part. diff.bar < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | f: [mm] \IR^{2} \rightarrow \IR [/mm] ist def. durch f(0,0) := 0 und f(x,y) := [mm] \bruch{x^{3}y-xy^{3}}{x^{2}+y^{2}}
[/mm]
Ist d stetig part. diff.bar? |
Hallo,
anhand dieser Aufgabe möchte ich einmal sicherstellen, ob ich für eine solche Aufgabe auch alles beachte.
Es ist also zz.: [mm] \bruch{\delta f}{\delta x} [/mm] und [mm] \bruch{\delta f}{\delta y} [/mm] existieren und sind stetig.
1.) f ist part nach x diff.bar für [mm] (x,y)\not= [/mm] (0,0), weil Komposition aus diff.baren Funktionen. Für (x,y)= (0,0) ist zz [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(h,0)-0}{h}=0
[/mm]
2.) f ist part nach y diff.bar für [mm] (x,y)\not= [/mm] (0,0), weil Komposition aus diff.baren Funktionen. Für (x,y)= (0,0) ist zz [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0,h)-0}{h}=0
[/mm]
3.) [mm] \bruch{\delta f}{\delta x} [/mm] und [mm] \bruch{\delta f}{\delta y} [/mm] berechnen.
Mal als Beispiel [mm] \bruch{\delta f}{\delta x}=\bruch{3x^{2}y-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}-\bruch{2x^{4}y-2x^{2}y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} [/mm] für [mm] (x,y)\not=(0,0) (\bruch{\delta f}{\delta x}(0,0) [/mm] = 0)
4.) das ist wieder stetig für [mm] (x,y)\not= [/mm] (0,0) also bleibt zz.: [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\bruch{3x^{2}y-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}-\bruch{2x^{4}y-2x^{2}y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} [/mm] = 0
Damit wäre dann auch [mm] \bruch{\delta f}{\delta x}(0,0) [/mm] = 0 gezeigt.
soweit richtig? nichts vergessen.
ich weiss nun nur noch nicht wie ich [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\bruch{3x^{2}y-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}-\bruch{2x^{4}y-2x^{2}y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} [/mm] = 0 zeigen soll.
gerade die Hoch 3 machen ja Schwierigkeiten. - Obwohl ich kann doch auch den Betrag nehmen, das ist ja gar noch stärker. Oder?
Ich versuche mal weiter abzuschätzen.
edit:
okay, mit dem Betrag ging es schnell voran.
da komme ich dann auf [mm] |\bruch{3x^{2}y-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}-\bruch{2x^{4}y-2x^{2}y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}| \le 3|y|+2x^{2}|y|.
[/mm]
Vielen Dank und gruß,
carlos
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:52 Di 13.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> f: [mm]\IR^{2} \rightarrow \IR[/mm] ist def. durch f(0,0) := 0 und
> f(x,y) := [mm]\bruch{x^{3}y-xy^{3}}{x^{2}+y^{2}}[/mm]
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> Ist d stetig part. diff.bar?
> Hallo,
> anhand dieser Aufgabe möchte ich einmal sicherstellen, ob
> ich für eine solche Aufgabe auch alles beachte.
>
> Es ist also zz.: [mm]\bruch{\delta f}{\delta x}[/mm] und
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta y}[/mm] existieren und sind stetig.
>
> 1.) f ist part nach x diff.bar für [mm](x,y)\not=[/mm] (0,0), weil
> Komposition aus diff.baren Funktionen. Für (x,y)= (0,0)
> ist zz [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(h,0)-0}{h}=0[/mm]
> 2.) f
> ist part nach y diff.bar für [mm](x,y)\not=[/mm] (0,0), weil
> Komposition aus diff.baren Funktionen. Für (x,y)= (0,0)
> ist zz [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0,h)-0}{h}=0[/mm]
>
> 3.) [mm]\bruch{\delta f}{\delta x}[/mm] und [mm]\bruch{\delta f}{\delta y}[/mm]
> berechnen.
>
> Mal als Beispiel [mm]\bruch{\delta f}{\delta x}=\bruch{3x^{2}y-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}-\bruch{2x^{4}y-2x^{2}y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}[/mm]
> für [mm](x,y)\not=(0,0) (\bruch{\delta f}{\delta x}(0,0)[/mm] = 0)
>
> 4.) das ist wieder stetig für [mm](x,y)\not=[/mm] (0,0) also bleibt
> zz.: [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\bruch{3x^{2}y-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}-\bruch{2x^{4}y-2x^{2}y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}[/mm]
> = 0
>
> Damit wäre dann auch [mm]\bruch{\delta f}{\delta x}(0,0)[/mm] = 0
> gezeigt.
>
> soweit richtig? nichts vergessen.
>
> ich weiss nun nur noch nicht wie ich
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\bruch{3x^{2}y-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}-\bruch{2x^{4}y-2x^{2}y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}[/mm]
> = 0 zeigen soll.
>
> gerade die Hoch 3 machen ja Schwierigkeiten.
