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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Sa 21.05.2005 | | Autor: | kruder77 |
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe:
Lösen Sie die Differentialgleichung [mm] y'+3y=x*e^{x}
[/mm]
a)durch Variation der Konstanten
b)durch eine partikuläre Lsg
bei a) habe ich:
[mm] y_{h}=e^{3x}*C
[/mm]
[mm] y_{p}=( [/mm] - [mm] \bruch{x}{2}- \bruch{1}{4})*e^{x}
[/mm]
[mm] y(x)=e^{3x}*C [/mm] + ( - [mm] \bruch{x}{2}- \bruch{1}{4})*e^{x}
[/mm]
bei b) ist [mm] y_{h} [/mm] ident mit a)
jedoch bekomme ich ab dort Probleme:
[mm] y_{p}=(ax+b)*e^{x} [/mm]
[mm] y'_{p}=(ax+a+b)*e^{x}
[/mm]
[mm] (ax+a+b)*e^{x} [/mm] - 3* [mm] (ax+b)*e^{x} [/mm] = [mm] x*e^{x}
[/mm]
[mm] (-2ax-2b+a)*e^{x}=x*e^{x}
[/mm]
so, an dieser Stelle komme ich nicht weiter.
Danke für die Hilfe!
Gruß Kruder77
(Diese Frage habe ich in keinen anderen Forum gestellt)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kruder!
> [mm](-2ax-2b+a)*e^{x}=x*e^{x}[/mm]
Zunächst können wir ja durch [mm] $e^x [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ teilen und erhalten:
[mm]-2ax-2b+a \ = \ x[/mm]
Das Stichwort hier heißt nun Koeffizientenvergleich :
[mm]\red{-2a}*x + \blue{(-2b+a)} \ = \ \red{1}*x + \blue{0}[/mm]
Es muß also gelten:
$-2a \ = \ 1$ sowie $-2b+a \ = \ 0$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:30 Sa 21.05.2005 | | Autor: | kruder77 |
Hallo Loddar,
dann komme ich auf:
a= - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und b= - [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
und die probe ergibt dann [mm] x*e^{x}=x*e^{x}
[/mm]
das heißt es stimmt, dann setzte ich das in:
[mm] y_{p}= (ax+b)*e^{x} [/mm] ein und erhalte
[mm] y_{p}=(- \bruch{1}{2} [/mm] *x - [mm] \bruch{1}{4})*e^{x}
[/mm]
und erhalte somit das selbe Ergebnis wie in Aufgabe a)
Super - danke für die Hilfe!!!
Gruß Kruder77
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo kruder,
EDIT: Ich versuche es jetzt nochmal, irgendwas ist falsch...
Also angenommen [mm] $y_p(x)=\left(-\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\right)e^x=-\frac{1}{4}(2x+1)e^x$. [/mm] Dann ist [mm] $y'_p(x)=-\frac{1}{4}(2x+1)e^x-\frac{1}{4}\cdot [/mm] 2 [mm] \cdot e^x [/mm] = [mm] -\frac{1}{4}(2x+3)e^x$.
[/mm]
[mm] $y'_p(x)+3y_p(x)=xe^x \gdw [/mm] (2x+3)+3(2x+1)=-4x [mm] \gdw [/mm] 8x+6=-4x [mm] \gdw [/mm] 6=-12x [mm] \gdw x=-\frac{1}{2}$
[/mm]
Also ist die Gleichung nicht immer erfüllt. Kann damit also nicht spezielle Lösung sein. Ich finde aber nicht den Fehler in dem Ansatz von euch.
Max
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo ihr beiden,
mit dem Ansatz [mm] $y_p(x)=(ax+b)e^x$ [/mm] erhält man [mm] $y'_p(x)=(ax+a+b)e^x$. [/mm] Das führt zur Gleichung:
[mm] $(ax+a+b)e^x+3(ax+b)e^x=xe^x \gdw (ax+a+b)e^x+(3ax+3b)e^x=xe^x \gdw (4ax+a+4b)e^x=xe^x$
[/mm]
Damit kommt man zu den Bedingungen $4a=1$ und $a+4b=0$.
Gruß Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Sa 21.05.2005 | | Autor: | kruder77 |
Hallo Max,
jepp sorry, hatte das Minus beim eingeben übersehen - und mit diesem stimmt dann ja wieder alles, gell? Aber noch eine Frage zu deinen vorherigen Artikel, dort hast Du ja nach x aufgelöst. Ich denke das war als Probe gedacht, gell? (Habe das vorher noch nicht gesehen) Und wenn ich richtig gerechnet habe was muss dann rauskommen? bzw. wie beurteile ich das dann? (hat mich jetzt ein wenig durcheinander gebracht)
Gruß Kruder77
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 So 22.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ist es nur ein Versehen, dass in deiner homogenen Lösung steht [mm] y=C*e^{3x}
[/mm]
es muss [mm] y=C*e^{-3x} [/mm] heissen.
Bei der Variation der Konstanten kommst du dann auch auf ne andere Gleichung! nämlich:
[mm] C(x)=(\bruch{1}{4}*x-\bruch{1}{16}*e^{4x}+c
[/mm]
Wie hast du die Variation der Konstanten gemacht? mit [mm] y=C(x)*e^{3x} [/mm] geht das doch gar nicht so?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:04 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ihr Beiden!
Außerdem lautet ja die homogene Lösung: [mm] $y_H [/mm] \ = \ C * [mm] e^{\red{-}3x}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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