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Hallo ihr Lieben!
Meine Freundin Susann und ich sollen eine Aufgabe lösen, doch leider haben wir beide keine Ahnung, wie wir das schaffen könnten!
Hier ist sie:
Sei [mm] P:\left]0,\infty\right[ \times \left]0,2\pi\right[ \to \IR^{2} [/mm] mit [mm] P(r,\varphi):= (r*\cos\varphi,r*\sin\varphi).
[/mm]
Sei f: [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] zweimal stetig diffbar und [mm] \tilde f:=f\circ [/mm] P.
Nun sollen wir [mm] \bruch{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\bruch{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} [/mm] in Termen der partiellen Ableitungen (auch 2. Ordnung) berechnen.
Dabei soll uns folgendes aus vorheriger Aufgabe helfen:
1.) [mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] = [mm] \cos \varphi*\bruch{\partial \tilde f}{\partial r}-\bruch{1}{r}*\sin\varphi*\bruch{\partial \tilde f}{\partial \varphi} [/mm] und
2.) [mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] = [mm] \sin\varphi*\bruch{\partial \tilde f}{\partial r}+\bruch{1}{r}*\cos\varphi*\bruch{\partial \tilde f}{\partial\varphi}.
[/mm]
Aber leider tut es das nicht!
Für normale Funktionen haben wir die partiellen Ableitungen schon berechnet, aber dies verwirrt uns völlig!
Kann uns vielleicht jemand helfen und uns wenigstens einen Tip oder einen Ansatz schreiben, damit wir weiterkommen?!
Wäre super lieb...!
Lieben Gruß Jessi
PS.: Nicht wundern, wenn Susann anwortet, denn ich verlasse gleich die Bücherei und habe dann kein Internet mehr!
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Hallo,
> Hier ist sie:
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> Sei [mm]P:\left]0,\infty\right[ \times \left]0,2\pi\right[ \to \IR^{2}[/mm]
> mit [mm]P(r,\varphi):= (r*\cos\varphi,r*\sin\varphi).[/mm]
> Sei f:
> [mm]\IR^{2} \to \IR[/mm] zweimal stetig diffbar und [mm]\tilde f:=f\circ[/mm]
> P.
>
> Nun sollen wir [mm]\bruch{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\bruch{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}[/mm]
> in Termen der partiellen Ableitungen (auch 2. Ordnung)
> berechnen.
> Dabei soll uns folgendes aus vorheriger Aufgabe helfen:
>
> 1.) [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] = [mm]\cos \varphi*\bruch{\partial \tilde f}{\partial r}-\bruch{1}{r}*\sin\varphi*\bruch{\partial \tilde f}{\partial \varphi}[/mm]
> und
>
> 2.) [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm] =
> [mm]\sin\varphi*\bruch{\partial \tilde f}{\partial r}+\bruch{1}{r}*\cos\varphi*\bruch{\partial \tilde f}{\partial\varphi}.[/mm]
Das sieht mir ganz so aus, als ob ihr den Laplace-Operator in Polarkoordinaten bestimmen müßt.
Die Gleichung die Ihr ableiten müßt ist diese:
[mm]f\left( {x\left( {r,\;\varphi } \right),\;y\left( {r,\;\varphi } \right)} \right)\; = \;f\left( {r,\;\varphi } \right)[/mm]
bzw.
[mm]f(r\left( {x,\;y} \right),\;\varphi \left( {x,\;y} \right))\; = \;f\left( {x,\;y} \right)[/mm]
Welche Ihr da nehmt ist Geschmacksache.
Diese Gleichung müßt Ihr dann zweimal ableiten, dazu bedient Ihr Euch der Kettenregel.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Do 28.04.2005 | | Autor: | Sanshine |
Hi! Ich bin Staatsis Kommilitonin und wollte mich schon mal in ihrem und meinem Namen bedanken. Mal sehen, wie weit uns das weiterhilft, jetzt erst einmal kann ich noch nicht so viel damit anfangen ;).
Aber trotzdem schon mal vorab vielen Dank für die Mühe,
Sanshine (und Staatsi)
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