partielle Ableitungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir nehmen an, dass die Wir nehmen an, dass die zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion f : [mm] \IR^2 \rightarrow \IR [/mm] existieren.
a) Sei [mm] \bruch{\partial*f}{\partial*x} [/mm] identisch 0. Dann gibt es eine Funktion g : [mm] \IR \rightarrow \IR [/mm] mit f(x,y) = g(y) für alle x, y [mm] \in [/mm] R.
b) Sei [mm] \bruch{\partial^2*f}{\partial*x* \partial*y} [/mm] identisch 0. Dann gibt es Funktionen g, h : [mm] \IR [/mm] → [mm] \IR [/mm] mit f(x, y) = g(x)+h(y) für
alle x, y [mm] \in \IR. [/mm] (Tipp: Benutzen Sie a)).
c) Sei f(x,y) ≥ f(0) für alle x, y [mm] \in [/mm] [−1, 1] für alle x, y [mm] \in [/mm] [−1, 1]. Zeigen Sie, dass ∇f(0) = 0.
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Hallo zusammen,
mein Ansatz bei dieser Aufgabe war folgender:
a) Man weiß, dass die 2.Ableitungen existieren und dass aber die erste Ableitung nach x gleich Null ist. => x kommt in der Funktion gar nicht vor! (denn wenn x auch nur in der Potenz hoch 1 vorkommen würde, müsste die 1.Ableitung ja zumindest eine Konstante [mm] \not= [/mm] 0 sein). Deswegen kann man f(x,y) auch schreiben als: g(y).
Wie schreibe ich das Ganze mathematisch hin? Da ich ja nicht weiß, wie die Funktion aussieht, kann ich ja nicht einmal mit frei gewählten Buchstaben versuchen, die Funktion / Ableitungen auszudrücken?
b) [mm] \bruch{\partial^2*f}{\partial*x* \partial*y} [/mm] ist die Ableitung nach y von der Ableitung von f nach x (die Funktion wurde zuerst nach x, dann nach y abgeleitet.
Ich soll zeigen, dasss es Funktionen g(x) und h(y) gibt (wobei in g(x) kein y vorkommt und in h(y) kein x - erstes Problem: wie schreibe ich das mathematisch hin? Einfach: y [mm] \not\in [/mm] g(x) / x [mm] \not\in [/mm] h(y)?) und wobei gilt: f(x,y) = g(x) + h(y).
Da die Ableitung nach y von der Ableitung von f nach x existiert und 0 ist, muss die erste Ableitung von f nach x existieren und darf nicht 0 sein. Außerdem darf in ihr kein y vorkommen, weil sonst wäre [mm] \bruch{\partial^2*f}{\partial*x* \partial*y} [/mm] = [mm] \bruch{\partial}{\partial*y} [/mm] ( [mm] \bruch{\partial}{\partial*x}) \not= [/mm] 0. Schreibe ich das wieder einfach y [mm] \not\in \bruch{\partial*f}{\partial*x} [/mm] ? Somit können in f schonmal keine Produkterme, in denen x und y vorkommten, also keinerlei Produkte aus x und y vorkommen, denn sonst müsste in der 1.Ableitung nach x ja irgendwo ein y stehen und die Ableitung nach y von der Ableitung nach x wäre nicht 0.
Daraus, dass die 1.Ableitung von f nach x, also [mm] \bruch{\partial}{\partial*x} [/mm] existiert und nicht 0 ist, kann ich folgern, dass die 2.partielle Ableitung doppelt nach x also [mm] \bruch{\partial^2*f}{\partial*x^2} [/mm] existiert. Sie kann jedoch evtl. 0 sein.
und bei der c) wusste ich nicht so genau wie ich das angehen soll. Aus der Angabe f(x,y) ≥ f(0) (x,y [mm] \in [/mm] [-1,1]) kann ich ja nicht einmal entnehmen, ob f(x,y) positiv oder negativ ist, da ich ja überhaupt nicht weiß, wie die Funktion aussieht. Außerdem ist wieder nicht klar, ob bzw. welche Bedingungen aus den Teilaufgaben a und b auch für diese gelten :-(
Meine Idee hierfür ist aber, dass ∇f(0) = ( [mm] \bruch{\partial*f(0)}{partial*x}, \bruch{\partial*f(0)}{partial*y} [/mm] = (0,0) [mm] \gdw [/mm] in der Funktion x und y nicht beide im gleichen Produkt vorkommen (denn sonst käme in der 1.Ableitung nach x irgendwie ein y vor und umgekehrt). Jetzt muss ich also noch zeigen, dass das daraus folgt, dass f(x,y) ≥ f(0) (x,y [mm] \in [/mm] [-1,1]), oder? ich weiß aber nicht wie und ob es noch andere Bedinungen hierfür gibt (die ich verwenden könnte).
