p-adische Zahl, Faktorring < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:11 Mi 27.09.2006 | | Autor: | Denny22 |
Hallo und Guten Morgen an alle,
Folgende Frage lässt mich nicht ruhig schlafen 
R kommutativer Ring mit 1 (R enthält alle Cauchy-Folgen aus [mm] $\IQ$), [/mm] I maximales Ideal von R (I enthält alle Nullfolgen aus R).
Dann wurde die p-adischen Zahlen (p Primzahl) durch den Faktorring definiert, also:
[mm] $\IQ_{p}:=R/I$
[/mm]
Dies ist ein Körper und im Text steht, dass man sich unter einem Element der Menge folgendes vorstellen kann:
[mm] $x=\{x_n\}\mod [/mm] I$
Nun habe ich zwei Fragen:
1.Könnte mir jemand erklären, wie ein solches x aussehen kann? Und mir vielleicht ein Beispiel nennen, denn das mir dem mod I verwirrt mich, weil I Folgen enthält.
2.Was spielt in dieser Definition das p überhaupt für eine Rolle? Eigentlich doch keine, denn R und I hängen nicht von p ab. Vielmehr weist das p doch lediglich auf den p-adischen Betrag,... der zu verwenden ist, oder?
Ich danke Euch schon einmal,
Denny
(Diese Frage wurde in noch keinem anderen Forum und auf keiner anderen Internetseite gestellt)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 Mi 27.09.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Denny!
> R kommutativer Ring mit 1 (R enthält alle Cauchy-Folgen aus
> [mm]\IQ[/mm]), I maximales Ideal von R (I enthält alle Nullfolgen
> aus R).
Hier ist es wichtig, dass du bei der Definition von $R$ die verwendete Bewertung erwaehnst. Um von Cauchy-Folgen zu sprechen, benoetigt man immer eine Bewertung, du meinst hier wohl die $p$-adische Bewertung? (Was deine Frage weiter unten dann wohl beantwortet :) )
Wenn du eine andere Bewertung waehlst, kommt i.A. auch ein anderer Ring $R$ raus. Und das Ideal $I$ aendert sich auch.
> Dann wurde die p-adischen Zahlen (p Primzahl) durch den
> Faktorring definiert, also:
>
> [mm]\IQ_{p}:=R/I[/mm]
>
> Dies ist ein Körper und im Text steht, dass man sich unter
> einem Element der Menge folgendes vorstellen kann:
>
> [mm]x=\{x_n\}\mod I[/mm]
>
> Nun habe ich zwei Fragen:
>
> 1.Könnte mir jemand erklären, wie ein solches x aussehen
> kann? Und mir vielleicht ein Beispiel nennen, denn das mir
> dem mod I verwirrt mich, weil I Folgen enthält.
Du kannst dir $x$ als `Grenzwert' der Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] vorstellen. Zwei solche Cauchy-Folgen haben genau dann den gleichen Grenzwert, wenn sie sich um eine Nullfolge unterscheiden -- weshalb die Elemente aus $R/I$ genau den Grenzwerten aller Cauchy-Folgen mit Koeffizienten in [mm] $\IQ$ [/mm] bzgl. der $p$-adischen Bewertung entsprechen!
Das mod I bedeutet hier, dass es dir egal ist, welche Cauchy-Folge den Genzwert gerade repraesentiert. Wenn du eine andere CF mit gleichem Grenzwert hast, tut sie das genauso, weil deren Differenz gerade eine Nullfolge ist.
> 2.Was spielt in dieser Definition das p überhaupt für eine
> Rolle? Eigentlich doch keine, denn R und I hängen nicht von
> p ab. Vielmehr weist das p doch lediglich auf den
> p-adischen Betrag,... der zu verwenden ist, oder?
Wie oben schon gesagt: Ohne den Betrag kannst du $R$ und $I$ nicht definieren. Insofern steckt das $p$ ganz zentral in [mm] $\IQ_p$ [/mm] drinnen :)
LG Felix
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