partielle Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] f(x,y)=xy*\bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}
[/mm]
a) Bestimme die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung.
b) Gilt [mm] \delta_x\delta_y f(0,0)=\delta_y\delta_x [/mm] f(0,0) ? Was können sie daraus schließen? |
Eine Frage zu a)
Muss ich nur [mm] f_{xy} [/mm] und [mm] f_{yx} [/mm] bestimmen oder auch [mm] f_{xx} [/mm] und [mm] f_{yy}? [/mm] Da bin ich mir nach Def. der Vl nicht ganz sicher.
b) Hier muss ich die zweiten Partiellen Ableitungen im Nullpunkt bestimmen und schauen ob die Regel von Schwarz gilt.
Muss ich zuerst prüfen ob es Grenzwerte gibt für f(0,0)? Oder wie mache ich das?
MfG
Mathegirl
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Gilt [mm] \delta_x \delta_y f(0,0)=\delta_y \delta_xf(0,0)? [/mm] Was stellt man fest?
Wie zeige ich die Differenzierbarkeit im Nullpunkt bei Ableitungen zweiter Ordnung?
Berechne ich [mm] \delta_x \delta_y [/mm] f und prüfe auf Grenzwerte [mm] \bruch{f(t,0)-f(0,0)}{t} [/mm] und [mm] \bruch{f(0,t)-f(0,0)}{t} [/mm] und das gleiche für [mm] \delta_y \delta_x [/mm] f?
Aber das wäre ja blödsinn da die partiellen Ableitungen ja gleich sind nach dem Satz von Schwarz.
Wäre nett wenn ihr das nochmal erklären könnt.
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:38 Mo 30.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Gilt [mm]\delta_x \delta_y f(0,0)=\delta_y \delta_xf(0,0)?[/mm] Was
> stellt man fest?
Das habe ich Dir gesagt.
>
> Wie zeige ich die Differenzierbarkeit im Nullpunkt bei
> Ableitungen zweiter Ordnung?
>
> Berechne ich [mm]\delta_x \delta_y[/mm] f und prüfe auf Grenzwerte
> [mm]\bruch{f(t,0)-f(0,0)}{t}[/mm] und [mm]\bruch{f(0,t)-f(0,0)}{t}[/mm] und
> das gleiche für [mm]\delta_y \delta_x[/mm] f?
>
> Aber das wäre ja blödsinn da die partiellen Ableitungen
> ja gleich sind nach dem Satz von Schwarz.
Sind sie nicht, denn f erfüllt nicht die Vor. des Satzes von Schwarz !
FRED
>
>
> Wäre nett wenn ihr das nochmal erklären könnt.
>
> MfG
> Mathegirl
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Also wenn ich [mm] f_{xy} [/mm] und [mm] f_{yx} [/mm] berechne sind diese identisch!
Warum soll das nicht stimmen? Ich habe das mit einem programm nachgeprüft.
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 Mo 30.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
welches Programm sagt dir das bei (0,0)?
dass die fkt sonst "brav" ist muss man gar nicht nachprüfen
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:21 Mo 30.04.2012 | | Autor: | Mathegirl |
nein, die partiellen zweiter Ordnung sind identisch.
Mir ist nun klar wie ich das für (0,0) prüfen kann, danke!
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:13 So 29.04.2012 | | Autor: | Herby |
Hallo Mathegirl,
> [mm]f(x,y)=xy*\bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}[/mm]
>
> a) Bestimme die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung.
> b) Gilt [mm]\delta_x\delta_y f(0,0)=\delta_y\delta_x[/mm] f(0,0) ?
> Was können sie daraus schließen?
>
> Eine Frage zu a)
>
> Muss ich nur [mm]f_{xy}[/mm] und [mm]f_{yx}[/mm] bestimmen oder auch [mm]f_{xx}[/mm]
> und [mm]f_{yy}?[/mm] Da bin ich mir nach Def. der Vl nicht ganz
> sicher.
Ja, du sollst auch [mm] $f_{xx}$ [/mm] und [mm] $f_{yy}$ [/mm] bestimmen.
