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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:15 So 02.11.2008 | | Autor: | Lara102 |
hallo,
wie bekomme ich denn heraus, ob eine polstelle mit oder ohne VZW vorliegt??
das verfahren, das unser buch vorschlägt - nämlich auf den grad der potenzen zu achten - funktioniert irgendwie nicht immer..
liebe grüße lara
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Hallo!
ich verstehe nicht ganz, was du mit dem grad der Potenz meinst. Normalerweise macht man doch eine Linearfaktorzerlegung von Zähler und Nenner. Auf die Potenzen zu achten, ist dabei nur eine Sache. Ich geb mal ein Beispiel:
[mm] y=\frac{(4-x)(2+x)(6+x)}{(3-x)(4-x)(6+x)^2}
[/mm]
Die Stelle x=3 ist einfach:
[mm] \frac{(+)(+)(+)}{(+\mapsto-)(+)(+)^2} [/mm] also [mm] $+\mapsto [/mm] -$
Die Polstelle bei x=4 kürzt sich raus:
[mm] y=\frac{(2+x)(6+x)}{(3-x)(6+x)^2}
[/mm]
[mm] \frac{(+)(+)}{(-)(+)^2}
[/mm]
Die Funktion ist und bleibt also negativ, und es gibt auch gar keinen Pol. Dennoch hast du hier eine Definitionslücke, denn x=4 darfst du in die ursprüngliche Formel nicht einsetzen. Es ist eine stetig hebbare Lücke, weil man sie ja einfach beheben könnte.
Jetzt vermutlich zu deinem Problem, x=-6:
[mm] y=\frac{(2+x)(6+x)}{(3-x)(6+x)^2}
[/mm]
Auch hier kürzt sich was raus:
[mm] y=\frac{(2+x)}{(3-x)(6+x)} [/mm]
und damit
[mm] \frac{(-)}{(+)(-\mapsto +)} [/mm] insgesamt also [mm] +\mapsto-
[/mm]
Ansonsten poste doch mal eins deiner Beispiele, wo das angeblich nicht klappt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 So 02.11.2008 | | Autor: | Lara102 |
hm.. ich glaube das war nicht das was ich gemeint habe..
[mm] f(x)=\bruch{x+4}{x^{2}+3x-4}
[/mm]
wenn man das in linearfaktoren zerlegt erhält man doch:
[mm] f(x)=\bruch{x+4}{(x-1)(x+4)}
[/mm]
so an der stelle x=-4 befindet sich eine definitionslücke - die lass ich jetzt außen vor
und an der stlle x=1 befindet sich ein pol.
allerdings ist mir nicht so klar wie ich entscheide ob es ein pol mit oder ohne VZW ist.
im buch steht dazu: je nachdem ob die hochzahl n gerade oder ungerade ist, nähert sich der graph von f der asymptote (in dem fall x=1) gleichsinnig oder in entgegengesetzter richtung an --> pol mit / oder VZW.
in dem oben genannten beispiel funktioniert das ja aber mal gar nicht.
unser lehrer meinte dann: lässt sich der nenner nicht als linearprodukt (zb: (x-2)(x-5) oder (x-6)(x+9)) schreiben, dannn liegt ein pol mit VZW vor..
nun lässt sich doch aber mein oben genannter nenner als linearprodukt schreiben und dennoch liegt ein pol MIT vzw vor..
das ist mein problem^^
lara
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also normalerweise ist es so, dass wenn im nenner Klammern eifach vorkommen wie zB (x-6)(x+9) dann haben beide Pole ein Vorzeichenwechsel!
wenn aber so was vorkommt [mm] (x-6)^2*(x+9) [/mm] dann hat der Polo bei 6 keinen Vorzeichenwechsel der bei -9 schon!
Das heißt wenn Du beim zerlegen in klammern eine Klammer hoch n hast dann hat der zugehörige Pol für ungerade n VZW und für gerade keinen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 So 02.11.2008 | | Autor: | Lara102 |
heißt dass, das ein pol ohne VZW vorliegt, sobald es eine doppelte nullstelle des nenners ist? [mm] (x-6)^{2} [/mm] kann man ja auch als (x-6)*(x-6) schreiben...
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ja genau weil überleg mal [mm] \limes_{x\rightarrow\6+} (x-6)^2=0+ [/mm]
genauso wie [mm] \limes_{x\rightarrow\6-} (x-6)^2=0+ [/mm] wegen dem Quadrat!
der rest der funktion ändert sich nicht ja nicht vom VZ her!
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