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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f : R2 −> R, f(x, y) = e^(−(x²+y²))
a) Berechnen Sie die ersten und zweiten partiellen Ableitungen von f.
b) Geben Sie die Gleichung der Tangentialebene an f im Punkt
(x1, y1) = (2,−1) an.
c) Geben Sie die Richtungsableitung von f in Richtung des Vektors
h = (1/√2)( [mm] \vektor{1 \\ -1} [/mm] )
an. Wie groß ist die Steigung von f in Richtung h
im Punkt (x2, y2) = (1, 1) ?
d) Bestimmen Sie die Extrempunkte (Maxima, Minima) von f. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
a)
1. p-Ableitung:
i) -2x e^-(x² + y²)
II) -2y e^-(x² + y²)
2. p-Ableitung von
i) 4x² e^-(x² + y²)
i) 4xy e^-(x² + y²)
ii) 4xy e^-(x² + y²)
ii) 4y² e^-(x² + y²)
liege ich da falsch?
b) gar keine Ahnung *schäm*
c)Richtungsableitung keine ahnung
Anstieg dürfte der ersten Ableitung entsprechen, oder?
d) extrema dürfte der 2. ableitung entsprechen, gell?
schade nur, dass es da bei mir hapert :(
Dankeschön schonmal für die Hilfe
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Hallo teddy-exe,
> Gegeben ist die Funktion f : R2 −> R, f(x, y) =
> e^(−(x²+y²))
>
> a) Berechnen Sie die ersten und zweiten partiellen
> Ableitungen von f.
> b) Geben Sie die Gleichung der Tangentialebene an f im
> Punkt
> (x1, y1) = (2,−1) an.
> c) Geben Sie die Richtungsableitung von f in Richtung des
> Vektors
> h = (1/√2)( [mm]\vektor{1 \\ -1}[/mm] )
> an. Wie groß ist die Steigung von f in Richtung h
> im Punkt (x2, y2) = (1, 1) ?
> d) Bestimmen Sie die Extrempunkte (Maxima, Minima) von f.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> a)
>
> 1. p-Ableitung:
>
> i) -2x e^-(x² + y²)
> II) -2y e^-(x² + y²)
>
> 2. p-Ableitung von
>
> i) 4x² e^-(x² + y²)
> i) 4xy e^-(x² + y²)
>
> ii) 4xy e^-(x² + y²)
> ii) 4y² e^-(x² + y²)
>
Die gemischte 2. partielle Ableitung [mm]f_{xy}[/mm] stimmt.
Hingegen musst Du [mm]f_{xx}, \ f_{yy}[/mm] nochmal nachrechnen.
> liege ich da falsch?
>
> b) gar keine Ahnung *schäm*
>
Betrachte einen Punkt im [mm]\IR^{3}[/mm]
Diese Punkt genügt der Darstellung: [mm]\pmat{x \\ y \\ f\left(x,y\right)[/mm].
Von diesem Vektor bildest Du die partiellen Ableitungen
nach x und y und bilde davon das Kreuzprodukt im Punkt [mm]\left(x_{1}, \ y_{1}\right)[/mm]
Ist [mm]\vec{n}[/mm] das Ergebnis dieses Kreuzproduktes,
so ergibt sich die Gleichung der Tangentialebene zu:
[mm]\left(\ \pmat{x \\ y \\ z}-{\pmat{x_{1} \\ y_{1} \\ f\left(x_{1},\ y_{1}\right) } \right) \* \vec{n}=0[/mm]
> c)Richtungsableitung keine ahnung
> Anstieg dürfte der ersten Ableitung entsprechen, oder?
>
Bilde hier den Grenzwert von
[mm]\limes_{t \to 0}{\bruch{f\left(x+t*\bruch{1}{\wurzel{2}},y-t*\bruch{1}{\wurzel{2}}\right)-f\left(x,y\right)}{t}[/mm]
> d) extrema dürfte der 2. ableitung entsprechen, gell?
