part. Integration mit Substitu < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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huhu,
ich arbeite mich grade in das Thema partielle Integration rein. Den Riecher , was ich als g(x) bzw f(x) nehme hab ich noch nicht ganz raus, aber ich habs schon paar mal angewendet und kann grundlegend mit der Rechnung umgehen.
Jetzt kommen noch diese hübschen Substitutionsregeln hinzu, wo ich massiv Probleme zu kriegen scheine...
Hier erstmal meine Werkzeuge, 1 zu 1 abgetippt:
[mm] \underline{Partielle Integration:}
[/mm]
Seien f,g : [a,b] [mm] \to \IR [/mm] stetig differenzierbar, dann gilt
[mm] \integral_{a}^{b}{f'(x)\*g(x) dx} [/mm] = [mm] [(f\*g)(x)]^b_a [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}{f(x)\*g'(x) dx}
[/mm]
und
[mm] \underline{Substitutionsregel}
[/mm]
Die Funktion f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] sei stetig und h:[c,d] [mm] \to [/mm] [a,b] stetig differenzierbar. Dann gilt die Substitutionsformel:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(h(x))\* h'(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{h(a)}^{h(b)}{f(t) dt}
[/mm]
So und jetzt eine einfach Beispielaufgabe aus dem Buch mit Erklärungen, die ich nicht ganz nachvollziehen kann:
"Wir wollen das Integral [mm] \integral_{0}^{a}{sin(2x) dx} [/mm] für eine reelee Zahl a > 0 berechnen. Wir substituieren t = 2x, erhalten damit
[mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] = 2 <=> dt = 2 dx <=> dx = [mm] \bruch{dt}{2} [/mm] und demnach:
[mm] \integral_{0}^{a}{sin(2x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2a}{0.5 \* sin(t) dt} [/mm] = 0.5 [mm] \* \integral_{0}^{2a}{ sin(t) dt} [/mm] =0.5 [mm] \* [-cos(t)]^{2a}_0 [/mm] = 0.5 [mm] \* [/mm] (-cos(2a)+cos(0)) = 0.5 [mm] \* [/mm] (1-cos(2a))."
Soviel zur Aufgabe. 2 Fragen hab ich vorerst:
In der Schule hab ich nicht ganz aufgepasst wie ich auf diese Weise das differenzieren hinsschreibe:
Was heißt [mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] = 2 in Worten? wird nach x oder t differenziert?
meine andre Frage: nach dem ersten Umformungsschritt ist ja mein h(a) = 2a, aber müsste dort nicht 2xa stehen? und überhaupt, wo kommte die 0.5 her?
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Hallo Evelyn,
> huhu,
> ich arbeite mich grade in das Thema partielle Integration
> rein. Den Riecher , was ich als g(x) bzw f(x) nehme hab ich
> noch nicht ganz raus,
Das kommt mit der Zeit und der wachsenden Erfahrung. Je mehr Aufgaben du dazu rechnest, desto schneller "siehst" du, was zielführend ist.
> aber ich habs schon paar mal
> angewendet und kann grundlegend mit der Rechnung umgehen.
Gut so!
>
> Jetzt kommen noch diese hübschen Substitutionsregeln
> hinzu, wo ich massiv Probleme zu kriegen scheine...
