pkt. Konvergenz, intbare Major < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:02 Mi 26.11.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Funktionenfolge
[mm] $f_k: [0,1]\to\mathbb{R}$ [/mm] gegeben durch
[mm] $f_k(x)=\frac{k^sx}{1+k^2x^2}$
[/mm]
mit $s>0$. Für welche s>0 ist:
a) [mm] $f_k$ [/mm] punktweise konvergent
b) hat [mm] $f_k$ [/mm] eine integrierbare Majorante
c) ist Integration (über $[0,1]$) mit Grenzübergang [mm] ($k\to\infty$) [/mm] vertauschbar. |
Hi,
ich hätte eine Frage zu dieser Aufgabe.
Erstmal die a), ich glaube die habe ich soweit gelöst.
Ich mache eine Fallunterscheidung:
1. Fall:
Für $x=0$ ist [mm] $\lim_{k\to\infty} f_k(0)=0$ [/mm] für alle $s>0$ also immer punktweise Konvergent.
2. Fall:
Für [mm] $x\in(0,1]$ [/mm] beliebig, aber fest:
[mm] $f_k(x)=\frac{k^sx}{1+k^2x^2}=\frac{k^s}{\frac{1}{x}+k^2x}<\frac{k^s}{k^2x}=\frac{1}{x}k^{s-2}$
[/mm]
[mm] $\lim_{k\to\infty} \frac{1}{x}k^{s-2}=\begin{cases} 0\quad\text{für} s<2\\ \frac{1}{x} \quad\text{für} s=2\\ \infty \quad\text{für} s>2\end{cases}$
[/mm]
Also:
Für $x=0$ ist [mm] $f_k$ [/mm] immer punktweise Konvergent.
Für [mm] $x\in(0,1]$ [/mm] ist [mm] $f_k$ [/mm] für [mm] $s\leq [/mm] 2$ punktweise Konvergent.
zu der b)
Nach dem Satz von der majorisierten Konvergenz muss [mm] f_k [/mm] fast überall gegen [mm] $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ [/mm] konvergieren und
[mm] $|f_k|\leq [/mm] h$. Dann folgt [mm] $f\in\mathcal{L}^1(\mathbb{R})$
[/mm]
Das heißt ich kann den Fall s>2 schon mal ausschließen und muss dies nicht weiter betrachten, richtig? Denn für s>2 konvergiert f nicht fast überall.
Für [mm] $s\leq [/mm] 2$ wäre die Funktionenfolge nur für x=0 integrierbar, weil dann h=0 die Funktionenfolge majorisiert und die Nullfunktion ist integrierbar.
Für [mm] $x\in(0,1]$ [/mm] wäre die Funktionenfolge nicht integrierbar denn dann gilt
[mm] $f_k<\frac{1}{x}$ [/mm] und dies ist nicht integrierbar da
[mm] $\int_{\mathbb{R}} \frac{1}{x}\, dx=\infty$
[/mm]
Wäre das richtig?
c)
Man kann die Integration und den Grenzübergang vertauschen wenn die Funktionenfolge gleichmäßig konvergent ist. Ich muss nun also auf gleichmäßige Konvergenz prüfen. Hierbei reicht es wieder nur [mm] $s\leq [/mm] 2$ zu betrachten, da für $s>2$ die Funktionenfolge ja schon nicht punktweise konvergiert.
Ich würde nun also folgendes betrachten:
[mm] $\lim_{k\to\infty} ||f_k-f||_{\infty}=0$
[/mm]
Hier kann ich dann ja keine Fallunterscheidung mehr machen, da ich x nicht fest wählen kann?
Vielen Dank im voraus für Tipps und Korrekturen.
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:06 Mi 26.11.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo
> Hi,
>
> ich hätte eine Frage zu dieser Aufgabe.
>
> Erstmal die a), ich glaube die habe ich soweit gelöst.
>
> Ich mache eine Fallunterscheidung:
>
> 1. Fall:
>
> Für [mm]x=0[/mm] ist [mm]\lim_{k\to\infty} f_k(0)=0[/mm] für alle [mm]s>0[/mm] also
> immer punktweise Konvergent.
>
> 2. Fall:
>
> Für [mm]x\in(0,1][/mm] beliebig, aber fest:
>
> [mm]f_k(x)=\frac{k^sx}{1+k^2x^2}=\frac{k^s}{\frac{1}{x}+k^2x}<\frac{k^s}{k^2x}=\frac{1}{x}k^{s-2}[/mm]
>
> [mm]\lim_{k\to\infty} \frac{1}{x}k^{s-2}=\begin{cases} 0\quad\text{für} s<2\\ \frac{1}{x} \quad\text{für} s=2\\ \infty \quad\text{für} s>2\end{cases}[/mm]
>
> Also:
>
> Für [mm]x=0[/mm] ist [mm]f_k[/mm] immer punktweise Konvergent.