>
Löse hier die Gleichungen
[mm]-2x e^{-(x² + y²)}=0[/mm]
[mm]-2y e^{-(x² + y²)}=0[/mm]
und entscheide mit Hilfe der ![[]](/images/popup.gif) Hessematrix,
um welche Art Extrema es sich handelt.
> schade nur, dass es da bei mir hapert :(
>
> Dankeschön schonmal für die Hilfe
>
Gruss
MathePower
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Hi MathePower
Du hast nicht zufällig Lust, meine Matheprüfung zu schreiben? -,-
Erstmal danke für die ausführliche Antwort.
> > a)
> >
> > 1. p-Ableitung:
> >
> > i) -2x e^-(x² + y²)
> > II) -2y e^-(x² + y²)
> >
> > 2. p-Ableitung von
> >
> > i) 4x² e^-(x² + y²)
> > i) 4xy e^-(x² + y²)
> >
> > ii) 4xy e^-(x² + y²)
> > ii) 4y² e^-(x² + y²)
> >
>
das heisst, dass die zeile
i) 4xy e^-(x² + y²)
korrekt ist? müsste demnach nicht zumindest auch [mm]f_{yx}[/mm] richtig sein?
wenn ich mich recht entsinne, dann wird bei der ableitung eines [mm] e^x [/mm] das x abgeleitet, vor das e gesetzt und der rest bleibt. oder irre ich da?
die 1. p-ableitungen sind aber richtig?
> Die gemischte 2. partielle Ableitung [mm]f_{xy}[/mm] stimmt.
>
> Hingegen musst Du [mm]f_{xx}, \ f_{yy}[/mm] nochmal nachrechnen.
>
>
> > liege ich da falsch?
> >
> > b) gar keine Ahnung *schäm*
> >
>
> Betrachte einen Punkt im [mm]\IR^{3}[/mm]
>
> Diese Punkt genügt der Darstellung: [mm]\pmat{x \\ y \\ f\left(x,y\right)[/mm].
>
> Von diesem Vektor bildest Du die partiellen Ableitungen
> nach x und y und bilde davon das Kreuzprodukt im Punkt
> [mm]\left(x_{1}, \ y_{1}\right)[/mm]
>
> Ist [mm]\vec{n}[/mm] das Ergebnis dieses Kreuzproduktes,
> so ergibt sich die Gleichung der Tangentialebene zu:
>
> [mm]\left(\ \pmat{x \\ y \\ z}-{\pmat{x_{1} \\ y_{1} \\ f\left(x_{1},\ y_{1}\right) } \right) \* \vec{n}=0[/mm]
>
partielle ableitung eines vektors? O.o ....Da muss ich morgen mal ins Skript gucken, ob wir das hatten.
> > c)Richtungsableitung keine ahnung
> > Anstieg dürfte der ersten Ableitung entsprechen, oder?
> >
>
>
> Bilde hier den Grenzwert von
>
> [mm]\limes_{t \to 0}{\bruch{f\left(x+t*\bruch{1}{\wurzel{2}},y-t*\bruch{1}{\wurzel{2}}\right)-f\left(x,y\right)}{t}[/mm]
>
wie bist du auf diese formel gekommen?
> > d) extrema dürfte der 2. ableitung entsprechen, gell?
> >
>
>
> Löse hier die Gleichungen
>
> [mm]-2x e^{-(x² + y²)}=0[/mm]
>
> [mm]-2y e^{-(x² + y²)}=0[/mm]
>
> und entscheide mit Hilfe der
> Hessematrix,
> um welche Art Extrema es sich handelt.
>
> Gruss
> MathePower
Das heisst, die erste Ableitung (die ich anscheinend oben richtig gemacht habe :) )null setzen.
e^irgendwas [mm] \not= [/mm] 0
daher muss x, bzw y null sein.korrekt?
ich vermute mal einen sattelpunkt....
Danke schonmal für die Antwort
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Hallo teddy-exe,
> Hi MathePower
>
> Du hast nicht zufällig Lust, meine Matheprüfung zu
> schreiben? -,-
>
Nein.
