partielle ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:15 Mi 16.07.2014 | | Autor: | knowhow |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR^2 \rightarrow \IR^2 [/mm] , (x,y) [mm] \rightarrow \vektor{x^3y+3\\ e^{xy}}
[/mm]
gegeben
i) Bestimmen Sie die Funktionalmatrix von f im Pkt. (1,1)
ii) Berechnen Sie die Richtungsableitung im Pkt. (1,1) in Richtung [mm] v=\bruch{1}{\wurzel{5}}(2,1)
[/mm]
iii) ist f über [mm] \IR^2 [/mm] diffbar? |
hallo,
meine lgs
i) ich habe jeweils die partielle ableitung gebildet:
[mm] f(x,y)=\vektor{x^3y+3\\ e^{xy}}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=\vektor{3x^2y\\ ye^{xy}}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}=\vektor{x^3\\ xe^{xy}} [/mm] erhalte dann folgende funktionalmatrix ( jacobimatrix)
[mm] J_f(x,y)=\pmat{ 3x^2y & x^3 \\ ye^{xy} & xe^{xy} } [/mm]
[mm] J_f(1,1)=\pmat{3 &1\\ e & e}
[/mm]
ii) [mm] J_f(1,1) \cdot [/mm] v = ( [mm] \bruch{7}{\wurzel{5}}, \bruch{3e}{\wurzel{5}})
[/mm]
iii) da [mm] f_1(x,y) [/mm] = x^3y+3 diffbar und [mm] f_2(x,y)= [/mm] e^(xy) diffbar muss f auch diffbar über [mm] \IR^2. [/mm] Ist es richtig? falls ja reicht es aus mit dieser Begründung. wie kann man ansonsten zeigen?
Ich hoffe das meine lösungen stimmen. ich bin für jeden tipp und verbesserungsvorschlag dankbar
gruß knowhow
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Hallo knowhow,
i) und ii) sehen für mich gut aus.
Zu iii): Da kommt es ein bisschen drauf an, was für Sätze ihr in der Vorlesung hattet. Üblich ist sowas wie: $f$ stetig(!) partiell diffbar [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $f$ (total) differenzierbar.
Da musst du also ein bisschen mehr als die partielle Differenzierbarkeit zeigen - das ist hier aber auch kein Problem  .
Viele Grüße,
Reticella
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