>
> Hier erstmal meine Werkzeuge, 1 zu 1 abgetippt:
>
>
> [mm]\underline{Partielle Integration:}[/mm]
>
> Seien f,g : [a,b] [mm]\to \IR[/mm] stetig differenzierbar, dann
> gilt
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{f'(x)\*g(x) dx}[/mm] = [mm][(f\*g)(x)]^b_a[/mm] - [mm]\integral_{a}^{b}{f(x)\*g'(x) dx}[/mm]
>
>
> und
>
>
> [mm]\underline{Substitutionsregel}[/mm]
>
> Die Funktion f:[a,b] [mm]\to \IR[/mm] sei stetig und h:[c,d] [mm]\to[/mm]
> [a,b] stetig differenzierbar. Dann gilt die
> Substitutionsformel:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(h(x))\* h'(x) dx}[/mm] = [mm]\integral_{h(a)}^{h(b)}{f(t) dt}[/mm]
>
>
> So und jetzt eine einfach Beispielaufgabe aus dem Buch mit
> Erklärungen, die ich nicht ganz nachvollziehen kann:
>
>
> "Wir wollen das Integral [mm]\integral_{0}^{a}{sin(2x) dx}[/mm] für
> eine reelee Zahl a > 0 berechnen. Wir substituieren t = 2x,
> erhalten damit
> [mm]\bruch{dt}{dx}[/mm] = 2 <=> dt = 2 dx <=> dx = [mm]\bruch{dt}{2}[/mm]
> und demnach:
>
> [mm]\integral_{0}^{a}{sin(2x) dx}[/mm] = [mm]\integral_{0}^{2a}{0.5 \* sin(t) dt}[/mm]
> = 0.5 [mm]\* \integral_{0}^{2a}{ sin(t) dt}[/mm] =0.5 [mm]\* [-cos(t)]^{2a}_0[/mm]
> = 0.5 [mm]\*[/mm] (-cos(2a)+cos(0)) = 0.5 [mm]\*[/mm] (1-cos(2a))."
>
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> Soviel zur Aufgabe. 2 Fragen hab ich vorerst:
> In der Schule hab ich nicht ganz aufgepasst wie ich auf
> diese Weise das differenzieren hinsschreibe:
> Was heißt [mm]\bruch{dt}{dx}[/mm] = 2 in Worten? wird nach x oder
> t differenziert?
Nach [mm]x[/mm], die Substitution wurde ja gewählt als [mm]t=t(x):=2x[/mm]
Damit ist [mm]t'(x)=\frac{dt}{dx}=2[/mm]
[mm]\frac{dt}{dx}[/mm] ist nur eine andere Schreibweise für die Ableitung der Funktion [mm]t[/mm] nach der Variable x, also für [mm]t'(x)[/mm]
>
> meine andre Frage: nach dem ersten Umformungsschritt ist ja
> mein h(a) = 2a, aber müsste dort nicht 2xa stehen?
Nein, mit [mm]t=t(x)=2x[/mm] ist doch für die obere Grenze [mm]x=a[/mm]:
[mm]t(a)=2a[/mm] als "neue" obere Grenze, die alte untere Grenze $x=0$ wird zu [mm] $t(0)=2\cdot{}0=0$ [/mm] - bleibt hier also gleich.
> und überhaupt, wo kommte die 0.5 her?
Oben wurde doch ausgerechnet, dass [mm]dx=\frac{dt}{2}[/mm] ist.
Das [mm]dx[/mm] wird im Integral durch [mm]\frac{dt}{2}[/mm] ersetzt und das [mm]\frac{1}{2}=0,5[/mm] als multiplikative Konstante rausgezogen ...
Gruß
schachuzipus
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ahhh, ich danke dir;)
mir war nicht klar dass t t(x) entspricht und dass man a als das x dann ansieht.
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eine Frage hätte ich doch noch zum verständnis:
wenn sin(2x) mein f(h(x)) ist, wo hab ich dann eig für meine Substitutionsformel das h'(x)? da müsste ja eig noch dann [mm] \* [/mm] 2 hinterstehen.
$ [mm] \integral_{a}^{b}{f(h(x))* h'(x) dx} [/mm] $ = $ [mm] \integral_{h(a)}^{h(b)}{f(t) dt} [/mm] $
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:40 Do 08.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> eine Frage hätte ich doch noch zum verständnis:
>
> wenn sin(2x) mein f(h(x)) ist, wo hab ich dann eig für
> meine Substitutionsformel das h'(x)? da müsste ja eig noch
> dann [mm]\*[/mm] 2 hinterstehen.
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(h(x))* h'(x) dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{h(a)}^{h(b)}{f(t) dt}[/mm]
Wenn Du t=h(x) substituierst, so ist [mm] \bruch{dt}{dx}=h'(x), [/mm] somit dt=h'(x) dx, also
f(h(x))*h'(x) dx= f(t) dt
FRED
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