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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Mi 22.02.2006 | | Autor: | squeezer |
| Aufgabe | Zeigen oder wiederlegen Sie:
a) Jede symmetrische Matrix ist positiv definit.
b) Jede positiv definite Matrix ist symmetrisch. |
Hallo
also beim durcharbeiten von Altklausuren bin ich auf diese Aufgabe gestossen, hab allerdings nicht wirklich eine Ahnung wie ich an das Problem herangehen soll.
Ich hab gehört dass ich das anscheinend irgendwie mit Skalarprodukten beweisen kann, mir ist allerdings nicht klar wie.
Vielen dank für eure Hilfe
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Hi,
zu a) [mm]\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}[/mm] ist eine Diagonalmatrix, also symmetrisch, aber nicht positiv definit, da die Eigenwerte (stehen bei einer Diag.-Matrix auf der Diagonalen) nicht alle positiv sind! Also widerlegt.
zu b) Zunächst ist in der Literatur meist nur von symmetrischen positiv definiten Matrizen die Rede, da meist nur für symmetrische Matrizen die positive Definitheit definiert wird. Es geht hier im Wesentlichen um symmetrische Bilinearformen.
Natürlich kann man quadratische Formen auch über nicht-symmetrische Matrizen definieren, man hat dann aber immer [mm] x^tAx=\frac{1}{2}x^t(A+A^t)x[/mm], wobei [mm]A+A^t[/mm] symmetrisch ist. Geht man nach dem Eigenwertkriterium (alle Eigenwerte positiv), so ist sicher die Matrix [mm]\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}[/mm] positiv definit, es gilt aber [mm]\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}^t\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=0[/mm], also ist die Matrix nach dem Kriterium positiv semidefinit.
Viele Grüße,
Raphael.
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Hallo uncledoc,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Das von Dir verwendete gilt doch nur für symmetrische pos. definite Matrizen oder?
Bsp.:
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 } [/mm] ist pos. definit wegen
[mm] \vektor{x \\ y}^T\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }\vektor{x \\ y}=x^2+ 2xy+y^2=(x+y)^2>0
[/mm]
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:03 Do 23.02.2006 | | Autor: | uncledoc |
Hallöchen auch und Danke für den Willkommensgruß,
deine Matrix ist aber wohl eher positiv semidefinit, denn für x=-1, y=1 kommt ja 0 raus. Ich suche aber noch. Du hast natürlich recht damit, dass man "symmetrische" positiv definite Matrizen extra auszeichnet, da muss es also ein anderes Beispiel geben.
Grüße in die Nacht,
Raphael.
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Hallo Raphael,
Ja da stimmt mein Bsp. noch nicht. Aber mit
[mm] \pmat{ 2 & 2 \\ 0 & 2 } [/mm]
[mm]\vektor{x \\ y}^T\pmat{ 2 & 2 \\ 0 & 2 }\vektor{x \\ y}=2x^2+ 2xy+2y^2=x^2 + (x+y)^2+y^2>0[/mm]
sollte es gehen.
viele Grüße
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:45 Do 23.02.2006 | | Autor: | squeezer |
hmm cool, vielen Dank für eure Hilfe...
Ich hätte so vom Feeling her gedacht b wäre wahr :) so kann man sich irren.
Danke für die 2 Gegenbeispiele ;)
Marc
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