partielle Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:03 So 18.05.2008 | | Autor: | marc62 |
| Aufgabe | | Gegeben sei die Funktion z [mm] =f\f(x,y)= x^{2}y -{2}\2xy +\bruch{3}{4}e^ysinx. [/mm] Ermitteln sie alle ersten und zweiten Partiellen Ableitungen von f. |
Kann mir einer dazu vielleicht was sagen?
Keine Ahnung wie das gehen soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo marc62,
> Gegeben sei die Funktion z=f(x,y)= x^2y -2xy +3/4e^ysinx.
so wie die Funktion dasteht, ist folgendes gemeint: [mm] $f(x,y)=x^2\cdot{}y-2\cdot{}x\cdot{}y+\bruch{3}{4}\cdot{}e^{y}\cdot{}\sin(x)$ [/mm] ?
Klicke mal auf meine Formel, dann siehst du, wie du's eingeben musst, damit es leserlich(er) aussieht 
> Ermitteln sie alle ersten und zweiten Partiellen
> Ableitungen von f.
> Kann mir einer dazu vielleicht was sagen?
> Keine Ahnung wie ich hier Anfangen soll.
Für die partielle Ableitung nach $x$, also [mm] $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ [/mm] oder [mm] $f_x(x,y)$ [/mm] differenzierst du nach $x$ und behandelst $y$ wie eine (reelle) Zahl, denk dir, dort stünde ne 5 oder so
Umgekehrt genauso, differenziere nach y und betrachte x also Zahl
zB. [mm] $h(x,y)=3x^2\cdot{}e^y$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow h_x(x,y)=6x\cdot{}e^y$ [/mm]
das [mm] $e^y$ [/mm] ist bzgl. x eine multiplikative Konstante, das wird genauso abgeleitet wie [mm] $g(x)=3x^2\cdot{}5$ [/mm] Das ist ja auch [mm] $g'(x)=6x\cdot{}5$
[/mm]
Das Bsp. partiell nach y abgeleitet, ist dann entsprechend: [mm] $h_y(x,y)=6x^2\cdot{}e^y$, [/mm] denn [mm] $e^y$ [/mm] nach y abgeleitet gibt [mm] $e^y$ [/mm] und [mm] 3x^2 [/mm] ist bzgl. y multiplikative Konstante
Für die part. Ableitungen 2.Ordnung leite die ersten partiellen Ableitungen entsprechen nach x und y ab...
Versuche das mal auf deine Aufgabe anzuwenden...
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 So 18.05.2008 | | Autor: | marc62 |
| Aufgabe | Ich bin jetzt soweit das ich bei
$ [mm] f_x(x,y) [/mm] $= [mm] 2\cdot{}x\cdot{}y [/mm] - [mm] 2\cdot{}y [/mm] + [mm] \bruch{3}{4}\cdot{}e^{y}\cdot{}\cos(x)
[/mm]
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Nur weis ich nicht wie ich mit dem [mm] e^y [/mm] umgehen soll. Wird [mm] e^y [/mm] bei der Ableitung nach x nicht 0
?
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Hallo nochmal,
> Ich bin jetzt soweit das ich bei
> [mm]f_x(x,y) [/mm]= [mm]2\cdot{}x\cdot{}y[/mm] - [mm]2\cdot{}y[/mm] + [mm]\bruch{3}{4}\cdot{}e^{y}\cdot{}\cos(x)[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
sehr gut!
>
>
>
> Nur weis ich nicht wie ich mit dem [mm]e^y[/mm] umgehen soll. Wird
> [mm]e^y[/mm] bei der Ableitung nach x nicht 0
Nur, wenn es eine [mm] \blue{additive} [/mm] Konstante wäre (zB [mm] $g(x,y)=x^2\blue{+4e^{y^2-4}}\Rightarrow g_x(x,y)=2x+0=2x$)
[/mm]
Hier ist es aber eine [mm] \red{multiplikative} [/mm] Konstante, und die bleibt beim Ableiten so erhalten wie sie ist (zB [mm] $g(x)=\red{c\cdot{}}e^{x^2+3x}\Rightarrow g'(x)=c\cdot{}(2x+3)\cdot{}e^{x^2+3x}$)
[/mm]
Das ist ja bei bei den Ableitungen (nach x) der ersten beiden Terme genauso, da hast du das y ja auch "stehengelassen"
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 So 18.05.2008 | | Autor: | marc62 |
| Aufgabe | Also wären die ersten partiellen Ableitungen jeweils:
$ [mm] f_x(x,y) [/mm] $= $ [mm] 2\cdot{}x\cdot{}y [/mm] $ - $ [mm] 2\cdot{}y [/mm] $ + $ [mm] \bruch{3}{4}\cdot{}e^{y}\cdot{}\cos(x) [/mm] $
[mm] f_y(x,y) [/mm] = [mm] x^2 [/mm] - [mm] 2\cdot{}x [/mm] + [mm] \bruch{3}{4} \cdot{} e^y \sin(x)
[/mm]
Dementsprechend müsste die 2. partielle Ableitung so aussehen.
[mm] f_x [/mm] (x,y) = [mm] 2\cdot{}y [/mm] - [mm] 2\cdot{}y [/mm] + [mm] \bruch{3}{4} \cdot{} e^y \-sin(x)
[/mm]
[mm] f_y [/mm] (x,y) = ?
ist das dann die gleiche wie die erste Ableitung oder ? |
ist das dann die gleiche wie die erste Ableitung oder ?