> Für [mm]x\in(0,1][/mm] ist [mm]f_k[/mm] für [mm]s\leq 2[/mm] punktweise
> Konvergent.
Eine Folge [mm] $(f_k)$ [/mm] heißt punktweise konvergent, wenn [mm] (f_k(x))$ [/mm] für JEDES x konvergiert.
>
> zu der b)
>
> Nach dem Satz von der majorisierten Konvergenz muss [mm]f_k[/mm]
> fast überall gegen [mm]f:[0,1]\to\mathbb{R}[/mm] konvergieren und
>
> [mm]|f_k|\leq h[/mm]. Dann folgt [mm]f\in\mathcal{L}^1(\mathbb{R})[/mm]
>
> Das heißt ich kann den Fall s>2 schon mal ausschließen
> und muss dies nicht weiter betrachten, richtig? Denn für
> s>2 konvergiert f nicht fast überall.
$s>2$ ist uninteressant, ja. In dem Fall kann es keine integrierbare Majorante geben.
>
> Für [mm]s\leq 2[/mm] wäre die Funktionenfolge nur für x=0
> integrierbar, weil dann h=0 die Funktionenfolge majorisiert
> und die Nullfunktion ist integrierbar.
Was? Für x=0 integrierbar? Also entweder sie ist integrierbar oder nicht. In dem Fall ist sicherlich [mm] $f_k\in \mathcal{L}^1(\mathbb{R})$ [/mm] für alle k.
> Für [mm]x\in(0,1][/mm] wäre die Funktionenfolge nicht
> integrierbar denn dann gilt
>
> [mm]f_k<\frac{1}{x}[/mm] und dies ist nicht integrierbar da
>
> [mm]\int_{\mathbb{R}} \frac{1}{x}\, dx=\infty[/mm]
>
> Wäre das richtig?
Nein, wie gesagt, die Folge ist integrierbar und man kann sogar leicht eine Stammfunktion angeben.
>
> c)
>
> Man kann die Integration und den Grenzübergang vertauschen
> wenn die Funktionenfolge gleichmäßig konvergent ist. Ich
> muss nun also auf gleichmäßige Konvergenz prüfen.
> Hierbei reicht es wieder nur [mm]s\leq 2[/mm] zu betrachten, da für
> [mm]s>2[/mm] die Funktionenfolge ja schon nicht punktweise
> konvergiert.
>
> Ich würde nun also folgendes betrachten:
>
> [mm]\lim_{k\to\infty} ||f_k-f||_{\infty}=0[/mm]
>
> Hier kann ich dann ja keine Fallunterscheidung mehr machen,
> da ich x nicht fest wählen kann?
Die Folge ist i.A. nicht gleichmäßig konvergent, da [mm] $f_k(1/k)=k^{s-1}/2$ [/mm] nicht gegen 0 konvergiert falls [mm] $s\ge [/mm] 1$. In dem Fall musst du dir was anderes überlegen.
>
> Vielen Dank im voraus für Tipps und Korrekturen.
> mfg
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:09 Mi 26.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Ist das was ich in a) gemacht habe also unbrauchbar?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:36 Mi 26.11.2014 | | Autor: | andyv |
Nein, aber wie ich schon sagte macht eine Aussage der Form [mm] "$(f_k)$ [/mm] konvergiert punktweise für x=0" keinen Sinn. Entweder die Folge konvergiert punktweise (für gewisse s) oder eben nicht.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Mi 26.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich hätte mir diese Fallunterscheidung also sparen sollen?
Das verstehe ich leider nicht ganz.
Für x=0 ist die Wahl von s offensichtlich egal.
Für [mm] $0
Muss ich dann sagen, dass die Funktion für [mm] $0\leq x\leq [/mm] 1$ für alle [mm] $s\leq2$ [/mm] punktweise konvergiert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Mi 26.11.2014 | | Autor: | andyv |
Ja.
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:48 Mi 26.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Alles klar, danke.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:16 Mi 26.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Stimmt, eine Stammfunktion lässt sich tatsächlich recht leicht finden:
[mm] $F_k(x)=\frac{1}{2}k^{s-2} log(1+k^2x^2)+c$
[/mm]
wenn ich mich nicht irre.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:18 Mi 26.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Stimmt, eine Stammfunktion lässt sich tatsächlich recht
> leicht finden:
>
> [mm]F_k(x)=\frac{1}{2}k^{s-2} log(1+k^2x^2)+c[/mm]
>
> wenn ich mich nicht irre.
