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| Aufgabe | 1) partielle Integration
a) [mm] \integral_{0}^{\pi/2}{x*sin(x)*cos(x) dx} [/mm] u`=sin(x)*cos(x), v=x
b) [mm] \integral_{1}^{e^2}{ln(x)/x^3 dx} [/mm] u`=x^(3), v=ln(x)
c) [mm] \integral_{}^{}{x*(lnx)^2 dx} [/mm] u`=?, v=? |
Hallo,
ich habe zu allen dreien Lösungsansätze und wollte mal wissen, ob die wohl richtig sind:
zu a) hier ist das Problem erstmal, dass man doch, da u'=sin(x)*cos(x) ist, die Stammfunktionen von den beiden berechnen muss. Wie macht man das aber einfach so? Ich komme da nicht drauf. Weder mit der Produktregel, noch sonst mit einer...
zu b) Ist das dann so richtig:
[mm] |ln(x)/((1/4)*x^4)|für [/mm] Intervall [mm] e^2, [/mm] 1 - [mm] \integral_{1}^{e^2}{((1/x)/((1/4)*x^4)) dx}
[/mm]
Oder muss ich das geteilt-Zeichen einfach ignorieren? Und das dann so einsetzen, wie es nach der Formel ist und alles mit "Mal" schreiben?
zu c) hier ist das Integral ja unbestimmt. [mm] u'=(lnx)^2, [/mm] v=x. Ist dann die Stammfunktion von [mm] (lnx)^2=(1/3)*(lnx)^3 [/mm] oder wie berechne ich die? Weil ja hier eigentlich dann auch noch die innere Ableitung wäre und damit die Ableitung von meiner eben gebildeten Stammfunktion: [mm] (lnx)^2*(1/x), [/mm] oder? Aber was ist denn dann die Stammfunktion von lnx ??
Ich habe jetzt berechnet:
[mm] \integral_{}^{}{x*(lnx)^2 dx} [/mm] = [mm] (1/3)*(lnx)^3*x-\integral_{}^{}{(1/3)*(lnx)^3*1 dx}
[/mm]
Das kann man dann auch nicht weiter berechnen, oder?
Wäre super, wenn jemand meine Sachen korrigieren könnte und mir helfen könnte.
Viele Grüße,
Anna
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Hi,
zu a)
Dein Ansatz mit der partiellen Integration ist schon nicht schlecht. Wie du richtig geschrieben hast ist [mm] \\u'=sin(x)\cdot\\cos(x) [/mm] und [mm] \\v=x
[/mm]
Zunächst brauchen wir die Stammfunktion von [mm] \\sin(x)\cdot\\cos(x) [/mm] dazu substituiere ich:
[mm] \integral_{}^{}{\\sin(x)\cdot\\cos(x) dx} \\z=cos(x) \bruch{dz}{dx}=-sin(x) \gdw \\dx=-\bruch{dz}{sin(x)}
[/mm]
[mm] -\integral_{}^{}{(z) dz} [/mm] Und das kannst du leicht integrieren und damit hast du auch dein [mm] \\u [/mm] und kannst deine eigentliche Aufgabe mit der partiellen Integration lösen.
zu b) Da machst du einen fundamentalen Fehler denn [mm] \\u'\not=x^{3} [/mm] sondern [mm] \\u'=x^{\red{-3}}=\bruch{1}{x^{3}}
[/mm]
Nun kannst du partiell integrieren: [mm] \\v=ln(x) \\v'=\bruch{1}{x} \\u'=x^{-3} [/mm] und [mm] \\u=-\bruch{1}{2x^{2}}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{ln(x)}{x^{3}} dx}=....
[/mm]
zu c) Verwende hier [mm] \\u=(ln(x))^{2} [/mm] und [mm] \\v'=x [/mm]
Du wirst bei dieser Aufgabe zwei mal die partielle Integration anwenden müssen.
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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Hallo,
> zu a)
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> Dein Ansatz mit der partiellen Integration ist schon nicht
> schlecht. Wie du richtig geschrieben hast ist
> [mm]\\u'=sin(x)\cdot\\cos(x)[/mm] und [mm]\\v=x[/mm]
>
> Zunächst brauchen wir die Stammfunktion von
> [mm]\\sin(x)\cdot\\cos(x)[/mm] dazu substituiere ich:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\\sin(x)\cdot\\cos(x) dx} \\z=cos(x) \bruch{dz}{dx}=-sin(x) \gdw \\dx=-\bruch{dz}{sin(x)}[/mm]
>
> [mm]-\integral_{}^{}{(z) dz}[/mm] Und das kannst du leicht
> integrieren und damit hast du auch dein [mm]\\u[/mm] und kannst
> deine eigentliche Aufgabe mit der partiellen Integration
> lösen.
Oh weh. Ich habe keine Ahnung, wie ich das integrieren kann. Ich dachte immer, man könnte jetzt hier nicht weiterrechnen, denn ich habe doch keine Intervallgrenzen zum Einsetzen für x. Wie berechne ich das denn???
> zu b) Da machst du einen fundamentalen Fehler denn
> [mm]\\u'\not=x^{3}[/mm] sondern [mm]\\u'=x^{\red{-3}}=\bruch{1}{x^{3}}[/mm]
>
> Nun kannst du partiell integrieren: [mm]\\v=ln(x) \\v'=\bruch{1}{x} \\u'=x^{-3}[/mm]
> und [mm]\\u=-\bruch{1}{2x^{2}}[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{ln(x)}{x^{3}} dx}=....[/mm]
Ja, ok. x^(-3). Aber wie ist das nun mit der Division? Wenn ich das berechne, sieht es dann also so aus:
[mm] |((-1/2x^2)/lnx)|-\integral_{1}^{e^2}{((1/2x^2)/(1/x) dx}
[/mm]
oder ist es:
[mm] |-(1/2x^2)*ln(x)|-\integral_{1}^{e^2}{(-1/2x^2)*(1/x) dx} [/mm] ???
>
> zu c) Verwende hier [mm]\\u=(ln(x))^{2}[/mm] und [mm]\\v'=x[/mm]
>
> Du wirst bei dieser Aufgabe zwei mal die partielle
> Integration anwenden müssen.
Das verstehe ich nicht. Ich muss doch bei mir u' und v für x und [mm] (lnx)^2 [/mm] wählen. Wie geht das denn? Dann kann ich doch nicht einfach [mm] u=(ln(x))^2 [/mm] wählen, oder?
Und wie soll ich denn die partielle Integration zweimal anwenden? Worauf denn? Ich hab echt keine Ahnung. Kann mir vielleicht jemand noch einen Tipp dazu geben??
Wäre super. Schonmal danke!!
Viele Grüße,
Anna
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
und jetzt weiter rechnen. Du musst noch das Integral berechnen und du bist fertig.
