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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 Do 29.05.2008 | | Autor: | skydyke |
| Aufgabe | Gegeben Sei eine Funktion f(x,y) = [mm] x^2 +y^2, [/mm] (x,y) [mm] \in \IR^2.
[/mm]
a) Berechnen Sie die Ableitung von f(x,y) sowie die Richtungsableitung [mm] \partial_v [/mm] f(x,y) in Richtung v = [mm] \vektor{3 \\ 1}.
[/mm]
b) Bestimmen Sie die Tangentialhyperebene an den Graphen von f im Punkt a = (3,4).
c) Berechnen Sie für die Kurve
[mm] \gamma(t) [/mm] = [mm] \vektor{t cos(t) \\ t sin(t)}, [/mm] t [mm] \in \IR
[/mm]
die Ableitung [mm] \bruch{d}{dt} f(\gamma(t)) [/mm] auf zwei verschiedenen Weisen. |
hi,
also ich hab bei a)
f'= [mm] \vektor{2x \\ 2y}
[/mm]
Richtungsableitung: [mm] \partial_v [/mm] f(x,y) = 6x + 2y
zu b)
Tangentialebene: 6x + 8y - z - 24 = 0
da wollt ich mal fragen ob das so richtig ist.
zu c)
da soll ich einmal mit der Kettenregel ableiten, dann hab ich
[mm] f(\gamma(t))=f'(\gamma(t))*f \gamma'(t)
[/mm]
= [mm] \vektor{2x \\ 2y} (\vektor{t cos(t) \\ t sin(t)}) [/mm] * [mm] \vektor{cos(t) - t sin(t) \\ t cos(t) + sin(t)}
[/mm]
wäre das soweit richtig? und wenn ja, wie kann ich das denn vereinfachen?
so und dann soll ich noch auf eine andere weise ableiten, da haben wie als tipp bekommen, dass wir f(t) berechnen sollen und dann das ableiten sollen. aber wie soll ich das denn amchen???
wär toll wenn man mir da weiterhelfen könnte.
lg
sabrina
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Hallo skydyke,
> Gegeben Sei eine Funktion f(x,y) = [mm]x^2 +y^2,[/mm] (x,y) [mm]\in \IR^2.[/mm]
>
> a) Berechnen Sie die Ableitung von f(x,y) sowie die
> Richtungsableitung [mm]\partial_v[/mm] f(x,y) in Richtung v =
> [mm]\vektor{3 \\ 1}.[/mm]
> b) Bestimmen Sie die Tangentialhyperebene
> an den Graphen von f im Punkt a = (3,4).
> c) Berechnen Sie für die Kurve
> [mm]\gamma(t)[/mm] = [mm]\vektor{t cos(t) \\ t sin(t)},[/mm] t [mm]\in \IR[/mm]
> die
> Ableitung [mm]\bruch{d}{dt} f(\gamma(t))[/mm] auf zwei verschiedenen
> Weisen.
> hi,
>
> also ich hab bei a)
> f'= [mm]\vektor{2x \\ 2y}[/mm]
> Richtungsableitung: [mm]\partial_v[/mm]
> f(x,y) = 6x + 2y
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> zu b)
> Tangentialebene: 6x + 8y - z - 24 = 0
>
> da wollt ich mal fragen ob das so richtig ist.
Nicht ganz:
[mm]6x+8y-z-\red{25}=0[/mm]
>
> zu c)
> da soll ich einmal mit der Kettenregel ableiten, dann hab
> ich
> [mm]f(\gamma(t))=f'(\gamma(t))*f \gamma'(t)[/mm]
> = [mm]\vektor{2x \\ 2y} (\vektor{t cos(t) \\ t sin(t)})[/mm]
> * [mm]\vektor{cos(t) - t sin(t) \\ t cos(t) + sin(t)}[/mm]
>
> wäre das soweit richtig? und wenn ja, wie kann ich das denn
> vereinfachen?
Setze [mm]x=t*\cos\left(t\right), \ y=t*\sin\left(t\right)[/mm] ein.
> so und dann soll ich noch auf eine andere weise ableiten,
> da haben wie als tipp bekommen, dass wir f(t) berechnen
> sollen und dann das ableiten sollen. aber wie soll ich das
> denn amchen???
>
> wär toll wenn man mir da weiterhelfen könnte.
