partielle Ableitung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Sa 01.07.2006 | | Autor: | Thome |
| Aufgabe | Ermitteln Sie die beiden ersten partiellen Ableitungen der Funktion:
z= f(x,y)= [mm] arctan\bruch{y}{x} [/mm] |
hi,
es ist ech übel wenn man so wenig vorwissen für eine soche aufgabe mitbringt oder bekommt :-(, deswegen bitte ich um eure hilfe!
also ich weis ddas die erste Ableitung von y= arctan x
y'= [mm] \bruch{1}{1+x²} [/mm] ist das ist aber schon alles!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Sa 01.07.2006 | | Autor: | Fulla |
hi thome!
hat eine funktion mehrer variablen, heißt partielle ableitung, dass du nach einer variablen ableitest und die andere(n) als "konstanten" ansiehst, dass heißt, sie werden einfach abgeschrieben...
man schreibt dann: [mm] \bruch{\partial f(x,y)}{\partial x} [/mm] oder nur [mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] das [mm] \partial [/mm] steht hier für die partielle ableitung nach x.
[man kann auch [mm] f_{x}'(x,y) [/mm] oder [mm] f_{x}' [/mm] schreiben]
in diesem fall brauchst du noch die sog. "kettenregel". die besagt, dass du bei "verschachtelten" funktionen erst die äußere ableiten und dann mit der ableitung der inneren mulitplizieren musst...
in formeln heißt das [mm]f(x)=g(h(x))\to f'(x)=g'(h(x))*h'(x)[/mm]
hier ist der [mm] \arctan [/mm] die äußere und [mm] \bruch{y}{x} [/mm] die innere funktion.
also: zu erst die (partielle) ableitung nach x
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=arctan'\left(\bruch{y}{x}\right)*y*\left(\bruch{1}{x}\right)'=\bruch{1}{1+\bruch{y²}{x²}}*y*\left(-\bruch{1}{x^{2}}\right)
[/mm]
[mm] =-\bruch{y}{x^{2}+y²}
[/mm]
die ableitung nach y geht ganz genauso:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}=arctan'\left(\bruch{y}{x}\right)*y'*\bruch{1}{x}=...=\bruch{1}{1+\bruch{y²}{x²}}*1*\bruch{1}{x}=\bruch{1}{x+xy²}
[/mm]
ich hoffe das war verständlich für dich...
noch ein tipp: ![[]](/images/popup.gif) wikipedia! da kannst du z.b. nach der partiellen ableitung suchen....
lieben gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Sa 01.07.2006 | | Autor: | Thome |
die Antwort hat mir schon sehr weiter geholfen!!
aber beim nachrechnen bin ich leider zu keinem plausiblen ergebnis gekommen könnte mir da einer mit der kompletlösung der aufgabe weiterhelfen damit ich sie nochmal in ruhe nachvollziehen kann und mal ein gutes beispiel habe! währe super nett!!
danke schon mal für die bemühungen!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Sa 01.07.2006 | | Autor: | Fulla |
hab grad nen fehler in meiner obigen antwort gesehen und gleich ausgebessert! [hab die quadrate in der ableitung des [mm] \arctan [/mm] vergessen]
und die lösung für die ableitung nach y hab ich auch gleich rein geschrieben...
lieben gruß,
Fulla
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