Tipp: Polarkoordinaten: $x= r [mm] cos(\phi), [/mm] y = r [mm] sin(\phi)$
[/mm]
> - Obwohl ich
> kann doch auch den Betrag nehmen, das ist ja gar noch
> stärker. Oder?
>
> Ich versuche mal weiter abzuschätzen.
>
> edit:
> okay, mit dem Betrag ging es schnell voran.
>
> da komme ich dann auf
> [mm]|\bruch{3x^{2}y-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}-\bruch{2x^{4}y-2x^{2}y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}| \le 3|y|+2x^{2}|y|.[/mm]
Wie bist Du darauf gekommen ?
FRED
>
> Vielen Dank und gruß,
> carlos
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> > f: [mm]\IR^{2} \rightarrow \IR[/mm] ist def. durch f(0,0) := 0 und
> > f(x,y) := [mm]\bruch{x^{3}y-xy^{3}}{x^{2}+y^{2}}[/mm]
> >
> > Ist d stetig part. diff.bar?
> > Hallo,
> > anhand dieser Aufgabe möchte ich einmal sicherstellen,
> ob
> > ich für eine solche Aufgabe auch alles beachte.
> >
> > Es ist also zz.: [mm]\bruch{\delta f}{\delta x}[/mm] und
> > [mm]\bruch{\delta f}{\delta y}[/mm] existieren und sind stetig.
> >
> > 1.) f ist part nach x diff.bar für [mm](x,y)\not=[/mm] (0,0), weil
> > Komposition aus diff.baren Funktionen. Für (x,y)= (0,0)
> > ist zz [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(h,0)-0}{h}=0[/mm]
> >
> 2.) f
> > ist part nach y diff.bar für [mm](x,y)\not=[/mm] (0,0), weil
> > Komposition aus diff.baren Funktionen. Für (x,y)= (0,0)
> > ist zz [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0,h)-0}{h}=0[/mm]
> >
> > 3.) [mm]\bruch{\delta f}{\delta x}[/mm] und [mm]\bruch{\delta f}{\delta y}[/mm]
> > berechnen.
> >
> > Mal als Beispiel [mm]\bruch{\delta f}{\delta x}=\bruch{3x^{2}y-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}-\bruch{2x^{4}y-2x^{2}y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}[/mm]
> > für [mm](x,y)\not=(0,0) (\bruch{\delta f}{\delta x}(0,0)[/mm] = 0)
> >
> > 4.) das ist wieder stetig für [mm](x,y)\not=[/mm] (0,0) also bleibt
> > zz.: [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\bruch{3x^{2}y-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}-\bruch{2x^{4}y-2x^{2}y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}[/mm]
> > = 0
> >
> > Damit wäre dann auch [mm]\bruch{\delta f}{\delta x}(0,0)[/mm] = 0
> > gezeigt.
> >
> > soweit richtig? nichts vergessen.
> >
> > ich weiss nun nur noch nicht wie ich
> > [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\bruch{3x^{2}y-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}-\bruch{2x^{4}y-2x^{2}y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}[/mm]
> > = 0 zeigen soll.
> >
> > gerade die Hoch 3 machen ja Schwierigkeiten.
>
>
> Tipp: Polarkoordinaten: [mm]x= r cos(\phi), y = r sin(\phi)[/mm]
> Hmm, damit haben wir noch nie gearbeitet.
>
>
>
> > - Obwohl ich
> > kann doch auch den Betrag nehmen, das ist ja gar noch
> > stärker. Oder?
> >
> > Ich versuche mal weiter abzuschätzen.
> >
> > edit:
> > okay, mit dem Betrag ging es schnell voran.
> >
> > da komme ich dann auf
> >
> [mm]|\bruch{3x^{2}y-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}-\bruch{2x^{4}y-2x^{2}y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}| \le 3|y|+2x^{2}|y|.[/mm]
>
> Wie bist Du darauf gekommen ?
gar nicht :) aber:
[mm] |\bruch{3x^{2}y-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}-\bruch{2x^{4}y-2x^{2}y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}| \le [/mm] 3|y|+2|y|.
Denn: [mm] |\bruch{3x^{2}y-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}-\bruch{2x^{4}y-2x^{2}y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}| \le |\bruch{3x^{2}y-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}|+|\bruch{2x^{4}y-2x^{2}y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}| \le |y||\bruch{3x^{2}-y^{2}+4y^{2}}{x^{2}+y^{2}}|+2x^{2}|y||\bruch{x^{2}-y^{2}+2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}| \le 3|y|\bruch{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}+2x^{2}|y|\bruch{x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} \le 3|y|+2x^2|y|\bruch{1}{x^{2}}
[/mm]
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> FRED
> >
> > Vielen Dank und gruß,
> > carlos
>
Dann steht hier, dass [mm] \bruch{\delta}{\delta x}( \bruch{\delta f}{\delta y})(0,0)=1\not=-1= \bruch{\delta}{\delta y}( \bruch{\delta f}{\delta x})(0,0)
[/mm]
Wie zeige ich denn sowas?
Hier kann ich ja schlecht abschätzen (sowie oben) oder doch?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mo 19.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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