Setze auch hier [mm]x=t*\cos\left(t\right), \ y=t*\sin\left(t\right)[/mm] in [mm]f\left(x,y\right)=x^{2}+y^{2}[/mm] ein.
>
> lg
> sabrina
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Sa 31.05.2008 | | Autor: | skydyke |
hi,
danke für die hilfe.
> > zu c)
> > da soll ich einmal mit der Kettenregel ableiten, dann
> hab
> > ich
> > [mm]f(\gamma(t))=f'(\gamma(t))*f \gamma'(t)[/mm]
> > = [mm]\vektor{2x \\ 2y} (\vektor{t cos(t) \\ t sin(t)})[/mm]
> > * [mm]\vektor{cos(t) - t sin(t) \\ t cos(t) + sin(t)}[/mm]
> >
> > wäre das soweit richtig? und wenn ja, wie kann ich das denn
> > vereinfachen?
>
>
> Setze [mm]x=t*\cos\left(t\right), \ y=t*\sin\left(t\right)[/mm]
> ein.
da hätt ich dann:
[mm]f(\gamma(t))=f'(\gamma(t))*f \gamma'(t)[/mm]
= [mm]\vektor{2x \\ 2y} (\vektor{t cos(t) \\ t sin(t)})[/mm]
* [mm]\vektor{cos(t) - t sin(t) \\ t cos(t) + sin(t)}[/mm]
= [mm] \vektor{2*t*cos^2(t)-t*sin(t) \\ 2*t^2*sin(t)*cos(t)+sin(t)}
[/mm]
> > so und dann soll ich noch auf eine andere weise ableiten,
> > da haben wie als tipp bekommen, dass wir f(t) berechnen
> > sollen und dann das ableiten sollen. aber wie soll ich das
> > denn amchen???
> >
> > wär toll wenn man mir da weiterhelfen könnte.
>
>
> Setze auch hier [mm]x=t*\cos\left(t\right), \ y=t*\sin\left(t\right)[/mm]
> in [mm]f\left(x,y\right)=x^{2}+y^{2}[/mm] ein.
da hätt ich dann am Ende:
f'(t)=4*t-2*t*sin(t)+2*t*cos(t)+2*cos(t)+2*sin(t)
wäre das soweit richtig?
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Hallo skydyke,
> hi,
>
> danke für die hilfe.
>
>
> > > zu c)
> > > da soll ich einmal mit der Kettenregel ableiten,
> dann
> > hab
> > > ich
> > > [mm]f(\gamma(t))=f'(\gamma(t))*f \gamma'(t)[/mm]
> > > =
> [mm]\vektor{2x \\ 2y} (\vektor{t cos(t) \\ t sin(t)})[/mm]
> > > * [mm]\vektor{cos(t) - t sin(t) \\ t cos(t) + sin(t)}[/mm]
> > >
>
> > > wäre das soweit richtig? und wenn ja, wie kann ich das denn
> > > vereinfachen?
> >
> >
> > Setze [mm]x=t*\cos\left(t\right), \ y=t*\sin\left(t\right)[/mm]
> > ein.
>
> da hätt ich dann:
> [mm]f(\gamma(t))=f'(\gamma(t))*f \gamma'(t)[/mm]
> = [mm]\vektor{2x \\ 2y} (\vektor{t cos(t) \\ t sin(t)})[/mm]
> * [mm]\vektor{cos(t) - t sin(t) \\ t cos(t) + sin(t)}[/mm]
>
> = [mm]\vektor{2*t*cos^2(t)-t*sin(t) \\ 2*t^2*sin(t)*cos(t)+sin(t)}[/mm]
Das musst Du nochmal nachrechnen.
>
> > > so und dann soll ich noch auf eine andere weise ableiten,
> > > da haben wie als tipp bekommen, dass wir f(t) berechnen
> > > sollen und dann das ableiten sollen. aber wie soll ich das
> > > denn amchen???
> > >
> > > wär toll wenn man mir da weiterhelfen könnte.
> >
> >
> > Setze auch hier [mm]x=t*\cos\left(t\right), \ y=t*\sin\left(t\right)[/mm]
> > in [mm]f\left(x,y\right)=x^{2}+y^{2}[/mm] ein.
>
> da hätt ich dann am Ende:
> f'(t)=4*t-2*t*sin(t)+2*t*cos(t)+2*cos(t)+2*sin(t)
Das selbe gilt hier, nochmal nachrechnen.
>
> wäre das soweit richtig?
Gruß
MathePower
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