Du irrst Dich nicht.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Mi 26.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Aber reicht das für die Integrierbarkeit?
Ich müsste doch auch zeigen, dass das Integral beschränkt ist, oder verwechsel ich nun etwas.
Ich muss ja die Frage beantworten ob es eine integrierbare Majorante gibt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:31 Mi 26.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Hätte hier noch jemand eine weitere Anmerkung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 Mi 26.11.2014 | | Autor: | andyv |
Für die Integrierbarkeit von [mm] $f_k$ [/mm] sicherlich.
Eine integrierbare Majorante ist für [mm] $0\le [/mm] s<2$ gegeben durch [mm] $g(x):=\frac{(2-s)x^{1-s}s^{s/2}}{2(2-s)^{s/2}}$.
[/mm]
Wieso gibt es für s=2 keine integrierbare Majorante?
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 Mi 26.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Für s=2 gibt es keine integrierbare Majorante, da die Funktionfolge für s=2 nicht integrierbar ist, weil das Integral unbeschränkt ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 Mi 26.11.2014 | | Autor: | andyv |
Natürlich ist sie integrierbar für s=2, es ist ja sogar [mm] $f_k\in [/mm] C([0,1])$ für jedes k und jedes s.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Mi 26.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Könntest du mir vielleicht noch einmal erklären wann eine Funktion nun integrierbar heißt und wann nicht?
Ich scheine das irgendwie immer durcheinander zu bringen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Mi 26.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Ok, also die a) hätten wir nun abgeharkt, oder?
Bei der b) reicht es nicht einfach die Stammfunktion hinzuschreiben, sondern ich muss eine integrierbare Majorante angeben. s und k können dabei beliebig groß werden?
Zu der c)
Hier muss ich dann doch zeigen, dass gleichmäßige Konvergenz vorliegt, oder?
Dabei ist dann auch nur der Fall interessant wo bereits punktweise Konvergenz vorliegt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:15 Mi 26.11.2014 | | Autor: | andyv |
a) Das musst du wissen. Von meiner Seite ja.
b) Ja
c) Wie ich schon sagte liegt keine glm Konvergenz für $0<s<2$ vor.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:34 Mi 26.11.2014 | | Autor: | YuSul |
zu a) Ok, ich wüsste jedenfalls nicht was man da verändern könnte.
zu b) Ich finde es relativ "eigenartig", dass die Funktionenfolge unabhängig von der Wahl von s und k immer integrierbar ist, also das
[mm] $\int f_k\, [/mm] dx [mm] <\infty$ [/mm] immer gilt.
Denn wenn ich es mir plotte, dann sieht es ziemlich unbeschränkt aus, auch wenn es sich der Null annähert.
Ich kann [mm] f_k(x) [/mm] erstmal durch [mm] $\frac{1}{k^{2-s}x}$
[/mm]
nach oben abschätzen. Aber diese Majorante wäre nicht für beliebiges k und s integrierbar, da das Integral unbeschränkt wachsen würde, weil der Logarithmus nicht beschränkt ist.
zu c) Ist denn der Ansatz mit der gleichmäßigen Konvergenz falsch? Oder lassen sich hier die Grenzwertprozesse schlicht nicht tauschen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:14 Do 27.11.2014 | | Autor: | andyv |
> zu a) Ok, ich wüsste jedenfalls nicht was man da
> verändern könnte.
>
> zu b) Ich finde es relativ "eigenartig", dass die
> Funktionenfolge unabhängig von der Wahl von s und k immer
> integrierbar ist, also das
>
> [mm]\int f_k\, dx <\infty[/mm] immer gilt.
>
> Denn wenn ich es mir plotte, dann sieht es ziemlich
> unbeschränkt aus, auch wenn es sich der Null annähert.
Also für $x [mm] \to [/mm] 0$ konvergiert doch wohl f(x) gegen 0.
>
> Ich kann [mm]f_k(x)[/mm] erstmal durch [mm]\frac{1}{k^{2-s}x}[/mm]
> nach oben abschätzen. Aber diese Majorante wäre nicht
> für beliebiges k und s integrierbar, da das Integral
> unbeschränkt wachsen würde, weil der Logarithmus nicht
> beschränkt ist.
Ja.
>
>
> zu c) Ist denn der Ansatz mit der gleichmäßigen
> Konvergenz falsch? Oder lassen sich hier die
> Grenzwertprozesse schlicht nicht tauschen?
Es bringt dir hier einfach nicht viel.
