polynom mit komplexer ns < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:29 Di 26.06.2007 | | Autor: | bjoern.g |
| Aufgabe | [mm] 2x^3+2x^2+4x+4
[/mm]
so frage:
wieso kann ich das als faktorzerlegung auch so [mm] (x+1)(x^2+2)=...... [/mm] |
so frage:
wieso kann ich das als faktorzerlegung auch so [mm] (x+1)(x^2+2)=......
[/mm]
das ding hat doch 2 komplexe nullstellen das ist mir irgendwie nicht geläufig.....
kann mir das mal einer bitte erklären danke
|
|
| |
|
Hi Björn,
so wie's dasteht, ist's aber falsch.
Da fehlt ja der Vorfaktor 2, wenn du's ausmultiplizierst, siehste es.
bei [mm] 2x^3+2x^2+4x+4 [/mm] klammere zuerst 2 aus:
[mm] =2(x^3+x^2+2x+2)
[/mm]
Nullstellen davon:
falls es eine ganzzahlige NS gibt, so so ist sie ganzzahliger Teiler von dem Absolutglied, also von 2, hier also potentielle ganzzahlige NS [mm] \in\{\pm1,\pm2\}
[/mm]
-1 erraten oder ertestet und dann Polynomdivision
[mm] (x^3+x^2+2x+2):(x+1)=x^2+2
[/mm]
Also reelle Zerlegung: [mm] 2x^3+2x^2+4x+4=2(x+1)(x^2+2)
[/mm]
Im Komplexen gibts noch 2 NS von [mm] x^2+2, [/mm] nämlich:
[mm] x^2+2=0\gdw x^2=-2\gdw x^2=i^2\cdot{}2\mid\sqrt{}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x=i\cdot{}\pm\sqrt{2}
[/mm]
Also [mm] x^2+2=(x-\sqrt{2}i)(x+\sqrt{2}i)
[/mm]
Damit haste ne komplette lineare Zerlegung im Komplexen:
[mm] 2x^3+2x^2+4x+4=2(x+1)(x-\sqrt{2}i)(x+\sqrt{2}i)
[/mm]
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Di 26.06.2007 | | Autor: | bjoern.g |
Es gilt z(x) = (x + [mm] 1)(x^2 [/mm] + 2). Jede komplexe Nullstelle von z(x) .
ist also eine Nullstelle eines der beiden Faktoren. Die Nullstelle von x + 1 ist z0 := −1.
Die Nullstellen von [mm] x^2 [/mm] + 2 sind z1 = [mm] \wurzel{2j} [/mm] und z2 = [mm] -\wurzel{2j}.
[/mm]
Die Darstellung in der Gaußschen Zahlenebene ist klar.
musterlösung vom prof
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 Di 26.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was ist jetzt noch die Frage? ausser dass j nicht mit unter der Wurzel stehen darf!
und wenn eine komplexe Zahl lösung von [mm] z^2+az+b=0 [/mm] ist, dann auch ihre konjugiert komplexe.
Wenn also noch was unklar ist frag das genau nach!
Gruss leduart
|
|
|
|