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Hallo,
> Also wären die ersten partiellen Ableitungen jeweils:
> [mm]f_x(x,y) [/mm]= [mm]2\cdot{}x\cdot{}y[/mm] - [mm]2\cdot{}y[/mm] + [mm]\bruch{3}{4}\cdot{}e^{y}\cdot{}\cos(x)[/mm]
>
> [mm]f_y(x,y)[/mm] = [mm]x^2[/mm] - [mm]2\cdot{}x[/mm] + [mm]\bruch{3}{4} \cdot{} e^y \sin(x)[/mm]
sehr schön, beides richtig!
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>
> Dementsprechend müsste die 2. partielle Ableitung so
> aussehen.
>
>
> [mm]f_x[/mm] (x,y) = [mm]2\cdot{}y[/mm] - [mm]2\cdot{}y[/mm] + [mm]\bruch{3}{4} \cdot{} e^y \-sin(x)[/mm]
Nein, du hast insgesamt 4 Möglichkeiten für die 2ten partiellen Ableitungen:
[mm] $f_{xx}(x,y), f_{xy}(x,y), f_{yx}(x,y)$ [/mm] und [mm] $f_{yy}(x,y)$
[/mm]
Für die ersten beiden Möglichkeiten nimmst du dir die 1.partielle Ableitung nach x, also [mm] f_{x}(x,y) [/mm] her und berechnest davon zum einen die Ableitung nach x, also [mm] f_{xx}(x,y) [/mm] und zum anderen die Ableitung nach y, also [mm] f_{xy}(x,y)
[/mm]
Entsprechend hast du 2 Möglichkeiten, die partiellen Ableitungen von [mm] f_y(x,y) [/mm] zu berechnen
Ich mach's mal für [mm] $f_x(x,y)$
[/mm]
Du hattest richtig heraus: [mm] $f_x(x,y)=2xy-2y+\frac{3}{4}e^y\cos(x)$
[/mm]
Das leiten wir zuerst partiell nach x ab, y behandeln wir wie ne reelle Zahl
Also [mm] $f_{xx}(x,y)=2y-0+\frac{3}{4}e^y\cdot{}(-\sin(x))=2y-\frac{3}{4}e^y\sin(x)$
[/mm]
denn der mittlere Term in [mm] f_x(x,y), [/mm] also das -2y ist additive Konstante und wird bei der Ableitung nach x zu 0 und [mm] \cos(x)'=-\sin(x)
[/mm]
Die partielle Ableitung von [mm] f_x(x,y) [/mm] nach y ist entsprechend
[mm] $f_{xy}(x,y)=2x-2+\frac{3}{4}e^y\cos(x)$
[/mm]
Differenziert nach y, x als reelle Zahl aufgefasst
Die beiden partiellen Ableitungen von [mm] f_y(x,y), [/mm] also [mm] f_{yx}(x,y) [/mm] und [mm] f_{yy}(x,y) [/mm] kriegst du aber hin...
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> [mm]f_y[/mm] (x,y) = ?
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> ist das dann die gleiche wie die erste Ableitung oder ?
> ist das dann die gleiche wie die erste Ableitung oder ?
Nee, nicht so richtig...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 So 18.05.2008 | | Autor: | marc62 |
| Aufgabe | Erstmal vielen Dank,
aber nochmal zur Kontrolle
[mm] f_{yy}(x,y)= x^2-2+\bruch{3}{4}\cdot{}e^y\cdot{}sinx
[/mm]
[mm] f_{yx}(x,y)= 2x-2+\bruch{3}{4}\cdot{}e^y*cos(x) [/mm] |
ist doch richtig, oder?
Nochmal ein dickes Dankeschön an alle
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Hallo Marc,
> Erstmal vielen Dank,
> aber nochmal zur Kontrolle
>
> [mm]f_{yy}(x,y)= x^2-2+\bruch{3}{4}\cdot{}e^y\cdot{}sinx[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> [mm]f_{yx}(x,y)= 2x-2+\bruch{3}{4}\cdot{}e^y*cos(x)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ist doch
> richtig, oder?
Wie kommst du denn auf den Ausdruck da für [mm] $f_{yy}(x,y)$ [/mm] ?
Du hattest doch [mm] $f_y(x,y)=x^2-2x+\frac{3}{4}e^y\sin(x)$
[/mm]
Wenn du das nach y ableitest, betrachtest du doch x als "Zahl".
Die ersten beiden Summanden [mm] $x^2$ [/mm] und $-2x$ sind also völlig unabhängig von y, die werden doch beim Ableiten nach y zu NULL
Also [mm] $f_{yy}(x,y)=0-0+\frac{3}{4}e^y\sin(x)=\frac{3}{4}e^y\sin(x)$
[/mm]
>
>
> Nochmal ein dickes Dankeschön an alle
>
>
Gerne !
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:05 So 18.05.2008 | | Autor: | marc62 |
Verdammt, da war ich wohl ein wenig fahrlässig :)
Dankeschön
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:58 So 18.05.2008 | | Autor: | marc62 |
Oder wäre es dann [mm] \bruch{3}{4}*y e^y
[/mm]
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 13:50 So 18.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Das Bsp. partiell nach y abgeleitet, ist dann entsprechend:
> [mm]h_y(x,y)=6x^2\cdot{}e^y[/mm], denn [mm]e^y[/mm] nach y abgeleitet gibt
> [mm]e^y[/mm] und [mm]3x^2[/mm] ist bzgl. y multiplikative Konstante
[mm] h_y(x,y)=3x^2\cdot{}e^y
[/mm]
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![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
