partielle Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] f(x,y,t)=y^{2}-x^{2} [/mm] |
Gegeben ist f deren Variablen (x,y) ihrerseits Funktionen von t sind.
Nun muss ich die part. Ableitungen bilden:
[mm] f_{x}=-2x
[/mm]
[mm] f_{y}=2y
[/mm]
[mm] f_{t}=0
[/mm]
Ist das so richtig?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> [mm]f(x,y,t)=y^{2}-x^{2}[/mm]
> Gegeben ist f deren Variablen (x,y) ihrerseits Funktionen
> von t sind.
>
> Nun muss ich die part. Ableitungen bilden:
>
> [mm]f_{x}=-2x[/mm]
> [mm]f_{y}=2y[/mm]
> [mm]f_{t}=0[/mm]
>
> Ist das so richtig?
In diesem Fall ist es eigentlich unsinnig, die Funktion f
mit 3 Variablen, also f(x,y,t) zu schreiben. Man hat doch
hier eher eine Funktion f mit den 2 Variablen x und y,
wobei diese jeweils Funktionen von t sind:
f(x,y) mit x=x(t) und y=y(t)
Dann kann man sinnvollerweise von den partiellen
Ableitungen $\ [mm] f_x\ [/mm] =\ [mm] \frac{\partial\,f}{\partial\,x}$ [/mm] und $\ [mm] f_y\ [/mm] =\ [mm] \frac{\partial\,f}{\partial\,y}$ [/mm] sprechen und dann von der
"totalen" Ableitung nach t, nämlich
[mm] $\frac{d\,f}{d\,t}\ [/mm] =\ [mm] \frac{\partial\,f}{\partial\,x}*\frac{d\,x}{d\,t}+\frac{\partial\,f}{\partial\,y}*\frac{d\,y}{d\,t}\ [/mm] =\ [mm] -2\,x\*\frac{d\,x}{d\,t}+2\,y*\frac{d\,y}{d\,t}$ [/mm]
Oder hast du wirklich einen wichtigen Grund, f zuerst
mit 3 Variablen zu schreiben ?
LG Al-Chw.
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Ich sollte zu erst einmal die Ableitungen von f nach x, y und t berechnen.
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> Ich sollte zu erst einmal die Ableitungen von f nach x, y
> und t berechnen.
Die partiellen Ableitungen von f nach x und y hast du
ja schon.
Die Ableitung nach t kannst du natürlich erst dann
konkret berechnen, wenn dir die Funktionen x(t) und
y(t) auch konkret vorliegen.
Vielleicht gibst du uns eine vollständige Aufgabe mit
Kontext an, damit wir genau verstehen, worum es geht.
LG Al-Chw.
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Die Konkrete Aufgabenstellung lautet:
Gegeben Sei eine Funktion
f(x; y; t) = [mm] y^{2}- x^{2} [/mm]
deren Variablen x und y ihrerseits Funktionen von t sind.
Bestimme die partiellen Ableitungen von f nach x, y und t sowie die
totale Ableitung von f nach t.
Nach x und y ist ja kein Problem aber wie bilde ich nun die part. Ableitung nach t, da ich kein x(t) und y(t) gegeben habe...
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Hallo Dreieck123,
> Die Konkrete Aufgabenstellung lautet:
>
> Gegeben Sei eine Funktion
> f(x; y; t) = [mm]y^{2}- x^{2}[/mm]
> deren Variablen x und y ihrerseits Funktionen von t sind.
> Bestimme die partiellen Ableitungen von f nach x, y und t
> sowie die
> totale Ableitung von f nach t.
>
> Nach x und y ist ja kein Problem aber wie bilde ich nun die
> part. Ableitung nach t, da ich kein x(t) und y(t) gegeben
> habe...
>
Zunächst sind x und y Funktionen von t:
[mm]\left(\ y\left(t\right) \ \right)^{2}-\left(\ x\left(t\right) \ \right)^{2}[/mm]
Dies differenzierst Du formal nach t,
da x(t) und y(t) nicht vorgegeben sind.
