partielle Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:09 Do 22.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Ich möchte folgende Aufgabe bearbeiten:
Man untersuche, an welchen Stellen die Funktion [mm] f:\IR^2\to\IR, (x,y)\mapsto y\wurzel{2x^2+y^2} [/mm] (einmal) partiell differenzierbar ist und berechne dort ihre partiellen Ableitungen.
Jetzt bin ich mir nicht sicher, was genau mit "man untersuche, an welchen Stellen..." gemeint ist. Ich könnte jetzt einfach die partiellen Ableitungen berechnen und gucken, welche Tupel (x,y) ich einsetzen darf und welche nicht. Das habe ich mal gemacht:
[mm] \bruch{\partial{f}}{\partial{x}} [/mm] = [mm] \bruch{2yx}{\wurzel{2x^2+y^2}} [/mm] und [mm] \bruch{\partial{f}}{\partial{y}} [/mm] = [mm] \wurzel{2x^2+y^2}+\bruch{y^2}{\wurzel{2x^2+y^2}}
[/mm]
Diese Ableitungen existieren doch für alle (x,y) mit [mm] (x,y)\not=(0,0) [/mm] - wäre damit die Aufgabe schon gelöst?
Oder muss ich noch nach der Definition der partiellen Ableitungen gucken, also gucken, folgendes existiert:
[mm] \lim_{h\to 0}\bruch{f(x+he_i)-f(x)}{h}
[/mm]
Und wäre dann folgendes richtig:
[mm] \lim_{h\to 0}\bruch{f(x+he_i)-f(x)}{h} [/mm] = [mm] \lim_{h\to 0}\bruch{y\wurzel{2(x+h)^2+y^2}-y\wurzel{2x^2+y^2}}{h} [/mm] für die Ableitung nach x?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Do 22.09.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bastiane!
> [mm]\bruch{\partial{f}}{\partial{x}}[/mm] = [mm]\bruch{2yx}{\wurzel{2x^2+y^2}}[/mm] und [mm]\bruch{\partial{f}}{\partial{y}}[/mm] = [mm]\wurzel{2x^2+y^2}+\bruch{y^2}{\wurzel{2x^2+y^2}}[/mm]
>
> Diese Ableitungen existieren doch für alle (x,y) mit
> [mm](x,y)\not=(0,0)[/mm] - wäre damit die Aufgabe schon gelöst?
Meiner Meinung nach wärst Du hier wirklich schon fertig ...
Gruß
Loddar
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Hallo Bastiane,
> Man untersuche, an welchen Stellen die Funktion
> [mm]f:\IR^2\to\IR, (x,y)\mapsto y\wurzel{2x^2+y^2}[/mm] (einmal)
> partiell differenzierbar ist und berechne dort ihre
> partiellen Ableitungen.
>
> Jetzt bin ich mir nicht sicher, was genau mit "man
> untersuche, an welchen Stellen..." gemeint ist. Ich könnte
> jetzt einfach die partiellen Ableitungen berechnen und
> gucken, welche Tupel (x,y) ich einsetzen darf und welche
> nicht. Das habe ich mal gemacht:
>
> [mm]\bruch{\partial{f}}{\partial{x}}[/mm] =
> [mm]\bruch{2yx}{\wurzel{2x^2+y^2}}[/mm] und
> [mm]\bruch{\partial{f}}{\partial{y}}[/mm] =
> [mm]\wurzel{2x^2+y^2}+\bruch{y^2}{\wurzel{2x^2+y^2}}[/mm]
>
> Diese Ableitungen existieren doch für alle (x,y) mit
> [mm](x,y)\not=(0,0)[/mm] - wäre damit die Aufgabe schon gelöst?
meiner Meinung nach fehlt hier noch die Begründung, warum die partiellen Ableitungen an der Stelle (0,0) nicht existieren.
Und dann bist Du wirklich fertig.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:57 Do 22.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo ihr Zwei!