> Erstmal danke für die ausführliche Antwort.
>
>
> > > a)
> > >
> > > 1. p-Ableitung:
> > >
> > > i) -2x e^-(x² + y²)
> > > II) -2y e^-(x² + y²)
> > >
> > > 2. p-Ableitung von
> > >
> > > i) 4x² e^-(x² + y²)
> > > i) 4xy e^-(x² + y²)
> > >
> > > ii) 4xy e^-(x² + y²)
> > > ii) 4y² e^-(x² + y²)
> > >
> >
> das heisst, dass die zeile
> i) 4xy e^-(x² + y²)
> korrekt ist? müsste demnach nicht zumindest auch [mm]f_{yx}[/mm]
> richtig sein?
Ja, das ist es auch.
> wenn ich mich recht entsinne, dann wird bei der ableitung
> eines [mm]e^x[/mm] das x abgeleitet, vor das e gesetzt und der rest
> bleibt. oder irre ich da?
>
Das ist nur richtig, wenn der Exponent linear ist.
Ansonsten musst Du die Kettenregel anwenden.
> die 1. p-ableitungen sind aber richtig?
Ja.
> > Die gemischte 2. partielle Ableitung [mm]f_{xy}[/mm] stimmt.
> >
> > Hingegen musst Du [mm]f_{xx}, \ f_{yy}[/mm] nochmal nachrechnen.
> >
>
>
>
> >
> > > liege ich da falsch?
> > >
> > > b) gar keine Ahnung *schäm*
> > >
> >
> > Betrachte einen Punkt im [mm]\IR^{3}[/mm]
> >
> > Diese Punkt genügt der Darstellung: [mm]\pmat{x \\ y \\ f\left(x,y\right)[/mm].
>
> >
> > Von diesem Vektor bildest Du die partiellen Ableitungen
> > nach x und y und bilde davon das Kreuzprodukt im Punkt
> > [mm]\left(x_{1}, \ y_{1}\right)[/mm]
> >
> > Ist [mm]\vec{n}[/mm] das Ergebnis dieses Kreuzproduktes,
> > so ergibt sich die Gleichung der Tangentialebene zu:
> >
> > [mm]\left(\ \pmat{x \\ y \\ z}-{\pmat{x_{1} \\ y_{1} \\ f\left(x_{1},\ y_{1}\right) } \right) \* \vec{n}=0[/mm]
>
> >
>
> partielle ableitung eines vektors? O.o ....Da muss ich
> morgen mal ins Skript gucken, ob wir das hatten.
>
> > > c)Richtungsableitung keine ahnung
> > > Anstieg dürfte der ersten Ableitung entsprechen, oder?
> > >
> >
> >
> > Bilde hier den Grenzwert von
> >
> > [mm]\limes_{t \to 0}{\bruch{f\left(x+t*\bruch{1}{\wurzel{2}},y-t*\bruch{1}{\wurzel{2}}\right)-f\left(x,y\right)}{t}[/mm]
>
> >
>
> wie bist du auf diese formel gekommen?
>
Siehe hier: Richtungsableitung
> > > d) extrema dürfte der 2. ableitung entsprechen, gell?
> > >
> >
> >
> > Löse hier die Gleichungen
> >
> > [mm]-2x e^{-(x² + y²)}=0[/mm]
> >
> > [mm]-2y e^{-(x² + y²)}=0[/mm]
> >
> > und entscheide mit Hilfe der
> > Hessematrix,
> > um welche Art Extrema es sich handelt.
> >
>
> > Gruss
> > MathePower
>
>
> Das heisst, die erste Ableitung (die ich anscheinend oben
> richtig gemacht habe :) )null setzen.
>
> e^irgendwas [mm]\not=[/mm] 0
> daher muss x, bzw y null sein.korrekt?
>
> ich vermute mal einen sattelpunkt....
>
Die Art des Extremas bekommst Du heraus,
wenn Du die zweiten partiellen Ableitungen
richtig berechnet hast.
> Danke schonmal für die Antwort
Gruss
MathePower
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