Gruss
MathePower
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Ich habe es mal versucht
[mm] \bruch{d}{dt}($ \left(\ y\left(t\right) \ \right)^{2}-\left(\ x\left(t\right) \ \right)^{2} [/mm] $)=2y(t)-2x(t)
Aber in der Aufgabe steht doch man solle nach x,y und t ableiten...
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Hallo Dreieck123,
> Ich habe es mal versucht
>
> [mm]\bruch{d}{dt}([/mm] [mm]\left(\ y\left(t\right) \ \right)^{2}-\left(\ x\left(t\right) \ \right)^{2} [/mm])=2y(t)-2x(t)
>
> Aber in der Aufgabe steht doch man solle nach x,y und t
> ableiten...
Nach x bzw. y ableiten sollte kein Problem darstellen.
Da x und y Funktionen von t sind,
ist hier die Kettenregel anzuwenden,
da x und y in 2.Potenz vorkommen.
Gruss
MathePower
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Ich komme wegen des t´s etwas durcheinander
Die Kettenregel lautet ja folgendermaßen:
[mm] f_{(x)}=u[v(x)]
[/mm]
[mm] f_{(x)}^{'}=u'[v(x)]*v'(x)
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:53 Mo 02.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die partielle ableitung nach t ist 0
die totale berechnest du mit der kettenregel, dabei bleit [mm] \bruch{dx}{dt} [/mm] einfach stehen entsprechend auch [mm] \bruch{dy}{dt}
[/mm]
Gruss leduart
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$ [mm] f_{t}=0 [/mm] $
das hatte ich schon in meinem 1.Beitrag geschrieben
Aber bevor ich die totale Ableitung bestimme, muss ich doch zuerst die partiellen Ableitungen nach x und y bestimmen.
[mm] \bruch{d}{dt} \left(\ y\left(t\right) \ \right)^{2}-\left(\ x\left(t\right) \ \right)^{2}=2y(t)*y'(t)-2x(t)*x'(t)
[/mm]
Ist das so in Ordnung?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:24 Di 03.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]f_{t}=0[/mm]
> das hatte ich schon in meinem 1.Beitrag geschrieben
>
> Aber bevor ich die totale Ableitung bestimme, muss ich doch
> zuerst die partiellen Ableitungen nach x und y bestimmen.
>
> [mm]\bruch{d}{dt} \left(\ y\left(t\right) \ \right)^{2}-\left(\ x\left(t\right) \ \right)^{2}=2y(t)*y'(t)-2x(t)*x'(t)[/mm]
>
> Ist das so in Ordnung?
ja, so stimmt das - sofern [mm] $y'(t)=\frac{d}{dt}y(t)$ [/mm] meint, also die Ableitung "nach der Variablen [mm] $t\,$" [/mm] ausgewertet an der Stelle [mm] $t\,.$ [/mm] Analog für [mm] $x'(t)\,.$
[/mm]
Machen wir es mal ausführlich:
Bei Dir war
$$f(x, y, t) = [mm] y^{2}- x^{2}=x^2(t)-y^2(t)$$
[/mm]
(mit der Notation [mm] $x^2(t):=(x(t))^2$ [/mm] und analog für [mm] $y^2(t)\,.$)
[/mm]
Dann ist
[mm] $$\partial [/mm] f(x(t),y(t),t)/ [mm] \partial x=-2x(t)\,,$$
[/mm]
[mm] $$\partial [/mm] f(x(t),y(t),t)/ [mm] \partial [/mm] y=2y(t)$$
und
[mm] $$\partial [/mm] f(x(t),y(t),t)/ [mm] \partial t=0\,.$$
[/mm]
Weiter gilt
[mm] $$\frac{df(x(t),y(t),t)}{dt}=(\partial f(x(t),y(t),t)/\partial x,\;\partial f(x(t),y(t),t)/\partial y,\;\partial t)*\vektor{d x(t)/dt\\dy(t)/dt\\dt/dt }=\frac{\partial f(x(t),y(t),t)}{\partial x}\;\frac{dx(t)}{dt}+\frac{\partial f(x(t),y(t),t)}{\partial y}\;\frac{dy(t)}{dt}+\frac{\partial f(x(t),y(t),t)}{\partial t}\;\frac{dt}{dt}\,.$$
[/mm]
Rest ist nur noch einsetzen der obigen Ergebnisse, wobei Du noch nichtmal $dt/dt=1$ brauchst, sondern die Kenntniss [mm] $\partial f/\partial [/mm] t=0$ hier reicht! Dann kommt man genau zu Deinem Ergebnis!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:08 Di 03.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > [mm]f(x,y,t)=y^{2}-x^{2}[/mm]
> > Gegeben ist f deren Variablen (x,y) ihrerseits
> Funktionen
> > von t sind.