Danke für eure Antworten.  Aber wäre die andere Methode denn auch richtig gewesen? Also das, was ich da hingeschrieben habe, falls man es so machen will/soll?
> > Man untersuche, an welchen Stellen die Funktion
> > [mm]f:\IR^2\to\IR, (x,y)\mapsto y\wurzel{2x^2+y^2}[/mm] (einmal)
> > partiell differenzierbar ist und berechne dort ihre
> > partiellen Ableitungen.
> >
> > Jetzt bin ich mir nicht sicher, was genau mit "man
> > untersuche, an welchen Stellen..." gemeint ist. Ich könnte
> > jetzt einfach die partiellen Ableitungen berechnen und
> > gucken, welche Tupel (x,y) ich einsetzen darf und welche
> > nicht. Das habe ich mal gemacht:
> >
> > [mm]\bruch{\partial{f}}{\partial{x}}[/mm] =
> > [mm]\bruch{2yx}{\wurzel{2x^2+y^2}}[/mm] und
> > [mm]\bruch{\partial{f}}{\partial{y}}[/mm] =
> > [mm]\wurzel{2x^2+y^2}+\bruch{y^2}{\wurzel{2x^2+y^2}}[/mm]
> >
> > Diese Ableitungen existieren doch für alle (x,y) mit
> > [mm](x,y)\not=(0,0)[/mm] - wäre damit die Aufgabe schon gelöst?
>
> meiner Meinung nach fehlt hier noch die Begründung, warum
> die partiellen Ableitungen an der Stelle (0,0) nicht
> existieren.
Naja, also die existieren nicht, weil für (0,0) der Nenner 0 würde, und das darf ja nicht sein. Oder nicht?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:33 Fr 23.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Weder kann man die partielle Differenzierbarkeit an einer Stelle dadurch begründen, dass man formal ableitet und dann sieht, dass man den Punkt gefahrlos einsetzen kann (dies ließe sich aber noch rechtfertigen, da sich für $(x,y) [mm] \ne [/mm] 0$ eben, bei Festhalten einer Variablen, Funktionen $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] ergeben, deren Differenzierbarkeit man in Analysis I bereits nachgeweisen hat, worauf man sich hier berufen kann), noch -und das ist viel wichtiger- kann man die Nicht-Differenzierbeit dadurch begründen, dass man formal ableitet und dann sieht, dass man den Punkt nicht einsetzen kann!
Du musst im Punkt $(x,y)=0$ schon (und zwar bei beide partiellen Ableitungen!) ganz sauber mit der Definition der partiellen Differenzierbarkeit arbeiten, also die Existenz der entsprechenden Grenzwerte untersuchen (wie du es, glaube ich, zunächst auch vorhattest).
Versuche es mal! Dabei wirst du eine erstaunliche Entdeckung machen... 
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Fr 23.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
Danke für deine Antwort.
> Man untersuche, an welchen Stellen die Funktion
> [mm]f:\IR^2\to\IR, (x,y)\mapsto y\wurzel{2x^2+y^2}[/mm] (einmal)
> partiell differenzierbar ist und berechne dort ihre
> partiellen Ableitungen.
> Und wäre dann folgendes richtig:
>
> [mm]\lim_{h\to 0}\bruch{f(x+he_i)-f(x)}{h}[/mm] = [mm]\lim_{h\to 0}\bruch{y\wurzel{2(x+h)^2+y^2}-y\wurzel{2x^2+y^2}}{h}[/mm]
> für die Ableitung nach x?
Ist das denn jetzt richtig? Und wenn ja, wie mache ich dann weiter? Brauchst es nicht vorzurechnen, aber mal einen Tipp geben, ob ich da irgenwas kürzen kann oder den Bruch auseinander ziehen soll oder so.
Und für die partielle Ableitung in y-Richtung (schreibt man dann auch [mm] \bruch{\partial{f}}{\partial{y}}?) [/mm] muss ich dann untersuchen:
[mm] \lim_{h\to 0}\bruch{(y+h)\wurzel{2x^2+(y+h)^2)}-y\wurzel{2x^2+y^2}}{h} [/mm] ?
