pktw. Konvergenz/ glm. Konverg < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:03 Sa 13.04.2013 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Sei [mm] $x\in\mathbb{R}$.
[/mm]
Ist [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{x^2}{(1+x^2)^k}$
[/mm]
a) punktweise
b) gleichmäßig konvergent? |
Hey.
Puntweise ist ja klar, denn die Folge der Partialsummen [mm] $(f_n(x))_{n\geq 0}=\left(\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{x^2}{(1+x^2)^k}\right)_{n\geq 0}$
[/mm]
konvergiert für jedes [mm] $x\in\mathbb{R}$ [/mm] gegen [mm] $f(x):=\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{x^2}{(1+x^2)^k}=1+x^2$ [/mm] (geometrische Reihe).
Wie aber sieht's mit der gleichmäßigen Konvergenz aus?
Gibt's ein [mm] $n_0\in\mathbb{N}$, [/mm] sodaß
[mm] $\left\lvert\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}\frac{x^2}{(1+x^2)^k}\right\rvert<\varepsilon$
[/mm]
für [mm] $n\geq n_0$ [/mm] und für beliebiges [mm] $x\in\mathbb{R}$ [/mm] und beliebiges [mm] $\varepsilon [/mm] >0$?
Krieg das nicht gezeigt oder widerlegt.
Kann mir jemand helfen?
Viele Grüße
mikexx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:13 Sa 13.04.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
benutze die Darstellung $ [mm] f_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{x^2}{(1+x^2)^k} [/mm] = [mm] 1+x^2-\bruch{1}{(1+x^2)^n} [/mm] $ um zu zeigen, dass [mm] |f_n(x)-f(x)|=\bruch{1}{(1+x^2)^n} [/mm] für x-Werte in der Nähe von 0 nicht unabhängig von n kleiner als vorgegebenes [mm] \epsilon [/mm] gemacht werden kann.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:23 Sa 13.04.2013 | | Autor: | mikexx |
Hallo, Sax!
Danke für die Antwort.
Wie ergibt sich
> [mm]f_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{x^2}{(1+x^2)^k} = 1+x^2-\bruch{1}{(1+x^2)^n}[/mm]
?
Das ist mir noch nicht klar.
Klar ist mir:
[mm] $f_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{x^2}{(1+x^2)^k}=\sum\limits_{k\geq 0}\frac{x^2}{(1+x^2)^k}-\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}\frac{x^2}{(1+x^2)^k}=1+x^2-\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}\frac{x^2}{(1+x^2)^k}$
[/mm]
Viele Grüße, mikexx
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Sa 13.04.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
das ergibt sich doch aus der geometrischen Reihe [mm] \summe_{k=0}^{n}q^k [/mm] = [mm] \bruch{1-q^{n+1}}{1-q}
[/mm]
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 Sa 13.04.2013 | | Autor: | mikexx |
Danke!
Noch eine Frage.
Die Grenzfunktion stimmt doch so gar nicht, oder?
Für $x=0$ ist sie 1, sie muss aber 0 sein...
Gibts noch mehr Sonderfälle?
Oder stimmt:
[mm] $f(x)=\begin{cases}0, & x=0\\ 1+x^2, & \mbox{sonst}\end{cases}$?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 Sa 13.04.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
da hast du selbstverständlich Recht, denn für q=1 stimmt die Summenformel natürlich nicht.
Gruß Sax.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:24 So 14.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke!
>
> Noch eine Frage.
>
> Die Grenzfunktion stimmt doch so gar nicht, oder?
>
> Für [mm]x=0[/mm] ist sie 1, sie muss aber 0 sein...
>
> Gibts noch mehr Sonderfälle?
>
>
> Oder stimmt:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases}0, & x=0\\ 1+x^2, & \mbox{sonst}\end{cases}[/mm]?
na, wenn dem so ist, dann bedenke: Konvergiert eine Funktionenfolge
[mm] ${(f_n)}_n$ [/mm] STETIGER Funktionen glm. auf [mm] $D\,$ [/mm] gegen [mm] $f\,,$ [/mm] so ist [mm] $f\,$ [/mm] stetig (auf [mm] $D\,$).
[/mm]
Eine "Reihe" ist nur "eine spezielle Folge" (die Folge der zugehörigen
Partialsummen)... entsprechendes gilt für "Funktionenreihen"!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:07 So 14.04.2013 | | Autor: | mikexx |
Cool, danke.
Schon an der Unstetigkeit der [nun korrigierten] Grenzfunktion sieht man ja, daß gleichmäßige Konvergenz hier unmöglich ist.
Aber ich finde den direkten Beweis von Dir sehr viel schöner!
Wähle dann also z.B. $x=0$, dann hat man nach obiger Rechnung
[mm] $\lvert f(x)-f_n(x)\rvert=\frac{1}{(1+x^2)^n}=1$
[/mm]
und dies ist natürlich nicht unter beliebiges Epsilon zu bringen.
Edit: Du hattest oben aus Versehen geschrieben "unabhängig von n", aber es war wohl "unabhängig von x" gemeint.
Sollte jetzt abgehakt sein.
Nochmal sehr vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:17 So 14.04.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
>
> Wähle dann also z.B. [mm]x=0[/mm], dann hat man nach obiger
> Rechnung
>
> [mm]\lvert f(x)-f_n(x)\rvert=\frac{1}{(1+x^2)^n}=1[/mm]
>
> und dies ist natürlich nicht unter beliebiges Epsilon zu
> bringen.
