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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:11 Mo 25.04.2011 | | Autor: | Roffel |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{\pi/2}{sin(x)*sin(2x) dx} [/mm] |
hi
brauche dringend nochmal Hilfe :)
[mm] \integral_{0}^{\pi/2}{sin(x)*sin(2x) dx}
[/mm]
= [-cos(x)*sin(2x)] +2 [mm] \integral_{0}^{\pi/2}{cos(x)*cos(2x) dx} [/mm] soweit für mich verständlich! dann muss man ja nochmal partiell Integrieren...
=0+2[sin(x)*cos(2x)]+ 4 [mm] \integral_{0}^{\pi/2}{sind(x)*sin(2x) dx}
[/mm]
wie kommt man da denn auf die 4, bei mir würde da nur eine 2 stehen? oder liegt es daran, das die ganz linke 2 vor der Klammer eigentlich mit allem multipliziert werden müsste und man halt schon mal die linke 2 mit der 2 wo aus dem Integral rausgehen würde multipliziert hat??
nächster Schritt ist dann :
=2*(1*(-1)-0) +4 [mm] \integral_{0}^{\pi/2}{sind(x)*sin(2x) dx}
[/mm]
wo kommt hier die -1 schon wieder her in der Klammer?, bei mir würde da einfach nur 1 rauskommen??
=-2+4 [mm] \integral_{0}^{\pi/2}{sind(x)*sin(2x) dx}
[/mm]
Daraus folgt:
was ich nicht verstehe...
--> [mm] -3\integral_{0}^{\pi/2}{sind(x)*sin(2x) dx} [/mm] = -2 wie komm man auf -3 und rechts -2 und welche regel ergibt dann am schluss dass das Integral gleich [mm] \bruch{2}{3} [/mm] ??
und dann
[mm] -->\integral_{0}^{\pi/2}{sind(x)*sin(2x) dx}=\bruch{2}{3}
[/mm]
ich verzweifel grad ein wenig :(
Grüße
PS: die Lösung hab ich angehängt!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo Roffel,
> [mm]\integral_{0}^{\pi/2}{sin(x)*sin(2x) dx}[/mm]
> hi
> brauche dringend nochmal Hilfe :)
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi/2}{sin(x)*sin(2x) dx}[/mm]
>
> = [-cos(x)*sin(2x)] +2 [mm]\integral_{0}^{\pi/2}{cos(x)*cos(2x) dx}[/mm]
> soweit für mich verständlich! dann muss man ja nochmal
> partiell Integrieren...
>
> =0+2[sin(x)*cos(2x)]+ 4
> [mm]\integral_{0}^{\pi/2}{sind(x)*sin(2x) dx}[/mm]
>
> wie kommt man da denn auf die 4, bei mir würde da nur eine
> 2 stehen? oder liegt es daran, das die ganz linke 2 vor der
> Klammer eigentlich mit allem multipliziert werden müsste
> und man halt schon mal die linke 2 mit der 2 wo aus dem
> Integral rausgehen würde multipliziert hat??
>
Genauso ist es.
> nächster Schritt ist dann :
> =2*(1*(-1)-0) +4 [mm]\integral_{0}^{\pi/2}{sind(x)*sin(2x) dx}[/mm]
>
> wo kommt hier die -1 schon wieder her in der Klammer?, bei
> mir würde da einfach nur 1 rauskommen??
Hier steht doch zunächst:
[mm]\left{\sin\left(x\right)*\cos\left(2*x\right)}\right|_{0}^{\bruch{\pi}{2}}=\sin\left(\bruch{\pi}{2}\right)*\cos\left(2*\bruch{\pi}{2}\right)-\sin\left(0\right)*\cos\left(2*0\right)=\sin\left(\bruch{\pi}{2}\right)*\cos\left(\pi}\right)-\sin\left(0\right)*\cos\left(2*0\right)[/mm]
Und der Cosinus an der Stelle [mm]\pi[/mm] hat den Wert "-1"
>
> =-2+4 [mm]\integral_{0}^{\pi/2}{sind(x)*sin(2x) dx}[/mm]
>
> Daraus folgt:
> was ich nicht verstehe...
> --> [mm]-3\integral_{0}^{\pi/2}{sind(x)*sin(2x) dx}[/mm] = -2 wie
Rechts steht dasselbe Integral, nur mit dem Faktor 4 vorne dran.
[mm]\integral_{0}^{\pi/2}{sin(x)*sin(2x) \ dx}=-2+4 \integral_{0}^{\pi/2}{sin(x)*sin(2x) \ dx}[/mm]
Umgeformt ergibt:
[mm]\left(1-4\right)\integral_{0}^{\pi/2}{sin(x)*sin(2x) \ dx}=-2[/mm]
> komm man auf -3 und rechts -2 und welche regel ergibt dann
> am schluss dass das Integral gleich [mm]\bruch{2}{3}[/mm] ??