Auch hier könnte ich einen Tipp gebrauchen, wie ich da weiter vorgehe.
Viele Grüße
Christiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 Fr 23.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Du willst ja die partielle Ableitung in $(0/0)$ bestimmen (bzw. überprüfen, ob diese dort existiert)... Also setze mal $x=0$ und $y=0$ ein...
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Fr 23.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
> Du willst ja die partielle Ableitung in [mm](0/0)[/mm] bestimmen
> (bzw. überprüfen, ob diese dort existiert)... Also setze
> mal [mm]x=0[/mm] und [mm]y=0[/mm] ein...
Ich dachte, ich müsste das überall machen und dann könnte ich erst feststellen, an welchen Stellen die Funktion partiell differenzierbar ist!? Du hast doch gesagt, auch wenn man die partielle Ableitung berechnet heißt es nicht, dass es sie auch gibt, jedenfalls habe ich das so verstanden.
Wenn ich da (0,0) einsetze, dann erhalte ich beide Male 0 als Ergebnis. Aber was sagt mir das dann? Dann existiert der Grenzwert doch!?
Viele Grüße
Christiane
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Fr 23.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Du verwechselst hier zwei Sachen:
Was man (zur Feststellung der (partiellen) Differenzierbarkeit in einem Punkt) nicht machen darf, ist: Erst die (partielle) Ableitung allgemein bilden und dann den Punkt einsetzen. Das habe ich beanstandet.
Was man machen muss, ist: Wenn man die Differenzierbarkeit in einem bestimmten Punkt [mm] $(x_0/y_0)$ [/mm] überprüfen will, diesen in den Differenzenquotienten einsetzen (und dann den Grenzübergang für $h [mm] \to [/mm] 0$ durchführen).
> Wenn ich da (0,0) einsetze, dann erhalte ich beide Male 0
> als Ergebnis. Aber was sagt mir das dann? Dann existiert
> der Grenzwert doch!?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Mit anderen Worten: Die Funktion ist in jedem Punkt partiell differenzierbar!
Zusatzfrage: Sind die partiellen Ableitungen auch stetig?
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:13 Fr 23.09.2005 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
Die Zusatzfrage ist berechtigt - und eigentlich auch nicht soschwer zubenatworten.. Wichtig ist acuh hier einfach folgende Frage: ist denn f in (0,0) diff.bar? Das sollte man eigentlich noch untersuchen ... jedenfalls wenn herauskommt, dass diepartiellen Ableitungen nicht stetig sind (ansonsten kann man das hier vergessen.)
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:11 Fr 23.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo SEcki!
> Die Zusatzfrage ist berechtigt - und eigentlich auch nicht
> soschwer zubenatworten.. Wichtig ist acuh hier einfach
> folgende Frage: ist denn f in (0,0) diff.bar? Das sollte
> man eigentlich noch untersuchen ... jedenfalls wenn
> herauskommt, dass diepartiellen Ableitungen nicht stetig
> sind (ansonsten kann man das hier vergessen.)
Das verstehe ich nicht so ganz. Wir haben doch gerade festgestellt, dass f in (0,0) diffbar ist!? Und was hilft mir das dann bei der Untersuchung der Stetigkeit? Oder was meinst du mit deiner Mitteilung?
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 Fr 23.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> Das verstehe ich nicht so ganz. Wir haben doch gerade
> festgestellt, dass f in (0,0) diffbar ist!?
Nein, eigentlich nicht - vielleicht kennst du es eher als totales Differential.
> Und was hilft
> mir das dann bei der Untersuchung der Stetigkeit?
