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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:29 Sa 03.04.2004 | | Autor: | Zwille |
Hallo,
ich habe mal eine Frage bezüglich von Ebenen.
Wie finde ich heraus, ob zwei Ebenen parallel verlaufen, bzw. aufeinander liegen ?
Bin froh über einen Ansatz
Gruß
Andy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:46 Sa 03.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Andy!
> ich habe mal eine Frage bezüglich von Ebenen.
> Wie finde ich heraus, ob zwei Ebenen parallel verlaufen,
> bzw. aufeinander liegen ?
Wie sind denn die Ebenen "dargestellt"? In Parameterform oder Normalen-/Koordinatenform?
Ich gebe mal für alle drei Fälle einen kurzen "Fahrplan" an, und zwar zunächst nur, wie man auf Parallelität überprüft (ob die Ebenen identisch sind, ist für alle Fälle auf die gleiche Art und Weise zu überprüfen):
1. Fall: [mm] $E_1$ [/mm] in Parameterform, [mm] $E_2$ [/mm] in Parameterform
[mm] $u_1$, $v_1$ [/mm] seien die Richtungsvektoren von [mm] $E_1$
[/mm]
[mm] $u_2$, $v_2$ [/mm] seien die Richtungsvektoren von [mm] $E_2$
[/mm]
Dann gilt: [mm] $E_1\parallel E_2$ $\gdw$ $u_1,v_1,u_2$ [/mm] linear abhängig und [mm] $u_1,v_1,v_2$ [/mm] linear abhängig.
(In Worten: Die Richtungsvektoren der zweiten Ebene sind beide parallel zur ersten Ebene.)
2. Fall: [mm] $E_1$ [/mm] in Parameterform, [mm] $E_2$ [/mm] in Normalen-/Koordinatenform
[mm] $u_1$, $v_1$ [/mm] seien die Richtungsvektoren von [mm] $E_1$
[/mm]
[mm] $n_2$ [/mm] sei der Normalenvektor von [mm] $E_2$
[/mm]
Dann gilt: [mm] $E_1\parallel E_2$ $\gdw$ $u_1\*n_2=0$ [/mm] und [mm] $v_1\*n_2=0$ [/mm] (mit [mm] $\*$ [/mm] meine ich das Skalarprodukt).
(In Worten: Die Richungsvektoren der ersten Ebene liegen senkrecht zum Normalenvektor der zweiten Ebene, und da ein Normalenvektor wiederum senkrecht zur Ebene selbst liegt, sind die beiden Ebenen parallel.)
3. Fall: [mm] $E_1$ [/mm] in Normalen-/Koordinatenform, [mm] $E_2$ [/mm] in Normalen-/Koordinatenform
[mm] $n_1$ [/mm] sei der Normalenvektor von [mm] $E_1$
[/mm]
[mm] $n_2$ [/mm] sei der Normalenvektor von [mm] $E_2$
[/mm]
Dann gilt: [mm] $E_1\parallel E_2$ $\gdw$ $n_1,n_2$ [/mm] linear abhängig.
Ob dann noch gilt [mm] $E_1=E_2$ [/mm] kann einfach mit einer Punktprobe festgestellt werden: Man überprüft, ob eine Punkt der ersten Ebene auch in der zweiten Ebene liegt; falls ja, sind die Ebenen identisch (da sie ja bereits parallel sind).
Ich hoffe, das hat dir weitergeholfen, falls nicht, frage bitte nach.
Alles Gute,
Marc
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