phi bei geg. Eigenvektor best. < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:16 Mo 03.05.2010 | | Autor: | kiwibox |
| Aufgabe | Seien [mm] v_1=\pmat [/mm] {2 [mm] \\ [/mm] 0 [mm] \\ [/mm] 1}, [mm] v_2=\pmat{0\\ 1\\1}, v_3=\pmat{3\\0\\1} \in \IR^3 [/mm] und [mm] a_1, a_2, a_3 \in \IR [/mm] paarweise verschieden.
a) zeigen sie, dass es genau ein [mm] \phi \in [/mm] End(V) gibt mit [mm] E_{\phi}(a_i)=
[/mm]
b) bestimmen sie [mm] D_S(\phi), [/mm] wobei S die Standardbasis ist. |
hallo....
ich stecke schon wieder mal fest und weiß nicht, wie ich weiter kommen soll....
zu a habe ich mir überlegt:
[mm] E{_\phi}(a_1)=\pmat {2\\0\\1} \rightarrow \pmat{1&0 & -2 \\0&1&1\\ 0&0&0}
[/mm]
[mm] E{_\phi}(a_2)=\pmat {0\\1\\1} \rightarrow \pmat{1&0 & 0 \\0&1&-1\\ 0&0&0}
[/mm]
[mm] E{_\phi}(a_3)=\pmat {3\\0\\1} \rightarrow \pmat{1&0 & -3 \\0&1&0\\ 0&0&0}
[/mm]
aber wie kann ich jetzt nun [mm] \phi [/mm] bzw. die Eigenwerte bestimmen? ich habe keine Ahnung, wie ich jetzt weiter vorgehen kann...
zu b habe ich mir überlegt: da [mm] v_1,v_2 [/mm] und [mm] v_3 [/mm] Eigenvektoren bilden, bilden die meine Basis T und dann kann ich einfach die Matrix nach der Formel ausrechnen: [mm] T^{-1}D_S(\phi)T=D_T(\phi)
[/mm]
[mm] D_T(\phi) [/mm] habe ich ja dann wenn ich die Eigenwerte in a herausgefunden habe, oder?
lg
kiwibox
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 Mo 03.05.2010 | | Autor: | fred97 |
[mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] sind doch lin. unabhängig, bilden also eine Basis des [mm] \IR^3
[/mm]
Für das gesuchte [mm] \phi [/mm] gilt: [mm] $\phi(v_i)= a_iv_i$ [/mm] (i=1,2,3)
Ist nun x [mm] \in \IR^3, [/mm] so gibt es s,t,r [mm] \in \IR [/mm] mit:
$x = [mm] sv_1+tv_2+r v_3$
[/mm]
Wie muß man nun [mm] \phi(x) [/mm] def. damit [mm] \phi [/mm] linear ist ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Mo 03.05.2010 | | Autor: | kiwibox |
> [mm]v_1, v_2, v_3[/mm] sind doch lin. unabhängig, bilden also eine
> Basis des [mm]\IR^3[/mm]
das ist mir klar.
> Für das gesuchte [mm]\phi[/mm] gilt: [mm]\phi(v_i)= a_iv_i[/mm]
> (i=1,2,3)
>
> Ist nun x [mm]\in \IR^3,[/mm] so gibt es s,t,r [mm]\in \IR[/mm] mit:
>
> [mm]x = sv_1+tv_2+r v_3[/mm]
>
> Wie muß man nun [mm]\phi(x)[/mm] def. damit [mm]\phi[/mm] linear ist ?
meinst du das: [mm] \pmat{1\\0\\0}=sv_1+tv_2+rv_3 [/mm] ???? etc.
hab gerade gemerkt, dass ich auch der falsche ansatz...ich weiß echt nicht, wie ich das mit dem [mm] \phi [/mm] darstellen soll....ich kann mir auch gar nichts unter dem [mm] \phi [/mm] vorstellen soll. es ist echt ein graus.
was soll ich denn für das x einsetzten?
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> > [mm]v_1, v_2, v_3[/mm] sind doch lin. unabhängig, bilden also eine
> > Basis des [mm]\IR^3[/mm]
>
> das ist mir klar.
>
> > Für das gesuchte [mm]\phi[/mm] gilt: [mm]\phi(v_i)= a_iv_i[/mm]
> > (i=1,2,3)
> >
> > Ist nun x [mm]\in \IR^3,[/mm] so gibt es s,t,r [mm]\in \IR[/mm] mit:
> >
> > [mm]x = sv_1+tv_2+r v_3[/mm]
> >
> > Wie muß man nun [mm]\phi(x)[/mm] def. damit [mm]\phi[/mm] linear ist ?
>
> meinst du das: [mm]\pmat{1\\0\\0}=sv_1+tv_2+rv_3[/mm] ???? etc.
Hallo,
da [mm] (v_1, v_2, v_3) [/mm] eine Basis ist, gibt es zu jedem Vektor x aus dem [mm] \IR^3 [/mm] passende Koeffizienten [mm] r,s,t\in \IR [/mm] mit
x= [mm] sv_1+tv_2+r v_3.
