partielle Ableitungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:59 Sa 24.12.2011 | | Autor: | rata123 |
| Aufgabe | | Ermitteln Sie die Gleichung der Tangentialebene von f(x,y) = [mm] (x^{2} [/mm] + [mm] 2y)^{\bruch{1}{6}} [/mm] an der Stelle (3;-4) an. Ermitteln Sie die Richtungsableitung von f an dieser Stelle in Richtung mit Winkel [mm] \alpha=\bruch{-3\pi}{4} [/mm] |
Ich habe zunächst die Ableitungen gebildet und wollte mich vergewissern, ob diese richtig sind bevor ich mit falschen Ableitungen weiterrechne:
[mm] fx(x,y)=\bruch{1}{3}x(x^{2}+2y)^{\bruch{-5}{6}}
[/mm]
[mm] fy(x,y)=\bruch{1}{3}(x^{2}+2y)^{\bruch{-5}{6}}
[/mm]
[mm] fxx(x,y)=\bruch{-5}{3}(x^{2}+2y)^{\bruch{-11}{6}}
[/mm]
[mm] fyy(x,y)=\bruch{-5}{9}(x^{2}+2y)^{\bruch{-11}{6}}
[/mm]
[mm] fxy(x,y)=\bruch{1}{9}(x^{2}+2y)^{\bruch{-5}{6}}
[/mm]
Vielen Dank :D
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Sa 24.12.2011 | | Autor: | rata123 |
Ableitung fxx(x,y):
[mm] fx(x,y)=\bruch{1}{3}x(x^{2}+2y)^{\bruch{-5}{6}}
[/mm]
[mm] u=\bruch{1}{3}x [/mm] .... [mm] v=(x^{2}+2y)^{\bruch{-5}{6}}
[/mm]
u´ [mm] =\bruch{1}{3} [/mm] v´= [mm] g(x)=z^{\bruch{-5}{6}} [/mm]
[mm] g´(x)=\bruch{-5}{6}z^{\bruch{-11}{6}}
[/mm]
[mm] z=(x^{2}+2y)
[/mm]
z´=2x
[mm] \underbrace
[/mm]
[mm] \bruch{-5}{6}(x^{2}+2y)^{\bruch{-11}{6}}\*2x [/mm]
[mm] \Rightarrow fxx(x,y)=\bruch{-5}{3}x(x^{2}+2y)^{\bruch{-11}{6}}
[/mm]
So, ich denke den Fehler hab ich damit gefunden. Bei fxy(x,y) komm ich jetzt auf:
[mm] fx(x,y)=\bruch{1}{3}x(x^{2}+2y)^{\bruch{-5}{6}}
[/mm]
[mm] u=\bruch{1}{3}x [/mm] .... [mm] v=(x^{2}+2y)^{\bruch{-5}{6}}
[/mm]
u´ =0 v´= [mm] g(x)=z^{\bruch{-5}{6}} [/mm]
[mm] g´(x)=\bruch{-5}{6}z^{\bruch{-11}{6}}
[/mm]
[mm] z=(x^{2}+2y)
[/mm]
z´=2
[mm] \underbrace
[/mm]
[mm] \bruch{-5}{6}(x^{2}+2y)^{\bruch{-11}{6}}\*2 [/mm]
[mm] \Rightarrow fxy(x,y)=\bruch{-5}{3}(x^{2}+2y)^{\bruch{-11}{6}}
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Ableitung fxx(x,y):
>
> [mm]fx(x,y)=\bruch{1}{3}x(x^{2}+2y)^{\bruch{-5}{6}}[/mm]
>
>
> [mm]u=\bruch{1}{3}x[/mm] .... [mm]v=(x^{2}+2y)^{\bruch{-5}{6}}[/mm]
>
> u´ [mm]=\bruch{1}{3}[/mm]
> v´= [mm]g(x)=z^{\bruch{-5}{6}}[/mm]
>
> [mm]g´(x)=\bruch{-5}{6}z^{\bruch{-11}{6}}[/mm]
>
> [mm]z=(x^{2}+2y)[/mm]
> z´=2x
>
> [mm]\underbrace[/mm]
>
> [mm]\bruch{-5}{6}(x^{2}+2y)^{\bruch{-11}{6}}\*2x[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow fxx(x,y)=\bruch{-5}{3}x(x^{2}+2y)^{\bruch{-11}{6}}[/mm]
Wie das? Was ist mit der Produktregel?
[mm]f_{xx}(x,y)=\underbrace{\frac{1}{3}}_{u'}\cdot{}\underbrace{(x^2+2y)^{-5/6}}_{v}+\underbrace{\frac{1}{3}x}_{u}\cdot{}\underbrace{2x\cdot{}\left(-5/6\right)\cdot{}(x^2+2y)^{-11/6}}_{v'}=...[/mm]
>
> So, ich denke den Fehler hab ich damit gefunden. Bei
> fxy(x,y) komm ich jetzt auf:
>
> [mm]fx(x,y)=\bruch{1}{3}x(x^{2}+2y)^{\bruch{-5}{6}}[/mm]
>
>
> [mm]u=\bruch{1}{3}x[/mm] .... [mm]v=(x^{2}+2y)^{\bruch{-5}{6}}[/mm]
>
> u´ =0
Das ist richtig, aber umständlich, ist doch nur eine multiplikative Konstante bzgl. y, da brauchst du die Produktregel nicht.
[mm]1/3x[/mm] stehenlassen und nur die Klammer ableiten.
[mm]g(x)=4x^2[/mm] leitest du doch auch nicht mit der Produktregel ab ...
> v´= [mm]g(x)=z^{\bruch{-5}{6}}[/mm]
> [mm]g´(x)=\bruch{-5}{6}z^{\bruch{-11}{6}}[/mm]
>
> [mm]z=(x^{2}+2y)[/mm]
> z´=2
>
> [mm]\underbrace[/mm]
>
> [mm]\bruch{-5}{6}(x^{2}+2y)^{\bruch{-11}{6}}\*2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow fxy(x,y)=\bruch{-5}{3}(x^{2}+2y)^{\bruch{-11}{6}}[/mm]
Das stimmt nicht!
Wende entweder die Produktregel richtig an (analog zu [mm] $f_{xx}$) [/mm] oder einfacher wie beschrieben mit $1/3x$ als konstantem Faktor nach y ableiten
Auf ein Neues!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:41 Sa 24.12.2011 | | Autor: | rata123 |
Stimmt. Mein Fehler. Ich hab das wohl einfach irgendwie übersehen.
[mm] fxx(x,y)=\bruch{1}{3}(x^{2}+2y)^{\bruch{-5}{6}}-\bruch{5}{9}x^{2}(x^{2}+2y)^{\bruch{-11}{6}}
[/mm]
[mm] fxy(x,y)=\bruch{-5}{9}x(x^{2}+2y)^{\bruch{-11}{6}}
[/mm]
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