Tja, wenn die partiellen Ableitungne stetig in einer Umgebung sind, dann gilt was?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Fr 23.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
> Du verwechselst hier zwei Sachen:
>
> Was man (zur Feststellung der (partiellen)
> Differenzierbarkeit in einem Punkt) nicht machen darf, ist:
> Erst die (partielle) Ableitung allgemein bilden und dann
> den Punkt einsetzen. Das habe ich beanstandet.
>
> Was man machen muss, ist: Wenn man die Differenzierbarkeit
> in einem bestimmten Punkt [mm](x_0/y_0)[/mm] überprüfen will, diesen
> in den Differenzenquotienten einsetzen (und dann den
> Grenzübergang für [mm]h \to 0[/mm] durchführen).
Okay, danke für die nochmalige Erklärung. Aber um die partielle Differenzierbarkeit zu zeigen, reicht es jetzt, die partiellen Ableitungen zu bilden? Eigentlich hattest du das doch auch beanstandet, oder?
> > Wenn ich da (0,0) einsetze, dann erhalte ich beide Male 0
> > als Ergebnis. Aber was sagt mir das dann? Dann existiert
> > der Grenzwert doch!?
>
>
>
> Mit anderen Worten: Die Funktion ist in jedem Punkt
> partiell differenzierbar!
Gut, dann war die vorherige Lösung ja nicht mal richtig!
> Zusatzfrage: Sind die partiellen Ableitungen auch stetig?
Mmh - gute Frage. Also ich würde sagen, in den Punkten [mm] (x,y)\not=(0,0) [/mm] schon. Denn dort gilt:
[mm] \lim_{(x,y)\to(a,b)}F(x,y)=F(a,b)
[/mm]
wenn man die Ableitung als F(a,b) definiert. Oder habe ich da jetzt etwas falsch gemacht?
Aber wie finde ich heraus, ob sie im Nullpunkt stetig ist? Ich habe schon versucht, eine Folge zu finden, so dass Obiges nicht gilt, aber ich habe noch keine gefunden. Mit dem [mm] \varepsilon-\delta-Kriterium [/mm] bekomme ich das auch nicht hin - ich finde kein [mm] \delta. [/mm] :-/ Könntest du mir nochmal einen Tipp geben, wie ich es am besten mache?
Viele Grüße
Christiane
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Fr 23.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> Okay, danke für die nochmalige Erklärung. Aber um die
> partielle Differenzierbarkeit zu zeigen, reicht es jetzt,
> die partiellen Ableitungen zu bilden?
Ja sicher.
> Eigentlich hattest du
> das doch auch beanstandet, oder?
Ich glaube, es ging hier um die Vorgehensweise, wie man sie berechnet.
> Mmh - gute Frage. Also ich würde sagen, in den Punkten
> [mm](x,y)\not=(0,0)[/mm] schon. Denn dort gilt:
>
> [mm]\lim_{(x,y)\to(a,b)}F(x,y)=F(a,b)[/mm]
>
> wenn man die Ableitung als F(a,b) definiert. Oder habe ich
> da jetzt etwas falsch gemacht?
Was soll dein F sein? Du hast zwei partielle Ableitungen, also prinzipiell zwei Funktionene - die nach x und die nach y partiell diff.bar. Diemuss man i.a. getrennt unersuchen.
> Aber wie finde ich heraus, ob sie im Nullpunkt stetig ist?
Das sie stetig ist am besten mit [m]\varepsilon-\delta[/m]-Methode,und dann muss man halt nach abschätzungen suchen.
> Ich habe schon versucht, eine Folge zu finden, so dass
> Obiges nicht gilt, aber ich habe noch keine gefunden.
Waren denn für Werte [m]\ne(0,0)[/m] deine partiellen Ableitungen richtig? Dann schau dir mal die nach y genauer an.
> Mit
> dem [mm]\varepsilon-\delta-Kriterium[/mm] bekomme ich das auch nicht
> hin - ich finde kein [mm]\delta.[/mm] :-/
Was sind deine ansätze?
Probiere auch die fragestellung nach dem totalen Differential.
SEcki
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