[/mm]
(Natürlich gibt's solche Koeffizienten auch für [mm] x:=\pmat{1\\0\\0}, [/mm] Du kannst sie Dir ja mal ausrechnen.)
[mm] \phi [/mm] soll doch eine lineare Abbildung aus dem [mm] \IR^3 [/mm] in den [mm] \IR^3 [/mm] sein, und wir kennen sogar schon ihre Werte auf der Basis [mm] (v_1, v_2, v_3).
[/mm]
Aufgrund der Linearität kann doch nur sein
[mm] \phi(x)=\phi( sv_1+tv_2+r v_3)= [/mm] .... (Linearität nutzen und die vorgegebene Eigenschaft der Funktion.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:55 Di 04.05.2010 | | Autor: | kiwibox |
> da [mm](v_1, v_2, v_3)[/mm] eine Basis ist, gibt es zu jedem Vektor
> x aus dem [mm]\IR^3[/mm] passende Koeffizienten [mm]r,s,t\in \IR[/mm] mit
>
> x= [mm]sv_1+tv_2+r v_3.[/mm]
>
> (Natürlich gibt's solche Koeffizienten auch für
> [mm]x:=\pmat{1\\0\\0},[/mm] Du kannst sie Dir ja mal ausrechnen.)
das habe ich gemacht, und da habe ich festgestellt, dass mein erster Gedanke falsch war 
> [mm]\phi[/mm] soll doch eine lineare Abbildung aus dem [mm]\IR^3[/mm] in den
> [mm]\IR^3[/mm] sein, und wir kennen sogar schon ihre Werte auf der
> Basis [mm](v_1, v_2, v_3).[/mm]
>
> Aufgrund der Linearität kann doch nur sein
>
> [mm]\phi(x)=\phi( sv_1+tv_2+r v_3)=[/mm] .... (Linearität nutzen
> und die vorgegebene Eigenschaft der Funktion.)
Du meinst jetzt: [mm] \phi(x)=\phi(sv_1+tv_2+rv_3)=...=s \phi(v_1)+t \phi(v_2)+r \phi(v_3)=s \phi(\pmat{2\\0\\1})+t \phi(\pmat{0\\1\\1})+r \phi(\pmat{3\\0\\1})
[/mm]
aber jetzt weiß ich nicht weiter :-( ... ich glaub, ich habe bei dieser Aufgabe Tomaten auf den Augen. Muss ich irgendwie noch [mm] a_i [/mm] damit einbringen, weil [mm] det(\phi-x\cdot I_n)=0 \rightarrow [/mm] a?
was sind denn die vorgebene Eigenschaft der Funktion?
danke nochmal...
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> > [mm]\phi[/mm] soll doch eine lineare Abbildung aus dem [mm]\IR^3[/mm] in den
> > [mm]\IR^3[/mm] sein, und wir kennen sogar schon ihre Werte auf der
> > Basis [mm](v_1, v_2, v_3).[/mm]
> >
> > Aufgrund der Linearität kann doch nur sein
> >
> > [mm]\phi(x)=\phi( sv_1+tv_2+r v_3)=[/mm] .... (Linearität nutzen
> > und die vorgegebene Eigenschaft der Funktion.)
>
>
> Du meinst jetzt: [mm]\phi(x)=\phi(sv_1+tv_2+rv_3)=...=s \phi(v_1)+t \phi(v_2)+r \phi(v_3)=s \phi(\pmat{2\\0\\1})+t \phi(\pmat{0\\1\\1})+r \phi(\pmat{3\\0\\1})[/mm]
Hallo,
ja, genau.
>
> aber jetzt weiß ich nicht weiter :-( ... ich glaub, ich
> habe bei dieser Aufgabe Tomaten auf den Augen.
Etwas schwerfällig auf jeden Fall...
> Muss ich
> irgendwie noch [mm]a_i[/mm] damit einbringen
Na klar! Hallo!!! Die [mm] v_i [/mm] sind doch die Ei - gen - vek - to - ren!
Du kennst also die [mm] \phi(v_i),
[/mm]
und wenn Du die oben hinschreibst, dan hast Du [mm] \phi(x):=sa_1v_1+ta_2v_2+ra_3v_3 [/mm] für [mm] x=sv_1+tv_2+rv_3.
[/mm]
(Mach Dir kurz klar, daß die Abbildung wohldefiniert ist.)
> was sind denn die vorgebene Eigenschaft der Funktion?
