part. Ableitung/Kettenregel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:09 Di 23.06.2009 | | Autor: | wee |
| Aufgabe | Gegeben [mm] g:\IR^3\to\IR^3; (u,v,w)\mapsto(v+w,u+w,u+v) [/mm] und [mm] f:\IR^3\to\IR; (x,y,z)\mapsto (xyz-x^2-y^2-z^2)
[/mm]
Berechne die partielle Ableitung [mm] \partial_u(f \circ [/mm] g) mit der Kettenregel. |
Hallo,
wenn ich die Theorie richtig verstanden habe, dann muss [mm] \partial_u(f \circ [/mm] g) eine Abb. von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] in der Variablen u sein.
Die Ableitung [mm] \partial_u [/mm] g(u,v,w)= [mm] \vektor{0 \\ w \\ v}
[/mm]
Die Jacobi-Matrix von f ist [mm] D_f= [/mm] (yz-2x, xz-2y, xy-2z).
Jetzt meine Frage: Was ist dann [mm] \partial_u(f(g(u,v,w))?
[/mm]
Eine zweite Frage: die Kettenregel lautet ja [mm] D_{f \circ g}(x_0)= D_f(g(x_0))*D_g(x_0). [/mm] Wenn man jetzt nach einer partiellen Ableitung sucht, wird dann im Falle meiner Aufgabe die Kettenregel zu [mm] \partial_u(f \circ g)(x_0)= \partial_u f(g(x_0))*\partial_u g(x_0)?
[/mm]
Vielen Dank im Vorraus!
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Hallo,
deine partielle Ableitung
>Die Ableitung $ [mm] \partial_u [/mm] $ g(u,v,w)= $ [mm] \vektor{0 \\ w \\ v} [/mm] $
ist nicht richtig.
Ansonsten würde ich an deiner Stelle mal folgendes machen:
[mm]f \circ g = f\left(\vektor{v+w \\ u+w \\u+v}\right)=
(v+w)*(u+w)*(u+v) - (v+w)^2 - (u+w)^2 - (u+v)^2[/mm]
Das ist jetzt sehr einfach nach u abzuleiten. Dann hast du schon mal das korrekte Ergebnis und kannst das dann mit deinen eigenen Versuchen vergleichen - das bringt dir sicher mehr als dir jetzt die Kettenregel dafür vorzubeten.
Aber wenn noch Fragen bleiben, dann frag auch ruhig nochmal nach. 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 Di 23.06.2009 | | Autor: | wee |
Danke für die erste Hilfe,
> >Die Ableitung [mm]\partial_u[/mm] g(u,v,w)= [mm]\vektor{0 \\ w \\ v}[/mm]
>
> ist nicht richtig.
aber ist denn nicht [mm] \partial_ug [/mm] = [mm] \vektor {\partial_uv+w \\ \partial_uu+w \\ \partial_uu+v} [/mm] ?
>
> Ansonsten würde ich an deiner Stelle mal folgendes machen:
>
> [mm]f \circ g = f\left(\vektor{v+w \\ u+w \\u+v}\right)=
(v+w)*(u+w)*(u+v) - (v+w)^2 - (u+w)^2 - (u+v)^2[/mm]
>
So kann man das natürlich machen, aber ich soll ja ausdrücklich die Kettenregel benutzen.
Und dafür bleibt die Frage, was genau [mm] \partial_u(f(g(u,v,w)) [/mm] ist.
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Ja klar, das mit dem Ausmultiplizieren sollte nur als Hilfe dienen, damit du von deinen verschiedenen Ideen die richtige herausfinden kannst.
Zunächst zu [mm]\partial_u g[/mm]:
[mm]g \left( \vektor{u \\ v \\ w} \right) = \vektor{v+w\\u+w\\u+v} [/mm]
Also ist [mm]\partial_u g = \vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm], denn [mm]\bruch{\partial (u+w)}{\partial u} = 1[/mm]
Und jetzt zur Kettenregel - die du übrigens direkt aus der eindimensionalen herleiten kannst:
[mm](f \circ g)'(x_0) = f'(g(x_0))*g'(x_0)[/mm]
Im Mehrdimensionalen musst du eigentlich nur die Bedeutung der Striche klären, weil alles andere gleich bleibt:
Bei g' wird daraus die partielle Ableitung nach u, bei f' wird daraus der Gradient.
[mm]\partial_u (f \circ g) = grad(f) * \partial_u g[/mm], wobei f an der Stelle g(u,v,w) zu betrachten ist.
Daraus ergeben sich also zunächst einmal zwei Vektoren, deren Multiplikation dann zu deiner gesuchten Ableitung führt.
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