>
Das stimmt dann ja auch nicht, denn für x=0 ist [mm] f_n(x)=0 [/mm] und f(x)=0 und [mm] |f_n(x) [/mm] - f(x)| ist kleiner als jedes positive [mm] \epsilon.
[/mm]
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:24 So 14.04.2013 | | Autor: | mikexx |
> Das stimmt dann ja auch nicht, denn für x=0 ist [mm]f_n(x)=0[/mm]
> und f(x)=0 und [mm]|f_n(x)[/mm] - f(x)| ist kleiner als jedes
> positive [mm]\epsilon.[/mm]
>
> Gruß Sax.
Hm, stimmt.
Wie meintest Du das dann mit dem "nahe bei 0"?
In der allerersten Antwort von Dir?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:31 So 14.04.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
ich meinte, dass je näher x bei 0 liegt, desto größer muss [mm] n_0 [/mm] gewählt werden (und zwar ohne obere Schranke), damit [mm] |f_n(x) [/mm] - f(x)| < [mm] \epsilon [/mm] für alle n > [mm] n_0 [/mm] gewährleistet werden kann.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:48 So 14.04.2013 | | Autor: | mikexx |
Aber was ist schlimm daran, wenn man [mm] $n_0$ [/mm] immer größer wählen muss? Hauptsache es gibt doch ein [mm] $n_0$?
[/mm]
------------------
Mein Versuch:
Die problematische Stelle scheint ja bei $x=0$ zu liegen.
Also lasse man $x$ beliebig nahe an 0 gehen, also man betrachte etwa
$x=1/n$.
Wenn man das dafür mal einsetzt hat man ja
[mm] $\lvert f(x)-f_n(x)\rvert [/mm] = [mm] \frac{1}{(1+\frac{1}{n^2})^n}$
[/mm]
Mag sein, daß ich wieder was falsch sehe, aber dann lasse man doch n gegen unendlich laufen, dann kommt da doch 1 raus, was eben nicht kleiner jedem beliebigen Epsilon ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:10 So 14.04.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Aber was ist schlimm daran, wenn man [mm]n_0[/mm] immer größer
> wählen muss?
Das "Schlimme" ist, dass dann eben keine gleichmäßige Konvergenz mehr vorliegt, wenn [mm] n_0 [/mm] von x abhängig ist.
> Hauptsache es gibt doch ein [mm]n_0[/mm]?
Dann liegt eben immerhin noch punktweise Konvergenz vor.
Gruß Sax.
PS : Ich muss jetzt für heute Schluss machen.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:13 So 14.04.2013 | | Autor: | mikexx |
Stimmt, es muss ja EIN [mm] n_0 [/mm] geben.... und dieses muss für ALLE x genügen.
Jetzt leuchtet es mir ein!
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Was sagst du zu "meinem" Beweis mit speziell gewähltem x=1/n?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:37 So 14.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Stimmt, es muss ja EIN [mm]n_0[/mm] geben.... und dieses muss für
> ALLE x genügen.
eben - nicht für jedes [mm] $x\,$ [/mm] muss es ein [mm] $n_0$ [/mm] geben (das würde [mm] $n_0=n_0(x)$ [/mm] "erlauben"),
sondern es muss ein (man sagt dann auch: (bzgl. [mm] $x\,$) [/mm] 'universelles') [mm] $n_0$
[/mm]
für alle [mm] $x\,$ [/mm] geben.
Und strenggenommen muss man das, was Sax meinte, auch so sagen:
Wenn Du "nur" - auch wieder sehr grob gesagt: sowas wie [mm] $n_0=n_0(x)\,$ [/mm]
gefunden hast - dann REICHT das so eben noch nicht für die gleichmäßige,
sondern nur für die pktw. Konvergenz. Es zeigt aber noch nicht, dass nicht
auch glm. Kgz. vorliegen kann - vielleicht warst Du beim Abschätzen zu
grob, hast nicht lange genug gesucht oder oder oder...
Allgemein: Schreib' Dir mal ausführlich die Negierung davon auf, was es
bedeutet, dass eine Funktionenfolge [mm] ${(f_n)}_n$ [/mm] nicht glm. konvergent
ist: "Es gibt ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ so, dass..."
Ferner: Es gibt auch eine Charakterisierung, an der man erkennt, wann
eine Funktionfolge nicht glm. kgt. ist, ohne mit einer potentiellen
Grenzfunktion zu arbeiten. ("Cauchyfolgen bzgl. Supremumsnorm", wenn
das noch nicht bekannt ist, verlinke ich Dir das gerne!)
Und beachte auch: glm. Kgz. impliziert pktw., und insbesondere stimmen
die Grenzfunktionen dann überein. (Warum eigentlich?) D.h., wenn eine
Funktionenfolge glm. konvergent ist, dann kann sie auch nur glm. gegen
die Grenzfunktion konvergieren, gegen die sie punktweise konvergiert.
Deswegen: Wenn man glm. Konvergenz "mit Grenzfunktion" prüfen will,
so prüft man erstmal, ob die Funktionenfolge überhaupt pktw. konvergiert.
Tut sie das nicht, so kgt. sie sicherlich nicht glm. - konvergiert sie pktw.,
so ist "diese Grenzfunktion der einzige potentielle Kandidat, gegen den
die Funktionenfolge auch glm. konvergieren kann!"
>
> Jetzt leuchtet es mir ein!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> ----
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> Was sagst du zu "meinem" Beweis mit speziell gewähltem
> x=1/n?
Das überlasse ich mal Sax, oder anderen... bin gerade faul ^^ 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Di 16.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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