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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Di 08.05.2012 | | Autor: | DerBaum |
| Aufgabe | Sei $g: [mm] [0,\infty) \to \mathbb{R}$. [/mm] Die Funktion [mm] $f:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}$ [/mm] sei definiert durch $$f(x)=g(|x|) [mm] \mbox{ für } x\in\mathbb{R}^m, \mbox{ wobei } |*|=\|*\|_2.$$
[/mm]
Berechnen Sie für [mm] $x\neq [/mm] 0:$
$a) [mm] \quad \nambla [/mm] f(x),$
[mm] $b)\Delta [/mm] f(x),$ falls $f$ zusätzlich zweimal differenzierbar ist.
Zeigen Sie:
$c) [mm] \quad [/mm] f$ ist genau dann im [mm] $\mathbb{R}^m$ [/mm] differenzierbar, wenn $g$ in [mm] $(0,\infty)$ [/mm] differenzierbar ist und in 0 die rechtsseiteige Ableitung $g'(0+)=0$ hat. |
Hallo Matheforum :)
Ich hänge hier "etwas" bei der Aufgabe.
Ich würde sagen, dass ich mich erstmal mit der a) und der b) beschäftige, da sich diese deutlich einfacher anhören, als die c).
Jedoch weiß ich einfach nicht genau, wie ich hier vorgehen soll und würde mich sehr über eure Unterstützung freuen.
Vielen Dank
lG
DerBaum
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo DerBaum,
> Sei $g: [mm][0,\infty) \to \mathbb{R}$.[/mm] Die Funktion
> [mm]$f:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}$[/mm] sei definiert durch
> [mm]f(x)=g(|x|) \mbox{ für } x\in\mathbb{R}^m, \mbox{ wobei } |*|=\|*\|_2.[/mm]
>
> Berechnen Sie für [mm]x\neq 0:[/mm]
> [mm]a) \quad \red{\nabla} f(x),[/mm]
Ist g diffbar auf [mm] (0,\infty) [/mm] ? Dann wende hier die Kettenregel an.
[mm] \nabla f(x)=g'(|x|)\cdot \nabla(|\cdot|:\IR^m\to\IR).
[/mm]
>
> [mm]b)\Delta f(x),[/mm] falls [mm]f[/mm] zusätzlich zweimal differenzierbar ist.
Hier das gleiche.
Erinnerung:
[mm] $\Delta f(x)=\sum_{i=1}^m \partial_i^2 [/mm] f(x)$.
LG
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