Man kann auch im Uebrigen beide Seiten mal berechnen und schauen für welche s dasselbe herauskommt. Alternativ könnte man aus der b) für gewisse s die Vertauschbarkeit zu folgern.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:22 Do 27.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Erstmal nur zur b)
Meine Abschätzung nach oben ist also zu "grob". Denn wenn du sagst, dass die Funktionenfolge für beliebige k und s integrierbar sind, dann kann das ja nicht stimmen.
Aber ich habe leider keine Idee wie ich hier besser abschätzen kann. Da fällt mir leider nichts ein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:38 Do 27.11.2014 | | Autor: | andyv |
Man braucht ja nichts abzuschätzen. Die Funktionen sind stetig auf einem Kompaktum. Also besitzen sie ein Maximum, sagen wir M. Die Funktion g mit g(x)=M, [mm] $x\in [/mm] [0,1]$ ist integrierbar.
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:24 Do 27.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Wow, das ist eine sehr schöne Lösung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 Do 27.11.2014 | | Autor: | andyv |
Für was soll das eine Lösung sein?
Ich sollte darauf hinweisen, dass M i.A von k abhängt, d.h. das im letzten Beitrag angegebene h ist keine integrierbare Majorante für [mm] $(f_k)$.
[/mm]
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:00 Do 27.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Dann verstehe ich nicht wie ich nun eine solche Majorante finden soll?
Wie kann man denn bei sowas vorgehen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:41 Do 27.11.2014 | | Autor: | andyv |
Eine Majorante für [mm] $f_k$ [/mm] im Fall [mm] $0\le [/mm] s<2$ habe ich bereits angegeben. Durch (geschicktes) Abschätzen bestätigt man die Richtigkeit meiner Behauptung.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Do 27.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Ja, aber das Problem ist ja es für alle k und s zu zeigen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:19 Do 27.11.2014 | | Autor: | andyv |
Ich habe auch geschrieben, dass es für [mm] $s\ge [/mm] 2$ keine integrierbare Majorante gibt.
Vielleicht liest du dir erst mal durch und überlegst dir dann, wieso dies so ist.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:28 Do 27.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Dann scheinen wir schon eine Weile aneinander vorbei zu reden.
Du hast einmal geschrieben:
"Natürlich ist sie integrierbar für s=2, es ist ja sogar $ [mm] f_k\in [/mm] C([0,1]) $ für jedes k und jedes s. "
Das habe ich so aufgefasst, dass die Funktionenfolge für beliebiges k und s eine integrierbare Majorante hat.
Die Funktionenfolge hat also nur für [mm] s\leq [/mm] 2 eine integrierbare Majorante, wobei k beliebig groß werden darf?
Und für s>2 gibt es keine solche Majorante, da das Integral unbeschränkt wäre, also nicht integrierbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:53 Fr 28.11.2014 | | Autor: | andyv |
> Dann scheinen wir schon eine Weile aneinander vorbei zu
> reden.
> Du hast einmal geschrieben:
>
> "Natürlich ist sie integrierbar für s=2, es ist ja sogar
> [mm]f_k\in C([0,1])[/mm] für jedes k und jedes s. "
>
> Das habe ich so aufgefasst, dass die Funktionenfolge für
> beliebiges k und s eine integrierbare Majorante hat.
Nein!
>
> Die Funktionenfolge hat also nur für [mm]s\leq[/mm] 2 eine
> integrierbare Majorante, wobei k beliebig groß werden
> darf?
Nein, für s=2 gibt es keine integrierbare Majorante.
Def.: Gibt es ein $g [mm] \in \mathcal{L}$, [/mm] sodass für ALLE k gilt: [mm] $f_k\le [/mm] g$, so heißt g eine integrierbare Majorante für [mm] $(f_k)$
[/mm]
> Integral unbeschränkt wäre, also nicht integrierbar.
Integral unbeschränkt? Welches Integral? Nochmal: [mm] $(f_k)$ [/mm] ist integrierbar für alle s und k. Für s>2 kann es keine integrierbare Majorante geben, weil [mm] $\lim\limits_{k \to \infty}f_k(x)=\infty$ [/mm] für alle x.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:14 Fr 28.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Ok, also die Funktionenfolge ist für alle s und k integrierbar, weil ich eine Stammfunktion angeben kann.
Aber es gibt nur für s<2 eine integrierbare Majorante, welche dann für alle k gilt. Habe ich das jetzt richtig verstanden?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:01 Sa 29.11.2014 | | Autor: | andyv |
Ich schätze schon. Dir sollte aber bewusst sein, dass die Aussage
>...
> welche dann für alle k gilt.
nicht wirklich Sinn macht.
Liebe Grüße
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http://de.wikipedia.org/wiki/Lebesgue-Integral#Integration_beliebiger_messbarer_Funktionen_und_Integrierbarkeit