>
> b) Hier muss ich die zweiten Partiellen Ableitungen im
> Nullpunkt bestimmen und schauen ob die Regel von Schwarz
> gilt.
> Muss ich zuerst prüfen ob es Grenzwerte gibt für f(0,0)?
> Oder wie mache ich das?
>
>
> MfG
> Mathegirl
LG
Herby
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:36 Mo 30.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f(x,y)=xy*\bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}[/mm]
>
> a) Bestimme die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung.
> b) Gilt [mm]\delta_x\delta_y f(0,0)=\delta_y\delta_x[/mm] f(0,0) ?
> Was können sie daraus schließen?
>
> Eine Frage zu a)
>
> Muss ich nur [mm]f_{xy}[/mm] und [mm]f_{yx}[/mm] bestimmen oder auch [mm]f_{xx}[/mm]
> und [mm]f_{yy}?[/mm]
Ja, alle vier.
> Da bin ich mir nach Def. der Vl nicht ganz
> sicher.
>
> b) Hier muss ich die zweiten Partiellen Ableitungen im
> Nullpunkt bestimmen und schauen ob die Regel von Schwarz
> gilt.
Ja, bestimme [mm] f_{xy}(0,0) [/mm] und [mm] f_{yx}(0,0) [/mm] und schau nach, ob "=" gilt oder nicht.
>
> Muss ich zuerst prüfen ob es Grenzwerte gibt für f(0,0)?
?????
> Oder wie mache ich das?
1. Für jedes (x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] bestimme [mm] g(x,y):=f_x(x,y)
[/mm]
2. Bestimme [mm] f_{xy}(0,0)= \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{g(0,t)-g(0,0)}{t}
[/mm]
3. Für jedes (x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] bestimme [mm] h(x,y):=f_y(x,y)
[/mm]
4. Bestimme [mm] f_{yx}(0,0)= \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{h(t,0)-h(0,0)}{t}
[/mm]
FRED
>
>
> MfG
> Mathegirl
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Warum [mm] f_x [/mm] und [mm] f_y? [/mm] Ich muss das doch für die zweiten partiellen Ableitungen bestimmen?
Also ist für [mm] f_x \limes_{t\rightarrow 0}- \bruch{\bruch{t^5}{t^4}}{t}=-1
[/mm]
und für [mm] f_y \limes_{t\rightarrow 0}\bruch {\bruch{t^5}{t^4}}{t}=1
[/mm]
Also gilt nicht [mm] \delta x\delta yf(0,0)=\delta y\delta [/mm] xf(0,0)
Richtig?
reicht das so um das zu zeigen?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:13 Mi 02.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Warum [mm]f_x[/mm] und [mm]f_y?[/mm] Ich muss das doch für die zweiten
> partiellen Ableitungen bestimmen?
Ich fasse es nicht ! Gehen wir nochmal zurück in die Schule:
Wenn du die 2. Ableitung von [mm] f(x)=x^3*sin(x^8) [/mm] bestimmen sollt, mußt Du doch zuerst f' bestimmen, um f'' berechnen zu können !
>
> Also ist für [mm]f_x \limes_{t\rightarrow 0}- \bruch{\bruch{t^5}{t^4}}{t}=-1[/mm]
Was soll das sein ? Was für eine Rechnung ist das ?
>
> und für [mm]f_y \limes_{t\rightarrow 0}\bruch {\bruch{t^5}{t^4}}{t}=1[/mm]
Was soll das sein ? Was für eine Rechnung ist das ?
FRED
>
> Also gilt nicht [mm]\delta x\delta yf(0,0)=\delta y\delta[/mm]
> xf(0,0)
>
>
> Richtig?
> reicht das so um das zu zeigen?
>
> MfG
> Mathegirl
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Naja ich hab die erste Ableitung nach x bestimmt die habe ich g(x,y) genannt wie du es so schön geschrieben gast. da hab ich dann für x=0 und für y=t eingesetzt!
Das gleiche für y!
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:23 Mi 02.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Naja ich hab die erste Ableitung nach x bestimmt die habe
> ich g(x,y) genannt wie du es so schön geschrieben gast. da
> hab ich dann für x=0 und für y=t eingesetzt!