> >
> > Nun muss ich die part. Ableitungen bilden:
> >
> > [mm]f_{x}=-2x[/mm]
> > [mm]f_{y}=2y[/mm]
> > [mm]f_{t}=0[/mm]
> >
> > Ist das so richtig?
>
>
> In diesem Fall ist es eigentlich unsinnig, die Funktion f
> mit 3 Variablen, also f(x,y,t) zu schreiben. Man hat doch
> hier eher eine Funktion f mit den 2 Variablen x und y,
> wobei diese jeweils Funktionen von t sind:
>
> f(x,y) mit x=x(t) und y=y(t)
>
> Dann kann man sinnvollerweise von den partiellen
> Ableitungen [mm]\ f_x\ =\ \frac{\partial\,f}{\partial\,x}[/mm]
> und [mm]\ f_y\ =\ \frac{\partial\,f}{\partial\,y}[/mm] sprechen
> und dann von der
> "totalen" Ableitung nach t, nämlich
>
> [mm]\frac{d\,f}{d\,t}\ =\ \frac{\partial\,f}{\partial\,x}*\frac{d\,x}{d\,t}+\frac{\partial\,f}{\partial\,y}*\frac{d\,y}{d\,t}\ =\ -2\,x\*\frac{d\,x}{d\,t}+2\,y*\frac{d\,y}{d\,t}[/mm]
>
> Oder hast du wirklich einen wichtigen Grund, f zuerst
> mit 3 Variablen zu schreiben ?
wenn ich Deine Interpretation nicht gesehen hätte, hätte ich einfach vermutet:
[mm] $x=x(t)\,,$ [/mm] $y=y(t)$ und
[mm] $$f=f(x,y,t)=f(x(t),y(t),t)\,.$$
[/mm]
Hier hätte man also "noch mehr" abzuleiten!
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
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> > > [mm]f(x,y,t)=y^{2}-x^{2}[/mm]
> > > Gegeben ist f deren Variablen (x,y) ihrerseits
> > Funktionen
> > > von t sind.
> > >
> > > Nun muss ich die part. Ableitungen bilden:
> > >
> > > [mm]f_{x}=-2x[/mm]
> > > [mm]f_{y}=2y[/mm]
> > > [mm]f_{t}=0[/mm]
> > >
> > > Ist das so richtig?
> >
> >
> > In diesem Fall ist es eigentlich unsinnig, die Funktion f
> > mit 3 Variablen, also f(x,y,t) zu schreiben. Man hat
> doch
> > hier eher eine Funktion f mit den 2 Variablen x und y,
> > wobei diese jeweils Funktionen von t sind:
> >
> > f(x,y) mit x=x(t) und y=y(t)
> >
> > Dann kann man sinnvollerweise von den partiellen
> > Ableitungen [mm]\ f_x\ =\ \frac{\partial\,f}{\partial\,x}[/mm]
> > und [mm]\ f_y\ =\ \frac{\partial\,f}{\partial\,y}[/mm] sprechen
> > und dann von der
> > "totalen" Ableitung nach t, nämlich
> >
> > [mm]\frac{d\,f}{d\,t}\ =\ \frac{\partial\,f}{\partial\,x}*\frac{d\,x}{d\,t}+\frac{\partial\,f}{\partial\,y}*\frac{d\,y}{d\,t}\ =\ -2\,x\*\frac{d\,x}{d\,t}+2\,y*\frac{d\,y}{d\,t}[/mm]
> >
> > Oder hast du wirklich einen wichtigen Grund, f zuerst
> > mit 3 Variablen zu schreiben ?
