partielle Ableitungen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 Fr 18.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR^n \rightarrow \IR [/mm] eine Funktion und u in [mm] \IR^n [/mm] ein Punkt, so dass alle partiellen Ableitungen in einer Umgebung von u existieren und dort stetig sind. Außerdem gelte [mm] \bruch{\delta f}{\delta x_i} [/mm] (u) = 1 für i=1,...,n. Was kann man über f sagen?
(a) f ist stetig im Punkt u
(b) f hat kein lokales Extremum im Punkt u.
(c) Alle Richtungsableitungen sind gleich 1, d.h. für [mm] v\in\IR^n [/mm] mit ||v||=1 gilt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{f(u+tv)-f(u)}{t}=1
[/mm]
(d) [mm] \limes_{t\rightarrow 0}_h\in\IR^n\backslash\{0\}\bruch{f(u+h)-f(u)-}{||h||}=0 [/mm] |
Ich habe erstmal Probleme mir die gegebenen Aussagen zu verdeutlichen:
Warum sollten partielle Ableitungen nicht exisitieren können? und warum nicht stetig sein? (stetigkeit doch nur dann nicht, wenn f nicht stetig ist oder?)
dann, dass [mm] \bruch{\delta f}{\delta x_i} [/mm] (u) = 1 gelten soll bedeuted, dass jede Patielle Ableitung konstant 1 ist oder?
Wenn mir jmd helfen könnte beim Verdeutlichen dieser Fragen, evtl auch mit Bsp. wäre ich sehr dankbar.
Gruß Zerwas
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Fr 18.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Sei [mm]f:\IR^n \rightarrow \IR[/mm] eine Funktion und u in [mm]\IR^n[/mm]
> ein Punkt, so dass alle partiellen Ableitungen in einer
> Umgebung von u existieren und dort stetig sind. Außerdem
> gelte [mm]\bruch{\delta f}{\delta x_i}[/mm] (u) = 1 für i=1,...,n.
> Was kann man über f sagen?
!. u ist ein feste Punkt in [mm] R^n [/mm] nur an diesem Punkt hast du ne Aussage.
> (a) f ist stetig im Punkt u
> (b) f hat kein lokales Extremum im Punkt u.
> (c) Alle Richtungsableitungen sind gleich 1, d.h. für
> [mm]v\in\IR^n[/mm] mit ||v||=1 gilt
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{f(u+tv)-f(u)}{t}=1[/mm]
> (d) [mm]\limes_{t\rightarrow 0}_h\in\IR^n\backslash\{0\}\bruch{f(u+h)-f(u)-}{||h||}=0[/mm]
>
> Ich habe erstmal Probleme mir die gegebenen Aussagen zu
> verdeutlichen:
> Warum sollten partielle Ableitungen nicht exisitieren
> können? und warum nicht stetig sein? (stetigkeit doch nur
> dann nicht, wenn f nicht stetig ist oder?)
hier ist doch gesagt, dass die part Abl. a) existieren, b in einer Umgebung von u stetig sind.
gefragt ist, ob die fkt f dann auch stetig ist. (umgekehrt ists sicher nicht. die Abb. f=|x| ist stetig, aber nicht diffb. in x=0)
du musst also die def. der Stetigkeit mit der Def. der part. Ableitung in Verbindung bringen!
b) welche bed. kennst du für lokale Extrema?
c) Def. der part. Ableitung benutzen. denk dran u, v sind Vektoren in [mm] R^n
[/mm]
> dann, dass [mm]\bruch{\delta f}{\delta x_i}[/mm] (u) = 1 gelten
> soll bedeuted, dass jede Patielle Ableitung konstant 1 ist
> oder?
Nein wirklich nur im Punkt u=(u1,u2,....,un) feste [mm] u_i [/mm] und stetig in ner Umgebung
Man muss hier wirklich mit den Def. arbeiten!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
okay ich bin hier wohl etwas mit der Tür ins Haus gefallen was mein herangehen anbetrifft.
Nun noch einmal ein Versuch auf etwas vorsichtigere Art und weise:
(a)
ich weiß also, dass alle partiellen Ableitungen im Punkt u existieren und in diesem Punkt auch stetig sind.
Nun ist gefagt ob f in u ebenfalls stetig ist.
Die Stetigkeit kann ich sowohl mit [mm] \varepsilon-\detla [/mm] Zeigen, als auch mit dem Folgenkriterium (ich bräuchte also Folgen [mm] a_n [/mm] aus [mm] IR^n [/mm] mit GW u so, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(a_n)=f(u) [/mm] oder?)
Dann die Definition der partiellen Ableitung im Punkt u nach der i-ten Variablen lautet:
[mm] \bruch{\delta f}{\delta x_i}(u)=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(u_1,...,u_i+h,...,u_n)-f(u_1,...,u_n)}{h}
[/mm]
Aber wie bringe ich die Beiden Definitionen zsm?
Muss ich eine Folge finden, die ich wo einsetze um letztlich was zu erreichen?
Ich stehe gerade wie der Ochse vorm Berg
(b)
Für einen Extremwert muss die notwendige Bedingung gelten, dass die erste Ableitung gleich 0 ist, da dies in u jedoch nicht gegeben ist, hat f in u auch keinen Extremwert oder?
(c)
Ich bin mir bei folgendem Ansatz nicht wirklich sicher ob das so passt aber ich probiere es einfach mal:
wenn ich habe [mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(u+tv)-f(u)}{t} [/mm] dann kann ich das ja auch schreiben als [mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(u_i+t*v_1,...,u_n+t*v_n)-f(u_1,...,u_n)}{t} [/mm] also einfach Komponenetenweise. Dies kommt der partiellen Ableitung ja sehr nahe, da diese ja eigentlich eine Spezielle Richtungsableitung ist.
Wie jetzt aber weiter?
einfach subtrahieren bringt mir nicht viel würde ich sagen. Dann erhielte ich einfach nur [mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(tv)}{t}.
[/mm]
Wie also weiter?
(d)
Hier stehe ich immer noch Komplett auf dem Schlauch was überhaupt machen.
Für weitere Hilfe, Korrekturen ud Anstöße wäre ich sehr dankbar.
Gruß Zerwas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 Sa 19.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
zua) hier brauchst du die Stetigkeit der 1. Ableitung.
1.
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x1}=1
[/mm]
heisst [mm] (|f(u+h1)-f(u)|<(1+\varepsilon)*|h1| [/mm] h1=(h1,0,0...) für [mm] |h1|<\delta
[/mm]
jetzt die Stetigkeit der part. Ableitung heisst in der Umgebung von u
[mm] 0,9<\bruch{\partial f}{\partial x1}<1 [/mm] zum Beispiel.
deshalb
[mm] |f(u+h1+h2)-f(u+h1)|<(1,1+\varepsilon)*h2 [/mm] usw.
Das gibt insgesamt die Lipschitzstetigkeit.
mit ähnlichen Argumenten gehen die anderen Teile auch.
bei c)etwa denk an die Linearität der Ableitung:
f'(u)(v1+v2)=f'(u)v1+f'(u)v2
bei d musst du dir nur gradf mal aufschreiben!
Gruss leduart
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