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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:30 Di 24.05.2005 | | Autor: | Skydiver |
Hallo.
Stehe vor folgender Aufgabe und habe nicht die geringste Ahnung was ich dabei machen soll:
Stellen sie den Operator d/dx (partiell) durch Ableitung nach Kugelkoordinaten dar: x = r [mm] sin(\theta) cos(\phi), [/mm] y = r [mm] sin(\theta) sin(\phi), [/mm] z = r [mm] cos(\theta)
[/mm]
Falls irgendwer weiß was damit gemeint ist, bitte ich um Hilfe.
mfg.
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Hallo Skydiver,
> Stellen sie den Operator d/dx (partiell) durch Ableitung
> nach Kugelkoordinaten dar: x = r [mm]sin(\theta) cos(\phi),[/mm] y =
> r [mm]sin(\theta) sin(\phi),[/mm] z = r [mm]cos(\theta)[/mm]
ich nehme mal, daß die partiellen Ableitungen [mm]\frac{{\delta f}}{{\delta x}}[/mm], [mm]\frac{{\delta f}}{{\delta y}}[/mm] und [mm]\frac{{\delta f}}{{\delta z}}[/mm] durch die partiellen Ableitungen[mm]{\frac{{\delta f}}{{\delta r}}}[/mm], [mm]\[
{\frac{{\delta f}}{{\delta \theta }}}[/mm] und [mm]{\frac{{\delta f}}{{\delta \phi }}}[/mm] ausgedrückt werden sollen.
Es handelt sich dann um die Funktion [mm]f\left( {r,\;\theta ,\;\phi } \right)\; = \;f\left( {x\left( {r,\;\theta ,\;\phi } \right),\;y\left( {r,\;\theta ,\;\phi } \right),\;z\left( {r,\;\theta ,\;\phi } \right)} \right)[/mm] welche dann partiell nach den Variablen [mm]{r,\;\theta ,\;\phi }[/mm] abgeleitet werden muß. Daraus erhältst Du dann 3 Gleichungen in 3 Unbekannten.
[mm]\begin{array}{l}
\frac{{\delta f}}{{\delta r}}\; = \;\frac{{\delta f}}{{\delta x}}\;\frac{{\delta x}}{{\delta r}}\; + \;\frac{{\delta f}}{{\delta y}}\;\frac{{\delta y}}{{\delta r}}\; + \;\frac{{\delta f}}{{\delta z}}\;\frac{{\delta z}}{{\delta r}} \\
\frac{{\delta f}}{{\delta \theta }}\; = \;\frac{{\delta f}}{{\delta x}}\;\frac{{\delta x}}{{\delta \theta }}\; + \;\frac{{\delta f}}{{\delta y}}\;\frac{{\delta y}}{{\delta \theta }}\; + \;\frac{{\delta f}}{{\delta z}}\;\frac{{\delta z}}{{\delta \theta }} \\
\frac{{\delta f}}{{\delta \phi }}\; = \;\frac{{\delta f}}{{\delta x}}\;\frac{{\delta x}}{{\delta \phi }}\; + \;\frac{{\delta f}}{{\delta y}}\;\frac{{\delta y}}{{\delta \phi }}\; + \;\frac{{\delta f}}{{\delta z}}\;\frac{{\delta z}}{{\delta \phi }} \\
\end{array}[/mm]
Dieses Gleichungssystem ist dann nach [mm]\frac{{\delta f}}{{\delta x}}[/mm], [mm]\frac{{\delta f}}{{\delta y}}[/mm] und [mm]
\frac{{\delta f}}{{\delta z}}[/mm] aufzulösen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:49 Mi 25.05.2005 | | Autor: | Skydiver |
Hallo.
Vielen Dank für die Antwort, ich hab das kurz mal mit Mathematica nach gerechnet und komme auf die richtige Löung.
Meine Frage ist jetzt nur noch, ob es vielleicht eine einfachere Möglichkeit gibt, denn das alles händisch zu rechnen ist ziemlich aufwendig. Und vor allem brauche ich ja nur df/dx und nicht alle anderen auch.
mfg
Stefan Schwarz.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:23 Mi 25.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Skydiver!
> Meine Frage ist jetzt nur noch, ob es vielleicht eine
> einfachere Möglichkeit gibt, denn das alles händisch zu
> rechnen ist ziemlich aufwendig. Und vor allem brauche ich
> ja nur df/dx und nicht alle anderen auch.
Ja, sicher geht das einfacher! Bilde doch einfach das totale Differential!
$dx = [mm] \sin(\theta)\cos(\phi)dr [/mm] + r [mm] \cos(\theta)\cos(\phi)d\theta- [/mm] r [mm] \sin(\theta)\sin(\phi)d\phi$.
[/mm]
Edit: Ach so, kann sein, dass das gar nicht gemeint war, sehe ich gerade... Hmmh, ich lasse es mal offen...
Viele Grüße
Julius
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Hallo Skydiver,
> Vielen Dank für die Antwort, ich hab das kurz mal mit
> Mathematica nach gerechnet und komme auf die richtige
> Löung.
> Meine Frage ist jetzt nur noch, ob es vielleicht eine
> einfachere Möglichkeit gibt, denn das alles händisch zu
> rechnen ist ziemlich aufwendig. Und vor allem brauche ich
> ja nur df/dx und nicht alle anderen auch.
klar gibt es die.
[mm]\begin{array}{l}
f\left( {x,\;y,\;z} \right)\; = \;f\left( {r\left( {x,\;y,\;z} \right),\;\phi \left( {x,\;y,\;z} \right),\;\theta \left( {x,\;y,\;z} \right)} \right) \\
\frac{{\delta f}}{{\delta x}}\; = \;\frac{{\delta f}}{{\delta r}}\;\frac{{\delta r}}{{\delta x}}\; + \;\frac{{\delta f}}{{\delta \phi }}\;\frac{{\delta \phi }}{{\delta x}}\; + \;\frac{{\delta f}}{{\delta \theta }}\;\frac{{\delta \theta }}{{\delta x}} \\
\end{array}[/mm]
Um die partiellen Ableitungen [mm]\frac{{\delta r}}{{\delta x}}[/mm], [mm]\frac{{\delta \phi }}{{\delta x}}[/mm] und [mm]\frac{{\delta \theta }}{{\delta x}}[/mm] ausrechnen zu können, brauchst Du die Funktionen [mm]{r\left( {x,\;y,\;z} \right)}[/mm], [mm]{\phi\left( {x,\;y,\;z} \right)}[/mm] und [mm]{\theta\left( {x,\;y,\;z} \right)}[/mm], welche leicht zu ermitteln sind.
Gruß
MathePower
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