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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:46 Sa 17.03.2007 | | Autor: | n3cRo |
| Aufgabe | | Integriere [mm] x^2 [/mm] * [mm] cos(x^3) [/mm] |
Hallo,
ich bin mir ziemlich sicher, das partielle Integration anzuwenden ist. Wenn ich allerdings [mm] x^2 [/mm] als Funktion wähle und [mm] cos(x^3) [/mm] als Ableitung, habe ich das Problem das ich [mm] cos(x^3) [/mm] integrieren muss und das kann Derive leider auch nicht. Wie muss ich vorgehen?
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Hallo n3cRo!
> Integriere [mm]x^2[/mm] * [mm]cos(x^3)[/mm]
> Hallo,
> ich bin mir ziemlich sicher, das partielle Integration
> anzuwenden ist. Wenn ich allerdings [mm]x^2[/mm] als Funktion wähle
> und [mm]cos(x^3)[/mm] als Ableitung, habe ich das Problem das ich
> [mm]cos(x^3)[/mm] integrieren muss und das kann Derive leider auch
> nicht. Wie muss ich vorgehen?
Versuchs mal besser mit der Substitution [mm] x^{3}=z. [/mm] Dann ergibt sich [mm] \bruch{dz}{dx}=3x^{2}. [/mm] Daraus folgt dann [mm] dx=\bruch{1}{3x^{2}}dz [/mm] wodurch dein zu bestimmendes Intgral dann
[mm] \integral_{}^{}{x^{2}*cos(z)*\bruch{1}{3x^{2}} dz}=\bruch{1}{3}\integral_{}^{}{cos(z) dz} [/mm]
lautet.
Den weiteren Rechneweg solltest du dann spielend selbst hinbekommen (Resubstitution am Schluss nicht vergessen!). 
Gruß,
Tommy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Sa 17.03.2007 | | Autor: | n3cRo |
OK, soweit habe ich es verstanden. Aber mal eine weitere Frage, warum hätte ich in meiner Klausur angeben müssen "Die Funktion besitzt eine Stammfunktion F mit F(x) > 0 für alle x Element R".
Die Werte von F(x) schwanken doch durch den Sinus und sind damit z.T. auch kleiner 0 oder?
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Hallo,
Nun der sin wird ja minimal -1.
Stammfunktionen sind ja nicht eindeutig, weil zu ihnen noch die Integrationskonstante gehört, zu f(x) ist F(x)+C [mm] \bold{eine} [/mm] von unendlich vielen Stammfunktionen
Wähle also einfach als eine Stammfunktion sin(x)+10 oder [mm] sin(x)+36,46\pi,
[/mm]
dann ist die sicherlich für alle [mm] x\in \IR \ge [/mm] 0 (sogar >0)
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Sa 17.03.2007 | | Autor: | n3cRo |
Wieso wird der Sinus minimal -1, ich würd sagen er wird 2pi periodisch genau -1 und wenn ich den Graphen der Stammfunktion in Derive plotten lasse schwankt er ja auch zwischen +/- 1/3. Also warum ist obige Bedingung richtig??
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Moin nochmal,
also der Wertebereich von [mm] F(x)=\bruch{1}{3}sin(x) [/mm] ist [mm] [-\bruch{1}{3};\bruch{1}{3}].
[/mm]
Das heißt für alle [mm] x\in \IR [/mm] liegen die Werte von [mm] \bruch{1}{3}sin(x) [/mm] zwischen [mm] -\bruch{1}{3} [/mm] und [mm] \bruch{1}{3}, [/mm] wobei sich alles mit einer Periode von [mm] 2\pi [/mm] wiederholt, was aber für die Werte von F(x) keine Rolle spielt.
Wählst du aber zu f die Stammfunktion [mm] \tilde{F}(x)=\bruch{1}{3}sin(x)+5, [/mm] so liegen die Funktionswerte nicht mehr im Intervall [mm] \left[-\bruch{1}{3};\bruch{1}{3}\right], [/mm] sondern sind allesamt aus dem Intervall [mm] \left[-\bruch{1}{3}+5;\bruch{1}{3}+5\right]=\left[\bruch{14}{3};\bruch{16}{3}\right]
[/mm]
Also sämtlich größer als Null.
[mm] \tilde{F}(x)=\bruch{1}{3}sin(x)+5 [/mm] war nur ein Bsp, ich hätte auch die Stammfunktion [mm] G(x)=\bruch{1}{3}sin(x)+1 [/mm] nehmen können.
Überlege doch mal als kleine Übg, in welchem Intervall dann die Funktionswerte liegen.
Du musst nur schauen, dass die Funktionswerte durch deine Wahl größer Null werden.
Ok soweit?
Lieben Gruß
schachuzipus
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