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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Katze_91 |
| Aufgabe | Seien [mm] w_1 ,w_2 \in \IC [/mm] \ {0} mit [mm] \bruch{w_1}{w_2} \not\in\IR. [/mm] Sei f: [mm] \IC \to \IC [/mm] holomorph mit [mm] f(z)=f(z+w_1)=f(z+w_2) [/mm] für alle z [mm] \in \IC.
[/mm]
Zeigen Sie, dass f konstant ist |
Hallo^^
ich hänge bei der Aufgabe an einer Stelle bei der ich nicht weiß, ob ich einen Satz verwenden darf oder nicht.
hier mal meine idee:
da f holomorph in ganz [mm] \IC [/mm] ist, ist f ganz, also muss ich nur zeigen, dass f beschränkt ist (satz von liouville)
als erstes hab ich mir überlegt, was bedeutet, dass [mm] \burch{w_1}{w_2} \not\in \IR [/mm] bedeutet, dass bedeutet ja, dass die fälle wo [mm] Re(w_1)=Re(w_2)=0 [/mm] und wo [mm] Im(w_1)=Im(w_2)=0 [/mm] nicht eintreffen können und sie sind natürlich noch (reell) linear unabhängig weil sonst der bruch eine reelle zahl wäre
wenn ich jetzt die menge P= { [mm] sw_1+t w_2, 0\le [/mm] s,t [mm] \le [/mm] 1 } (war als hinweis gegeben) betrachte, dann kann ich ja sagen, dass diese beschränkt und abgeschlossen ist
so und jetzt meine frage:
P ist beschränkt und abgeschlossen also kompakt, f ist da holomorph auch stetig, kann ich jetzt den satz aus dem reellen nehmen und sagen, dass f beschränkt ist?
ich vermute mal nicht weil ich ja die lineare unabhängigkeit nicht so ganz verwendet habe... kann mir da bitte einer einen Tipp geben?
wäre lieb wenn mir da einer helfen könnte
LG Katze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:13 Sa 02.06.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Katze!
> Seien [mm]w_1 ,w_2 \in \IC[/mm] \ {0} mit [mm]\bruch{w_1}{w_2} \not\in\IR.[/mm]
> Sei f: [mm]\IC \to \IC[/mm] holomorph mit [mm]f(z)=f(z+w_1)=f(z+w_2)[/mm]
> für alle z [mm]\in \IC.[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass f konstant ist
>
> Hallo^^
>
> ich hänge bei der Aufgabe an einer Stelle bei der ich
> nicht weiß, ob ich einen Satz verwenden darf oder nicht.
> hier mal meine idee:
>
> da f holomorph in ganz [mm]\IC[/mm] ist, ist f ganz, also muss ich
> nur zeigen, dass f beschränkt ist (satz von liouville)
>
> als erstes hab ich mir überlegt, was bedeutet, dass
> [mm]\burch{w_1}{w_2} \not\in \IR[/mm] bedeutet, dass bedeutet ja,
> dass die fälle wo [mm]Re(w_1)=Re(w_2)=0[/mm] und wo
> [mm]Im(w_1)=Im(w_2)=0[/mm] nicht eintreffen können und sie sind
> natürlich noch (reell) linear unabhängig weil sonst der
> bruch eine reelle zahl wäre
Genau. Anders ausgedrückt: als Vektoren im [mm] $\IR^2$ [/mm] betrachtet, spannen [mm] $w_1$ [/mm] und [mm] $w_2$ [/mm] ein Parallelogramm auf.
> wenn ich jetzt die menge [mm]P= \{ sw_1+t w_2, 0\le s,t \le 1 \} [/mm]
> (war als hinweis gegeben) betrachte, dann kann ich ja
> sagen, dass diese beschränkt und abgeschlossen ist
>
> so und jetzt meine frage:
>
> P ist beschränkt und abgeschlossen also kompakt, f ist da
> holomorph auch stetig, kann ich jetzt den satz aus dem
> reellen nehmen und sagen, dass f beschränkt ist?
Das darfst du. Ganz allgemein gilt: Ist f stetig und P kompakt, so ist das Bild $f(P)$ kompakt. Außerdem gilt, weil [mm] $\IC$ [/mm] ein euklidischer Raum ist, der Satz von Heine-Borel, der sagt, dass $ f(P)$ genau dann kompakt ist, wenn $f(P)$ bechränkt und abgeschlossen ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:17 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Katze_91 |
Danke schön^^ der Rest des Beweises sollte klar sein :)
auch gut ist, wenn man weiß, dass es ein Parallelogramm ist, was aufgespannt wird... mir ist die ganze zeit das Wort nicht eingefallen
Danke ^^
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