>
> Das gleiche für y!
Rechne das doch hier vor !
FRED
>
> MfG
> Mathegirl
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[mm] \bruch{\delta f}{\delta x}=\bruch{x^4y+4x^2y^3-y^5}{(x^2+y^2)^2}
[/mm]
[mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{g(0,t)-g(0,0)}{t}= \bruch{\bruch{-t^5}{t^4}}{t}=-1
[/mm]
[mm] \bruch{\delta f}{\delta y}=\bruch{x^5-4x^3y^2-xy^4}{(x^2+y^2)^2}
[/mm]
[mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{g(t,0)-g(0,0)}{t}= \bruch{\bruch{t^5}{t^4}}{t}=1
[/mm]
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:46 Mi 02.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta x}=\bruch{x^4y+4x^2y^3-y^5}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{g(0,t)-g(0,0)}{t}= \bruch{\bruch{-t^5}{t^4}}{t}=-1[/mm]
>
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta y}=\bruch{x^5-4x^3y^2-xy^4}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{g(t,0)-g(0,0)}{t}= \bruch{\bruch{t^5}{t^4}}{t}=1[/mm]
So stimmts, allerdings fehlt die Berechnung von [mm] f_x(0,0) [/mm] und [mm] f_y(0,0)
[/mm]
FRED
>
>
> MfG
> Mathegirl
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Ich verstehe nicht was du meinst, meinst du den genauen rechenweg wie ich zu [mm] f_x [/mm] und [mm] f_y [/mm] komme oder was?
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:41 Mi 02.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich verstehe nicht was du meinst, meinst du den genauen
> rechenweg wie ich zu [mm]f_x[/mm] und [mm]f_y[/mm] komme oder was?
Nein. Du hast z.B. oben richtig berechnet [mm] f_x(x,y) [/mm] für jedes (x,y) [mm] \ne [/mm] (0,0).
Wie aber fällt [mm] f_x(0,0) [/mm] aus ?
FRED
>
> MfG
> Mathegirl
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Na dann ist die Ableitung 0! wenn ich x=0 und y=0 oder?
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 Mi 02.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Na dann ist die Ableitung 0!
Ja, und wo ist die kleine Rechnung ?
> wenn ich x=0 und y=0 oder?
Wenn Du was ?
FRED
>
> MfG
> Mathegirl
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:01 Sa 05.05.2012 | | Autor: | triad |
> > Na dann ist die Ableitung 0!
>
> Ja, und wo ist die kleine Rechnung ?
>
Hi,
wollte nochmal nachfragen, ob das so korrekt ist:
[mm] \partial_xf(0,0)=\limes_{t\rightarrow0}\bruch{f(0,t)-f(0,0)}{t}=0.
[/mm]
[mm] \partial_yf(0,0)=\limes_{t\rightarrow0}\bruch{f(t,0)-f(0,0)}{t}=0.
[/mm]
>
> > wenn ich x=0 und y=0 oder?
>
> Wenn Du was ?
>
> FRED
> >
> > MfG
> > Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 So 06.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo,
du hast hingeschrieben , was du rechnen sollst, aber nicht wie du fuer das gegebene problem auf den GW kommst.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:03 Mo 07.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > Na dann ist die Ableitung 0!
> >
> > Ja, und wo ist die kleine Rechnung ?
> >
>
> Hi,
> wollte nochmal nachfragen, ob das so korrekt ist:
>
> [mm]\partial_xf(0,0)=\limes_{t\rightarrow0}\bruch{f(0,t)-f(0,0)}{t}=0.[/mm]
Der obige Grenzwert rechts ist aber [mm] \partial_yf(0,0)
[/mm]
>
> [mm]\partial_yf(0,0)=\limes_{t\rightarrow0}\bruch{f(t,0)-f(0,0)}{t}=0.[/mm]
Der obige Grenzwert rechts ist aber [mm] \partial_xf(0,0)
[/mm]
FRED
>
>
> >
> > > wenn ich x=0 und y=0 oder?
> >
> > Wenn Du was ?
> >
> > FRED
> > >
> > > MfG
> > > Mathegirl
> >
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