> und dann
> [mm]-->\integral_{0}^{\pi/2}{sind(x)*sin(2x) dx}=\bruch{2}{3}[/mm]
>
> ich verzweifel grad ein wenig :(
>
> Grüße
>
> PS: die Lösung hab ich angehängt!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 Mo 25.04.2011 | | Autor: | Roffel |
Danke Mathepower
könntest du mir zufällig nochmal die umformung am schluss genau erläuter, was da gemacht wird, bin da grad bissel schwer noch von Begriff und hab morgen schon die Prüfung :)
> > Daraus folgt:
> > was ich nicht verstehe...
> > --> [mm]-3\integral_{0}^{\pi/2}{sind(x)*sin(2x) dx}[/mm] = -2
> wie
>
>
> Rechts steht dasselbe Integral, nur mit dem Faktor 4 vorne
> dran.
da steht das dasselbe Integral wie ganz am anfang nur mit -2+4 vor dem Integral
und wie muss ich das jetzt genau gleichsetzten und wonach umformen?? kapier ich leider noch nicht ..:(
> [mm]\integral_{0}^{\pi/2}{sin(x)*sin(2x) \ dx}=-2+4 \integral_{0}^{\pi/2}{sin(x)*sin(2x) \ dx}[/mm]
>
> Umgeformt ergibt:
>
> [mm]\left(1-4\right)\integral_{0}^{\pi/2}{sin(x)*sin(2x) \ dx}=-2[/mm]
>
>
> > komm man auf -3 und rechts -2 und welche regel ergibt dann
> > am schluss dass das Integral gleich [mm]\bruch{2}{3}[/mm] ??
> > und dann
> > [mm]-->\integral_{0}^{\pi/2}{sind(x)*sin(2x) dx}=\bruch{2}{3}[/mm]
Grüße
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Hallo Roffel,
> Danke Mathepower
>
> könntest du mir zufällig nochmal die umformung am schluss
> genau erläuter, was da gemacht wird, bin da grad bissel
> schwer noch von Begriff und hab morgen schon die Prüfung
> :)
>
> > > Daraus folgt:
> > > was ich nicht verstehe...
> > > --> [mm]-3\integral_{0}^{\pi/2}{sind(x)*sin(2x) dx}[/mm] = -2
> > wie
> >
> >
> > Rechts steht dasselbe Integral, nur mit dem Faktor 4 vorne
> > dran.
> da steht das dasselbe Integral wie ganz am anfang nur
> mit -2+4 vor dem Integral
>
> und wie muss ich das jetzt genau gleichsetzten und wonach
> umformen?? kapier ich leider noch nicht ..:(
Nach dem Ausgangsintegral ist umzuformen.
> > [mm]\integral_{0}^{\pi/2}{sin(x)*sin(2x) \ dx}=-2+4 \integral_{0}^{\pi/2}{sin(x)*sin(2x) \ dx}[/mm]
>
> >
> > Umgeformt ergibt:
> >
> > [mm]\left(1-4\right)\integral_{0}^{\pi/2}{sin(x)*sin(2x) \ dx}=-2[/mm]
>
> >
> >
> > > komm man auf -3 und rechts -2 und welche regel ergibt dann
> > > am schluss dass das Integral gleich [mm]\bruch{2}{3}[/mm] ??
> > > und dann
> > > [mm]-->\integral_{0}^{\pi/2}{sind(x)*sin(2x) dx}=\bruch{2}{3}[/mm]
>
>
> Grüße
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Mo 25.04.2011 | | Autor: | Roffel |
Danke MathePower
das hab jetzt sogar ich verstanden...
jetzt nochmal allgemein:
das Ergebnis von dem Integral ist also 2/3 ??
und mach ich das immer so wenn ich 2 mal partiell integriert habe und merke es steht wieder eigentlich fast genau das gleiche da , das ich es gleichsetze mit dem ursprungsintegral und dann nach dem vorprodukt auflöse ?? stimmt das so?^^
Grüße
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Hallo Roffel,
> Danke MathePower
> das hab jetzt sogar ich verstanden...
> jetzt nochmal allgemein:
> das Ergebnis von dem Integral ist also 2/3 ?? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> und mach ich das immer so wenn ich 2 mal partiell
> integriert habe und merke es steht wieder eigentlich fast
> genau das gleiche da , das ich es gleichsetze mit dem
> ursprungsintegral und dann nach dem vorprodukt auflöse ??
Oh, das ist formuliert wie Kraut und Rüben.
Wenn du meinst, dass du, wenn im Laufe der part. Integration ein Vielfaches des Ausgangsintegrals auftaucht, nach selbigem auflösen kannst, dann ja!
Es kommt gelegentlich vor, dass sich die Integrale zu 0 wegheben, dann klappt das so nicht. Du kannst dann versuchen, die Rollen der Produkte zu vertauschen, aber generell löst man nach dem Ausgangsintegral auf.