Danke schonmal für nen Tipp / Verbesserungsvorschläge...
lG
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> Wir nehmen an, dass die Wir nehmen an, dass die zweiten
> partiellen Ableitungen einer Funktion f : [mm]\IR^2 \rightarrow \IR[/mm]
> existieren.
> a) Sei [mm]\bruch{\partial*f}{\partial*x}[/mm] identisch 0. Dann
> gibt es eine Funktion g : [mm]\IR \rightarrow \IR[/mm] mit f(x,y) =
> g(y) für alle x, y [mm]\in[/mm] R.
> b) Sei [mm]\bruch{\partial^2*f}{\partial*x* \partial*y}[/mm]
> identisch 0. Dann gibt es Funktionen g, h : [mm]\IR[/mm] → [mm]\IR[/mm] mit
> f(x, y) = g(x)+h(y) für
> alle x, y [mm]\in \IR.[/mm] (Tipp: Benutzen Sie a)).
> c) Sei f(x,y) ≥ f(0) für alle x, y [mm]\in[/mm] [−1, 1] für
> alle x, y [mm]\in[/mm] [−1, 1]. Zeigen Sie, dass ∇f(0) = 0.
>
> Hallo zusammen,
>
> mein Ansatz bei dieser Aufgabe war folgender:
>
> a) Man weiß, dass die 2.Ableitungen existieren und dass
> aber die erste Ableitung nach x gleich Null ist. =>
> Erstens: die 2.partielle Ableitung nach x kann NICHT
> existieren, weil man 0 nicht ableiten kann.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
0 kann man beliebig oft ableiten, und es kommt immer 0 heraus.
> Das verwirrt mich ein bisschen, weil es sich ja mit der Aufgabenstellung
> widerspricht, oder doch nicht, weil da ja nicht steht "dass
> ALLE zweiten partiellen Ableitungen existieren", sondern
> nur "die". Heißt das wohl, dass die gemischten
> 2.Ableitungen existieren müssen und die anderen nicht
> unbedingt? Oder habe ich einen Denkfehler drin??
Das heißt, dass alle part. 2. Ableitungen existieren, die gemischten und die "reinen".
> und zweitens: x kommt in der Funktion gar nicht vor! (denn wenn
> x auch nur in der Potenz hoch 1 vorkommen würde, müsste
> die 1.Ableitung ja zumindest eine Konstante [mm]\not=[/mm] 0 sein).
> Deswegen kann man f(x,y) auch schreiben als: g(y).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie schreibe ich das Ganze mathematisch hin? Da ich ja
> nicht weiß, wie die Funktion aussieht, kann ich ja nicht
> einmal mit frei gewählten Buchstaben versuchen, die
> Funktion / Ableitungen auszudrücken?
Das hast du soeben getan. Mathematik ist nicht nur das Rumrechnen mit Zahlen und Buchstaben, sondern in erster Linie das logische argumentieren. a) ist somit gelöst. Nochmals ganz sauber:
Wegen [mm]\bruch{\partial*f}{\partial*x}[/mm] [mm] \equiv [/mm] 0 ist f(x,y)=const(y) eine Konstante bezüglich x, die aber noch bezgl. y veränderlich sein kann, also = g(y).
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:11 Mo 11.01.2010 | | Autor: | a_la_fin |
ok, Danke! Das war wohl der bekloppteste Fehler, den ich seit Ewigkeiten gemacht habe. Von wegen 0 kann man nicht ableiten... ^^
Meine Bitte wäre noch, dass sich vllt. jemand die Teilaufgaben b und c noch anschaut und dazu deine Senf dazugibt...?
Wär sehr nett!
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Zu b)
Betrachte $ [mm] s(x,y)=\bruch{\partial f(x,y)}{ \partial y} [/mm] $
Dann ist [mm] \bruch{\partial s(x,y)}{ \partial x}=\bruch{\partial^2f}{\partial x\cdot{} \partial y} [/mm] identisch 0 nach Voraussetzung b).
Wendet man nun a) auf [mm] \bruch{\partial s(x,y)}{ \partial x} [/mm] identisch 0 an, so ergibt sich, dass
s(x,y) nur von y abhängt. Dann kann die Stammfunktion f(x,y) = [mm] \integral{s(y) dy}+C [/mm] nur in der "Konstanten" C die Variable x enthalten, also f(x,y) = S(y) +C(x).
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mo 18.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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