Linear und [mm] \phi(v_1)=a_iv_i.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Mi 05.05.2010 | | Autor: | kiwibox |
> und wenn Du die oben hinschreibst, dan hast Du
> [mm]\phi(x):=sa_1v_1+ta_2v_2+ra_3v_3[/mm] für [mm]x=sv_1+tv_2+rv_3.[/mm]
d.h. jetzt:
[mm] \phi(x):=sa_1v_1+ta_2v_2+ra_3v_3 [/mm] , weil mein x sich durch die Eigenvektoren zusammensetzt: [mm] x=sv_1+tv_2+rv_3
[/mm]
[mm] \phi(x):=sa_1v_1+ta_2v_2+ra_3v_3=s\pmat{2a_1\\0\\a_1}+t\pmat{0\\a_2\\a_2}+r\pmat{3a_3\\0\\a_3}
[/mm]
d.h meine Matrix sieht dann wie folgt aus: [mm] \pmat{2a_1&0&3a_3\\0&a_2&0\\a_1&a_2&a_3}
[/mm]
oder auch nicht?
wenn doch, wie kann ich dann die einzelnen [mm] a_1, a_2 [/mm] und [mm] a_3 [/mm] ausrechnen? oder brauch ich die nicht auszurechnen?
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> > und wenn Du die oben hinschreibst, dan hast Du
> > [mm]\phi(x):=sa_1v_1+ta_2v_2+ra_3v_3[/mm] für [mm]x=sv_1+tv_2+rv_3.[/mm]
>
> d.h. jetzt:
> [mm]\phi(x):=sa_1v_1+ta_2v_2+ra_3v_3[/mm] , weil mein x sich durch
> die Eigenvektoren zusammensetzt: [mm]x=sv_1+tv_2+rv_3[/mm]
>
> [mm]\phi(x):=sa_1v_1+ta_2v_2+ra_3v_3=s\pmat{2a_1\\0\\a_1}+t\pmat{0\\a_2\\a_2}+r\pmat{3a_3\\0\\a_3}[/mm]
>
> d.h meine Matrix sieht dann wie folgt aus:
> [mm]\pmat{2a_1&0&3a_3\\0&a_2&0\\a_1&a_2&a_3}[/mm]
>
> oder auch nicht?
Die Matrix, die Du aufschreibst, ist die Darstellungsmatrix bzgl der Eigenbasis im Startraum und der Standardbasis im Zielraum.
Um die Darstellungsmatrix bzgl der Standardbasis zu bekommen, müßtest Du noch die passende Transformationsmatrix, nämlich die Inverse derer, die die Eigenvektoren in den Spalten enthält, rechts dranmultiplizieren.
Oder Du wählst den Weg, der Dir vielleicht leichter fällt: bestimme die Bilder der Standardbasisvektoren und schreibe sie in die Spalten der Darstellungsmatrix.
Das war es wohl, was Dir anfänglich mal vorschwebte.
(Ich würd' mir übrigens erstmal die Darstellungsmatrix bzgl. der Eigenbasis überlegen - sie ist sehr übersichtlich.)
> wenn doch, wie kann ich dann die einzelnen [mm]a_1, a_2[/mm] und [mm]a_3[/mm]
> ausrechnen? oder brauch ich die nicht auszurechnen?
Nein. Das sind die Eigenwerte, die wir einfach als gegeben bekommen haben.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Mi 05.05.2010 | | Autor: | kiwibox |
> Oder Du wählst den Weg, der Dir vielleicht leichter
> fällt: bestimme die Bilder der Standardbasisvektoren und
> schreibe sie in die Spalten der Darstellungsmatrix.
> Das war es wohl, was Dir anfänglich mal vorschwebte.
Die Standartbasisvektoren sind doch [mm] \pmat{1\\0\\0}, \pmat{0\\1\\0} [/mm] und [mm] \pmat{0\\0\\1} [/mm] und das ist auch das Bild, oder?
und meine Darstellungsmatrix ist die Einheitsmatrix?
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> > Oder Du wählst den Weg, der Dir vielleicht leichter
> > fällt: bestimme die Bilder der Standardbasisvektoren und
> > schreibe sie in die Spalten der Darstellungsmatrix.
> > Das war es wohl, was Dir anfänglich mal vorschwebte.
>
> Die Standartbasisvektoren sind doch [mm]\pmat{1\\0\\0}, \pmat{0\\1\\0}[/mm]
> und [mm]\pmat{0\\0\\1}[/mm] und das ist auch das Bild, oder?
> und meine Darstellungsmatrix ist die Einheitsmatrix?
Hallo,
so allmählich schwant mir, daß Du null Ahnung von Darstellungsmatrizen hast.
In der Darstellungsmatrix bzgl der Standardbasis stehen in den Spalten die Bilder der Standardbasisvektoren (in Koordinaten bzgl der Standardasis).
Du mußt also für die Standardbasisvektoren erstmal die zugehörigen Koeffizienten r,s,t bestimmen und dann gemäß Vorschrift abbilden, oder Dir aus der matrix, die Du bereits hast, nach meiner Anleitung die richtige basteln.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:22 Mi 05.05.2010 | | Autor: | kiwibox |
ich habe nun endlich nach langen hin und her rechnen eine Matrix mit Abhängigkeit von [mm] a_1, a_2 [/mm] und [mm] a_3 [/mm] bestimmt. ich war die ganze Zeit einfach nur blind
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