Setze doch überall, wo das Ausgangsintegral auftaucht eine Variable, sagen wir [mm]I[/mm]
Dann steht bei dir nach dem Integrieren [mm]I=-2+4I[/mm], und das löst du, indem du nach [mm]I[/mm] (also dem Ausgansintegral) auflöst:
Gruß
schachuzipus
> stimmt das so?^^
>
> Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Mo 25.04.2011 | | Autor: | Roffel |
-2+4 [mm] \integral_{0}^{\pi/2}{sin(x)*sin(2x) \ dx}
[/mm]
aber wenn ich das jetzt nicht gleichsetzen würde mit dem ursprungintegral und jetzt einfach berechnen würde dann bekomm ich nicht 2/3 raus.. hm
[mm] -2+4*[sin(\pi/2)*sin(\pi)-(sin(0)*sin(0))
[/mm]
=-2+4*(1*0-0) würde doch dann da stehen? und das ergibt ja dann einfach nur -2...
Grüße
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Hallo Roffel,
>
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> -2+4 [mm]\integral_{0}^{\pi/2}{sin(x)*sin(2x) \ dx}[/mm]
>
> aber wenn ich das jetzt nicht gleichsetzen würde mit dem
> ursprungintegral und jetzt einfach berechnen würde dann
> bekomm ich nicht 2/3 raus.. hm
>
> [mm]-2+4*[sin(\pi/2)*sin(\pi)-(sin(0)*sin(0))[/mm]
> =-2+4*(1*0-0) würde doch dann da stehen? und das ergibt
> ja dann einfach nur -2...
Es steht doch zunächst hier:
[mm]\blue{\integral_{0}^{\pi/2}{sin(x)*sin(2x) \ dx}}=-2+4 \blue{\integral_{0}^{\pi/2}{sin(x)*sin(2x) \ dx}}[/mm]
Forme dies nun nach dem blau markierten Ausdruck um.
>
> Grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Mo 25.04.2011 | | Autor: | Roffel |
Hi
ja das mit dem Umformen ist mir jetzt klar geworden.... danke
ich hab da nur gemeint, wenn ich es nicht gleichsetzen würde, einfach nur ausrechne kommt ja etwas anderes raus als 2/3,d.h. ich muss sobald ein vielfaches da steht es immer gleich das Ursprungsintegral gleichsetzen oder=?
gruß
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Hallo Roffel,
> Hi
> ja das mit dem Umformen ist mir jetzt klar geworden....
> danke
> ich hab da nur gemeint, wenn ich es nicht gleichsetzen
> würde, einfach nur ausrechne kommt ja etwas anderes raus
> als 2/3,d.h. ich muss sobald ein vielfaches da steht es
> immer gleich das Ursprungsintegral gleichsetzen oder=?
>
Beim "Ausrechnen" stößt Du unweigerlich auf dasselbe Ausgangintegral:
[mm]\blue{\integral_{0}^{\pi/2}{sin(x)\cdot{}sin(2x) \ dx}}=-2+4 \blue{\integral_{0}^{\pi/2}{sin(x)\cdot{}sin(2x) \ dx}}[/mm]
> gruß
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:04 Mo 25.04.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Roffel!
Alternativ kannst Du auch ersetzen: [mm] $\sin(2x) [/mm] \ = \ [mm] 2*\sin(x)*\cos(x)$ [/mm] und anschließend $u \ := \ [mm] \sin(x)$ [/mm] substituieren.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Mo 25.04.2011 | | Autor: | Roffel |
Hi
Danke Loddar ! hab das anfangs auch schon mal gedacht, wusste aber nicht genau wie ich das umformen sollte.. mit deiner Umformung habe ich das richtige Ergebnis rausbekommen .*freu* eigentlich ganz hilfreich die Methode...
kannst du mir noch was zu dieser Umformung sagen:
sin(2x) = sin(x)*2*cos(x)
geht das immer und wie ist da genau die regel?
also ist im sinus immmer irgendeine zahl *x einfach wieder der sinus*Zahl*cosinus??
und ohne die Umforumg würde es hier schwer werden mit Substitution oder??
Gruß
Roffel
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Hallo Roffel,
> Hi
> Danke Loddar ! hab das anfangs auch schon mal gedacht,
> wusste aber nicht genau wie ich das umformen sollte.. mit
> deiner Umformung habe ich das richtige Ergebnis
> rausbekommen .*freu* eigentlich ganz hilfreich die
> Methode...
> kannst du mir noch was zu dieser Umformung sagen:
>
> sin(2x) = sin(x)*2*cos(x)
>
> geht das immer und wie ist da genau die regel?
> also ist im sinus immmer irgendeine zahl *x einfach wieder
> der sinus*Zahl*cosinus??
Hier wurde das erste Additionstheorem verwendet,
wobei hier [mm]\alpha=\beta=x[/mm] ist.
>
> und ohne die Umforumg würde es hier schwer werden mit
> Substitution oder??
>
> Gruß
> Roffel
Gruss
MathePower
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