>
> wenn ich Deine Interpretation nicht gesehen hätte, hätte
> ich einfach vermutet:
> [mm]x=x(t)\,,[/mm] [mm]y=y(t)[/mm] und
> [mm]f=f(x,y,t)=f(x(t),y(t),t)\,.[/mm]
>
> Hier hätte man also "noch mehr" abzuleiten!
Ja, klar. Wenn aber angegeben ist, dass [mm] f(x,y,t)=y^2-x^2 [/mm] ist
(ohne weiteres Erscheinen von t), dann ist die dritte Variable
in der Funktion f entweder ein überflüssiger Luxus oder / und
ein Stoplerstein, der geeignet ist, Missverständnisse zu
schaffen (vielleicht war Letzteres ja gar die heimliche Motivation
des Aufgabenstellers ...) .
LG
Al
(der Schreibfehler in "Stoplerstein" ist mir einfach so
reingetsolpert ...  )
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:41 Di 03.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> > > Oder hast du wirklich einen wichtigen Grund, f zuerst
> > > mit 3 Variablen zu schreiben ?
> >
> > wenn ich Deine Interpretation nicht gesehen hätte, hätte
> > ich einfach vermutet:
> > [mm]x=x(t)\,,[/mm] [mm]y=y(t)[/mm] und
> > [mm]f=f(x,y,t)=f(x(t),y(t),t)\,.[/mm]
> >
> > Hier hätte man also "noch mehr" abzuleiten!
>
>
> Ja, klar. Wenn aber angegeben ist, dass [mm]f(x,y,t)=y^2-x^2[/mm]
> ist
> (ohne weiteres Erscheinen von t), dann ist die dritte
> Variable
> in der Funktion f entweder ein überflüssiger Luxus oder
> / und
> ein Stoplerstein, der geeignet ist, Missverständnisse zu
> schaffen (vielleicht war Letzteres ja gar die heimliche
> Motivation
> des Aufgabenstellers ...) .
da ich viel und oft mit Thermodynamik und auch ein wenig Mechanik arbeite und da auch viel mit (partiellen) Differentialgleichungen gearbeitet wird (wobei insbesondere Variationsrechnung betrieben wird), muss ich Dir eh ehrlich sagen:
Mir ist nicht immer klar, wann oder warum man dort manchmal keine [mm] $t\,$-Abhängigkeit [/mm] der betrachteten Funktion [mm] $f\,$ [/mm] hat. Lustigerweise wird das z.B. beim Herleiten der Euler-Lagrange-Gleichungen mal mit, mal ohne, gemacht. Mir ist nicht immer klar, woher die Physiker wissen, dass sie diese Abhängigkeit nun mitnehmen oder nicht haben (naja, in der Thermodynamik weiß ich's manchmal, wenn der Autor von stationären Problemen etwa spricht, ist klar, dass da zeitlich nichts mehr passiert)...
Vielleicht blicke ich's im Laufe der Jahre ja doch irgendwann mal ^^ Naja, was ich damit sagen will: Es kann durchaus sein, dass dem Aufgabensteller vielleicht selbst nicht bewußt war, dass seine Aufgabe mehrdeutig interpretiert werden kann, weil er halt den (physikalischen) Bezug hat und sich (besser wie ich) auskennt, um entscheiden zu können, ob $f=f(x,y)$ oder ob $f=f(x,y,t)$ mit [mm] $(x,y)=(x(t),y(t))\,.$
[/mm]
> LG
> Al
>
> (der Schreibfehler in "Stoplerstein" ist mir einfach so
> reingetsolpert ... )
>
Sowsa abre auch ^^
Gruß,
Marcel
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