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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Sa 30.05.2009 | | Autor: | Mary1986 |
| Aufgabe | Aufgabe 1
Berechnen sie die partielle Ableitung und Jacobi-Matrizen folgender Funktionen:
a) [mm]f:\IR^2 \to \IR^2 ; f((x,y)^t) = (cos (xy),sin(xy))^t[/mm]
b) [mm]g:\IR^2 \to \IR^3 ; g((x,y)^t) = (e^{xy}, ye^x, xe^y^2)^t[/mm]
c) [mm]h:\IR \times (0, \infty) \times \IR \setminus{0} \to \IR ; h(x,y,z) = \bruch {x\wurzel{y}}{z}[/mm]
In welchen Punkten sind diese Funktionen total differenzierbar? |
Hi Ihr! Also ich hab mir da mal ein bissel was zusammengebastelt!
1a)
Ableitung nach x: [mm]\begin{pmatrix}
t* (-ysin(xy))^{t-1} \\
t* (ycos(xy))^{t-1}
\end{pmatrix}[/mm]
Ableitung nach y : [mm]\begin{pmatrix}
t* (-xsin(xy))^{t-1} \\
t* (xcos(xy))^{t-1}
\end{pmatrix}[/mm]
Dann ist die Jacobi-Matrix glaub ich: [mm]\begin{pmatrix}
t* (-ysin(xy))^{t-1} & t*(-xsin(xy))^{t-1} \\
t* (ycos(xy))^{t-1} & t*(xcos(xy))^{t-1}
\end{pmatrix}[/mm]
Oder seh ich das falsch? Für b hab ich das analog gemacht und bekomm folgende Jacobi-Matrix:
[mm]\begin{pmatrix}
t* (ye^{xy})^{t-1} & t*(xe^{xy})^{t-1} \\
t* (ye^x)^{t-1} & t*(e^x)^{t-1} \\
t* (e^y^2)^{t-1} & t*(2yxe^y^2)^{t-1}
\end{pmatrix}[/mm]
bei c weiß ich nicht wie ich aus den ableitungen die Jacobi-Matrix machen soll!
Also ableitungen hab ich
für x : [mm]\bruch{\wurzel{y}}{z}[/mm]
für y: [mm]\bruch{x}{2yz}[/mm]
für z: [mm]- \bruch{x*\wurzel{y}}{z^2}[/mm]
Aber wie mach ich dann denn jetzt die totale Ableitung im Punkt?
Liebe Grüße
Mary
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:25 Sa 30.05.2009 | | Autor: | Fulla |
Hallo Mary,
> Aufgabe 1
> Berechnen sie die partielle Ableitung und Jacobi-Matrizen
> folgender Funktionen:
> a) [mm]f:\IR^2 \to \IR^2 ; f((x,y)^t) = (cos (xy),sin(xy))^t[/mm]
>
> b) [mm]g:\IR^2 \to \IR^3 ; g((x,y)^t) = (e^{xy}, ye^x, xe^y^2)^t[/mm]
>
> c) [mm]h:\IR \times (0, \infty) \times \IR \setminus{0} \to \IR ; h(x,y,z) = \bruch {x\wurzel{y}}{z}[/mm]
>
> In welchen Punkten sind diese Funktionen total
> differenzierbar?
> Hi Ihr! Also ich hab mir da mal ein bissel was
> zusammengebastelt!
> 1a)
> Ableitung nach x: [mm]\begin{pmatrix}
t* (-ysin(xy))^{t-1} \\
t* (ycos(xy))^{t-1}
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Ableitung nach y : [mm]\begin{pmatrix}
t* (-xsin(xy))^{t-1} \\
t* (xcos(xy))^{t-1}
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Dann ist die Jacobi-Matrix glaub ich: [mm]\begin{pmatrix}
t* (-ysin(xy))^{t-1} & t*(-xsin(xy))^{t-1} \\
t* (ycos(xy))^{t-1} & t*(xcos(xy))^{t-1}
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Oder seh ich das falsch?
Die "t"s in der Angabe stehen für transponierte Vektoren. Anders geschrieben heißt das
[mm] $f:\IR^2 \to \IR^2 [/mm] ; [mm] f((x,y)^t) [/mm] = (cos [mm] (xy),sin(xy))^t\quad\Leftrightarrow\quad f\left(\vektor{x\\ y}\right)=\vektor{\cos(xy) \\ \sin(xy)}$
[/mm]
Streich die ganzen "t"s und "(t-1)"s weg, dann stimmen deine Matrizen bei a) und b).
> Für b hab ich das analog gemacht
> und bekomm folgende Jacobi-Matrix:
>
> [mm]\begin{pmatrix}
t* (ye^{xy})^{t-1} & t*(xe^{xy})^{t-1} \\
t* (ye^x)^{t-1} & t*(e^x)^{t-1} \\
t* (e^y^2)^{t-1} & t*(2yxe^y^2)^{t-1}
\end{pmatrix}[/mm]
>
> bei c weiß ich nicht wie ich aus den ableitungen die
> Jacobi-Matrix machen soll!
> Also ableitungen hab ich
> für x : [mm]\bruch{\wurzel{y}}{z}[/mm]
>
> für y: [mm]\bruch{x}{2yz}[/mm]
Die Ableitung von [mm] $\sqrt{y}$ [/mm] ist [mm] $\frac{1}{2\sqrt{y}}$
[/mm]
> für z: [mm]- \bruch{x*\wurzel{y}}{z^2}[/mm]
Deine Ableitungen setzt du - genau wie oben - zur Jacobi-Matrix zusammen: [mm] $J_h=\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{y}}{z}&\frac{x}{2\sqrt{y}z}& -\frac{x\sqrt{y}}{z^2}\end{pmatrix}$. [/mm] Das ist eine [mm] $1\times [/mm] 3$ Matrix.
> Aber wie mach ich dann denn jetzt die totale Ableitung im
> Punkt?
> Liebe Grüße
> Mary
Lieben Gruß,
Fulla
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Hallo Mary1986,
> Aber wie mach ich dann denn jetzt die totale Ableitung im
> Punkt?
Die totale Ableitung ist die Jacobi-Matrix der partiellen Ableitungen.
Siehe auch: ![[]](/images/popup.gif) Totale Ableitung und Jacobi-Matrix
Setze in die Jacobi-Matrix den Punkt ein.
> Liebe Grüße
> Mary
Gruß
MathePower
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