permutationsdarstellung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:38 Mo 07.01.2013 | | Autor: | fmath |
Hallo,
ich arbeite momentan an einem Seminar über Darstellungstheorie, und habe bzgl. der Permutationsdarstellung der symmetrische Gruppe [mm] S^{3} [/mm] über [mm] \IC^{3} [/mm] folgende Frage:
V sie ein Vektorraum, und G eine Gruppe;
Ich habe bis jetzt alle Matrizen aufgestellt und möchte gerne wissen wie ich darauf kommen sollte, dass diese Permutation eine direkte Summe von zwei Unterdarstellungen ist:
--> wie lese ich sowas?(daß [mm] \IC^{3} [/mm] reduzibel ist: [mm] \IC^{3} [/mm] = [mm] V_{1} [/mm] + [mm] V_{2}, [/mm] wobei [mm] V_{1} [/mm] und [mm] V_{2} [/mm] zwei Unterdarstellungen von V sind?
Laut mein Prof: [mm] \IC^{3} [/mm] = [mm] V_{1} [/mm] + [mm] V_{2} [/mm] mit
[mm] V_{1}= \IC(e_{1} [/mm] + [mm] e_{2}+ e_{3})
[/mm]
[mm] V_{2}= \{ \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} \in \IC^{3},x_{1}+ x_{2}+ x_{3}= 0\}
[/mm]
--> wie kann ich beweisen, dass [mm] V_{1} [/mm] bzw. [mm] V_{2} [/mm] tatsächlich die triviale Darstellung bzw. die Standarddarstellung ist?
Ich danke euch schon im Voraus für euere Hilfe.
Fmath
PS: ein fröhliches neues Jahr an Alle!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:25 Di 08.01.2013 | | Autor: | hippias |
> Hallo,
> ich arbeite momentan an einem Seminar über
> Darstellungstheorie, und habe bzgl. der
> Permutationsdarstellung der symmetrische Gruppe [mm]S^{3}[/mm] über
> [mm]\IC^{3}[/mm] folgende Frage:
> V sie ein Vektorraum, und G eine Gruppe;
> Ich habe bis jetzt alle Matrizen aufgestellt und möchte
> gerne wissen wie ich darauf kommen sollte, dass diese
> Permutation eine direkte Summe von zwei Unterdarstellungen
> ist:
> --> wie lese ich sowas?(daß [mm]\IC^{3}[/mm] reduzibel ist: [mm]\IC^{3}[/mm]
> = [mm]V_{1}[/mm] + [mm]V_{2},[/mm] wobei [mm]V_{1}[/mm] und [mm]V_{2}[/mm] zwei
> Unterdarstellungen von V sind?
>
> Laut mein Prof: [mm]\IC^{3}[/mm] = [mm]V_{1}[/mm] + [mm]V_{2}[/mm] mit
> [mm]V_{1}= \IC(e_{1}[/mm] + [mm]e_{2}+ e_{3})[/mm]
> [mm]V_{2}= \{ \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} \in \IC^{3},x_{1}+ x_{2}+ x_{3}= 0\}[/mm]
>
> --> wie kann ich beweisen, dass [mm]V_{1}[/mm] bzw. [mm]V_{2}[/mm]
> tatsächlich die triviale Darstellung bzw. die
> Standarddarstellung ist?
Es genuegt doch nachzurechnen, dass alle Elemente aus [mm] $V_{1}$ [/mm] festgelassen werden: dann ist die Darstellung trivial.
>
> Ich danke euch schon im Voraus für euere Hilfe.
>
> Fmath
> PS: ein fröhliches neues Jahr an Alle!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Di 08.01.2013 | | Autor: | fmath |
Hallo Hippias
was meinst du denn mit festgehalten?
fmath
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:14 Mi 09.01.2013 | | Autor: | hippias |
[mm] $\forall v\in V_{1}$ [/mm] und [mm] $\forall g\in S_{3}$ [/mm] gilt $vg= v$.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:56 Mi 09.01.2013 | | Autor: | fmath |
Danke dir, habe jetzt verstanden.
VG
Fmath
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