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positiv definitheit: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:40 Mo 05.06.2006
Autor: Arnbert

Hallo brauche mal hilfe bei folgendem beweis:Also B ist aus M(mxn,R) und A =  [mm] \pmat{ E_{m} & B \\ B^{t} & E_{n}} [/mm]
Wie kann ich folgern dass aus A ist positiv definit folgt, dass  [mm] E_{n} [/mm] - [mm] B^{t}*B [/mm] ist positiv definit?
Hoffe mir kann wer zeigen wie man das hier macht...
danke mikke


        
Bezug
positiv definitheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:29 Mo 05.06.2006
Autor: AgentLie

Eine Matrix [mm] (a_{ij})_{i,j\in{1,\ldots,n}} [/mm] ist genau dann positiv definit, wenn jede Teilmatrix [mm] (a_{ij})_{i,j\in{1,\ldots,k}} [/mm] für [mm] k=1,\ldots [/mm] n eine positive Determinante hat.

Edit: Hilft hier glaube ich doch nicht...

Bezug
                
Bezug
positiv definitheit: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:16 Di 06.06.2006
Autor: Arnbert

Nicht?wie kann ich hier dann zum beweis kommmen?
gruß arnbert

Bezug
                        
Bezug
positiv definitheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:40 Di 06.06.2006
Autor: mathiash

Hallo und guten Tag,

es ist ja eine symmetrische Matrix positiv definit genau dann, wenn alle Eigenwerte der Matrix positiv sind.

Probieren wir es damit:

(1) Wenn [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von [mm] E_n-B^TB [/mm] ist, so ist [mm] 1-\lambda [/mm] Eigenwert von B^TB (durch Hinschreiben der Eigenwert-Eigenschaft).

(2) Betrachten wir Eigenwerte [mm] \lambda [/mm] von A:

[mm] A\cdot \vektor{x\\y} =\vektor{\lambda x\\ \lambda y} [/mm]    - wir rechnen die linke Seite aus:

[mm] \vektor{x+By\\ B^Tx+y}=\vektor{\lambda x\\ \lambda y}\:\:\: (\star) [/mm]

das ergibt zwei Gleichungen:

[mm] \lambda [/mm] x = x+By

[mm] \lambda [/mm] y= B^Tx+y

Lös nun eine der beiden nach y auf und setz das in die andere ein, dann vergleiche das Resultat mit  [mm] (\star). [/mm]

Viel Erfolg,

Mathias

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