partielle Integration < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | 1) partielle Integration
a) [mm] \integral_{0}^{\pi/2}{x*cos(x) dx} [/mm] u'(x)=cos(x) v=x
b) [mm] \integral_{0}^{\pi/2}{x*sin(x)*cos(x) dx} [/mm] u'(x)=sin(x)cos(x) v=x
c) [mm] \integral_{}^{}{x*(lnx)^{2} dx} [/mm] u'=? v=? |
Hallo,
bei diesen drei Aufgaben habe ich ein paar Probleme, vielleicht kann mir jemand helfen..
a) Hier habe ich gerechnet:
[mm] \integral_{0}^{\pi/2}{x*cos(x) dx}=sin(x)*x-\integral_{0}^{\pi/2}{sin(x)*1 dx}
[/mm]
[mm] =(sin(\bruch{\pi}{2})*(\bruch{\pi}{2})-0*0)-((-cos(\bruch{\pi}{2})+cos(0))
[/mm]
Ist das so richtig? Da war ich mir nicht so ganz sicher.
zu b) Hier ist ja u'(x)=sin(x)cos(x). Das Problem ist nun, wie man hiervon die Stammfunktion bekommt. Ich habe schon so viel versucht mit Substitution und allem, aber irgendwie komme ich nicht dadrauf. Kann mir da jemand einen Tipp geben?? Dazu habe ich hier auch eine Lösung stehen: und zwar:
[mm] \integral_{}^{}{sin(x)cos(x) dx} =\bruch{1}{2}sin^{2}(x)+const.
[/mm]
Ich verstehe aber überhaupt nicht, wie man darauf kommt...
zu c) Da habe ich gerechnet:
[mm] \integral_{}^{}{x*(lnx)^{2} dx} [/mm] mit u'=x und v=ln(x) Das habe ich mir so überlegt, da ich vermutlich von [mm] (ln(x))^{2}nicht [/mm] so leicht eine Stammfunktion weiß. Also habe ich:
[mm] =(\bruch{1}{2})x^{2}*(lnx)^{2}- \integral_{}^{}{\bruch{1}{2}^{2}*2*(lnx)*\bruch{1}{x} dx}
[/mm]
[mm] =(\bruch{1}{2})x^{2}*(lnx)^{2}- \integral_{}^{}{x*(lnx) dx}
[/mm]
Aber was kann ich jetzt tun? Wie bekomme ich das ln(x) da weg? So komme ich doch nicht weiter, oder?
Viele Grüße,
Anna
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 Do 25.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> 1) partielle Integration
>
> a) [mm]\integral_{0}^{\pi/2}{x*cos(x) dx}[/mm] u'(x)=cos(x) v=x
>
> b) [mm]\integral_{0}^{\pi/2}{x*sin(x)*cos(x) dx}[/mm]
> u'(x)=sin(x)cos(x) v=x
>
> c) [mm]\integral_{}^{}{x*(lnx)^{2} dx}[/mm] u'=? v=?
> Hallo,
> bei diesen drei Aufgaben habe ich ein paar Probleme,
> vielleicht kann mir jemand helfen..
>
> a) Hier habe ich gerechnet:
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi/2}{x*cos(x) dx}=sin(x)*x-\integral_{0}^{\pi/2}{sin(x)*1 dx}[/mm]
>
> [mm]=(sin(\bruch{\pi}{2})*(\bruch{\pi}{2})-0*0)-((-cos(\bruch{\pi}{2})+cos(0))[/mm]
>
Es ist fast richtig
es muß lauten
[mm]\integral_{0}^{\pi/2}{x*cos(x) dx}=[sin(x)*x ]_{0}^{\pi/2}-\integral_{0}^{\pi/2}{sin(x)*1 dx}[/mm]
> Ist das so richtig? Da war ich mir nicht so ganz sicher.
>
>
> zu b) Hier ist ja u'(x)=sin(x)cos(x). Das Problem ist nun,
> wie man hiervon die Stammfunktion bekommt. Ich habe schon
> so viel versucht mit Substitution und allem, aber irgendwie
> komme ich nicht dadrauf. Kann mir da jemand einen Tipp
> geben?? Dazu habe ich hier auch eine Lösung stehen: und
> zwar:
>
> [mm]\integral_{}^{}{sin(x)cos(x) dx} =\bruch{1}{2}sin^{2}(x)+const.[/mm]
>
> Ich verstehe aber überhaupt nicht, wie man darauf kommt...
Wieder mit partieller Integration: v' = cosx, u = sinx
>
>
>
> zu c) Da habe ich gerechnet:
>
> [mm]\integral_{}^{}{x*(lnx)^{2} dx}[/mm] mit u'=x und v=ln(x) Das
> habe ich mir so überlegt, da ich vermutlich von
> [mm](ln(x))^{2}nicht[/mm] so leicht eine Stammfunktion weiß. Also
> habe ich:
>
> [mm]=(\bruch{1}{2})x^{2}*(lnx)^{2}- \integral_{}^{}{\bruch{1}{2}^{2}*2*(lnx)*\bruch{1}{x} dx}[/mm]
>
> [mm]=(\bruch{1}{2})x^{2}*(lnx)^{2}- \integral_{}^{}{x*(lnx) dx}[/mm]
>
> Aber was kann ich jetzt tun? Wie bekomme ich das ln(x) da
> weg? So komme ich doch nicht weiter, oder?
Das letzte Integral mit partieller Int. lösen: v = lnx, u' = x
FRED
>
> Viele Grüße,
> Anna
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 Do 25.09.2008 | | Autor: | crazyhuts1 |
Hallo,
super, danke. Hat geklappt. Darauf muss man erstmal kommen, bei dem Integral mit sin und cos....
Gruß,
Anna
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:13 Do 25.09.2008 | | Autor: | fred97 |
Bitteschön.
Beachte: wenn Du ein Produkt unter dem Integralzeichen hast, denke an partielle Integration. Oft (aber nicht immer) hilfts
FRED
|
|
|
|
