
> > > LG Schmetterfee
> > >
> > Wenn ich es richtig verstanden habe, würde das mit obiger
> > Aussage und dem Satz von Legendre so gehen:
> > Für jede Primzahl p gilt
> >
> >
> [mm]vp(m!^n)=n*vp(m!)=\frac{n*m-n*Sp(m)}{p-1}\le\frac{n*m-Sp(n*m)}{p-1}=vp((n*m)!)[/mm]
> >
> Okay soweit verstehe ich das jetzt.Aber dann habe ich ja
> erst gezeigt, dass [mm](m!)^{n} \le[/mm] (nm)! ist.
Nicht unbedingt.
> Nun müsste ich
> ja noch zeigen, dass [mm](m!)^{n}[/mm] |(nm)! aber wie mache ich das
> denn?
Obige Ungleichung bedeutet, dass der p als Primfaktor in (nm)! mindestens so oft vorkommt wie in [mm] (m!)^n
[/mm]
Da dies für alle Primzahlen p gilt, folgt die Teilbarkeit.
>
> Die Definition von | besagt ja: (nm)!= c* [mm](m!)^{n}[/mm]
> Muss ich dann noch so ein c bestimmen? und vorallem wie?
Das c brauchst du ja nicht explizit zu kennen.
>
> LG Schmetterfee
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