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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:06 Do 27.12.2007 | | Autor: | gosch |
| Aufgabe | | Berechnen Sie einige Lösungen der pellschen Gleichungen [mm] x^2 -13 y^2 = 1 [/mm] und [mm] x^2 - 13 y^2 = -4[/mm] |
Hallo,
den ersten Teil der Aufgabe habe ich schon ausgerechnet. Es ist : [mm] x = 649[/mm] und [mm] y = 180[/mm]. Dabei habe ich die Kettenbruchentwicklung von [mm]\wurzel{13}[/mm] betrachtet und die Näherungsbrüche explizit ausgerechnet. Im zweiten Teil wollte ich ein Algorithmus aus der Vorlesung benutzen, das besagt: Sei [mm] d \in \IN[/mm], kein Quadrat, [mm] \wurzel{d} = \left[a_{0}, \overline{a_{1}, ..., 2a_{0}}\right], \bruch{p_{n}}{q_{n}}[/mm] Näherungsbrüche, [mm] \zeta_{n} [/mm] Reste [mm]\zeta_{n} = \bruch{b_{n}+\wurzel{d}}{c_{n}}[/mm] mit [mm]b_{0} = a_{0}, c_{-1} = 1, c_{0} = d-b_{0}^2,[/mm]
[mm] c_{n+1} = c_{n-1} + 2a_{n}b_{n}-a_{n}^2c_{n}, b_{n+1}=a_{n}c_{n}-b_{n} [/mm] ([mm]a_{n} [/mm] aus Kettenbruchalgorithmus).
Dann [mm] p_{n}^2-dq_{n}^2 = (-1)^nc_{n}[/mm] für [mm] n \in \IN_{0}[/mm]
Das Problem ist, dass die c's immer größere ganze Zahlen werden und genau 4, gilt nur für [mm] c_{0}, [/mm] aber [mm](-1)^0=1[/mm] und nicht[mm]-1[/mm] ansonsten würde die Gleichung für [mm]p_{0}= 3[/mm] und [mm]q_{0} = 1[/mm] stimmen. Die stimmt auch für [mm]p_{8} = 393[/mm] und [mm]q_{8} = 109[/mm]. Wie kann ich das aber zeigen?
Für die Hinweise werde ich dankbar.
Lg, gosch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 03.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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