positive Definitheit < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:08 Mo 01.10.2012 | | Autor: | lisa2802 |
| Aufgabe | Es sei A = [mm] [a_{ij}] \in Mat_{nxn}(\IR) [/mm] eine symmetrische und positive definite nxn Matrix. Zeigen Sie
[mm] \summe_{i,j=1}^{n} a_{ij} [/mm] > 0 |
Hallo,
ich benötige mal wieder eine Beweisidee. Ich weiß einfach nicht wie ich das zeigen soll.
Damit eine Matrix positiv definit ist, müssen die Eigenwerte alle größer 0 sein.
aber wie wende ich das an???
gruß lisa2802
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 Mo 01.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei A = [mm][a_{ij}] \in Mat_{nxn}(\IR)[/mm] eine symmetrische
> und positive definite nxn Matrix. Zeigen Sie
> [mm]\summe_{i,j=1}^{n} a_{ij}[/mm] > 0
> Hallo,
> ich benötige mal wieder eine Beweisidee. Ich weiß
> einfach nicht wie ich das zeigen soll.
>
> Damit eine Matrix positiv definit ist, müssen die
> Eigenwerte alle größer 0 sein.
> aber wie wende ich das an???
es gilt die Charakterisierung, dass eine Matrix [mm] $A\,$ [/mm] (wie oben) genau
dann positiv definit ist, wenn gilt
[mm] $$(\*)\;\;\;x^T [/mm] A x > 0 [mm] \text{ für alle }x \in \IR^n \setminus \{0\}$$
[/mm]
(letztes ist die $0 [mm] \in \IR^n$.)
[/mm]
Was ist nun [mm] $\sum_{i,j=1}^n a_{ij}$? [/mm] Das ist die Summe über alle
Matrixeinträge! (Derer hat's [mm] $n^2\,.$)
[/mm]
Warum hilft diese Überlegung? Naja, man kann sich überlegen, wie
man mit "Matrix mal (geeigneter) Vektor" die Zeilensummen einer Matrix
in einen Vektor schreibst, bzw., wie man mit "(geeigneter) transponierter
Vektor mal Matrix 'analoges für Spaltensummen' macht."
Teste mal, was für $n=2$ nun
[mm] $$(1,1)*A*\red{\vektor{1\\1}}$$
[/mm]
ergibt.
Danach berechne mal
[mm] $$(1,1,1)*\pmat{a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33} }*\red{\vektor{1 \\ 1 \\ 1}}$$
[/mm]
Verallgemeinere das und beweise Deine Behauptung!
Wie kann man also für beliebiges [mm] $n\,,$ [/mm] indem man in [mm] $(\*)$ [/mm] ein
spezielles [mm] $\red{x} \in \IR^n \setminus \{0\}$ [/mm] (beachte, dass [mm] $x\,$ [/mm]
von [mm] $n\,$ [/mm] abhängt!) wählt (welches wohl?), nun
direkt die Behauptung folgern?
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:34 Di 02.10.2012 | | Autor: | fred97 |
Mit Verlaub: eine Idee ist doch gar nicht nötig. Du brauchst nur die Definition von "pos. definit":
A ist pos. definit [mm] \gdw [/mm] $ [mm] \summe_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j [/mm] >0 $ für alle [mm] (x_1,...,x_n)^T \in \IR^n [/mm] \ { 0 }.
Nun ist es doch mehr als naheliegend, wie man die [mm] x_i [/mm] wählen muß, um das Gewünschte zu bekommen.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:36 Di 02.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Mit Verlaub: eine Idee ist doch gar nicht nötig. Du
> brauchst nur die Definition von "pos. definit":
>
> A ist pos. definit [mm]\gdw[/mm] [mm]\summe_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j >0[/mm]
> für alle [mm](x_1,...,x_n)^T \in \IR^n[/mm] \ { 0 }.
da hast Du recht - man sollte sich dieses
[mm] $$x^T [/mm] A x$$
echt mal in Deiner Form aufschreiben!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Di 02.10.2012 | | Autor: | lisa2802 |
Hallo,
danke für eure schnellen Antworten.
Marcels Definiton kennen wir auch.
Ich habe trotzdem noch ein paar Probleme.
wenn ich wie von Marcel angedacht mir gedanken über 2x2 bzw 3x3 mache und dann über nxn :
(1, 1)* [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }* \vektor{1 \\ 1} [/mm] = a+b+c+d ( 2x2 also [mm] n^{2} [/mm] = 4)
für 3x3 [mm] (n^{2} [/mm] = 9)
(1, 1, 1)* [mm] \pmat{ a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i}* \vektor{1 \\ 1 \\ 1}= [/mm] a+b+c+d+e+f+g+h+i
also die summer aller EIntrage und diese muss größer 0 sein.
für beliebiges x [mm] \in \IR^{n}\ [/mm] {0} zb in 2x2:
[mm] (x_{1}, x_{2})* \pmat{ a & b \\ c & d }* \vektor{x_{1} \\ x_{2}}
[/mm]
= [mm] x_{1}^{2}*a [/mm] + [mm] x_{1}x_{2}(b+c) [/mm] + [mm] x_{2}^{2}*d
[/mm]
analog zu 3x3...nxn
trotzdem habe ich probleme daraus was zu schlussfolgern und mit Freds angabe komm ich dooferweise gar nicht weiter.
lisa2802
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:09 Di 02.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> danke für eure schnellen Antworten.
> Marcels Definiton kennen wir auch.
>
> Ich habe trotzdem noch ein paar Probleme.
>
> wenn ich wie von Marcel angedacht mir gedanken über 2x2
> bzw 3x3 mache und dann über nxn :
>
> (1, 1)* [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }* \vektor{1 \\ 1}[/mm] = a+b+c+d
> ( 2x2 also [mm]n^{2}[/mm] = 4)
>
> für 3x3 [mm](n^{2}[/mm] = 9)
> (1, 1, 1)* [mm]\pmat{ a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i}* \vektor{1 \\ 1 \\ 1}=[/mm]
> a+b+c+d+e+f+g+h+i
>
> also die summer aller EIntrage und diese muss größer 0
> sein.
>
>
>
> für beliebiges x [mm]\in \IR^{n}\[/mm] {0} zb in 2x2:
> [mm](x_{1}, x_{2})* \pmat{ a & b \\ c & d }* \vektor{x_{1} \\ x_{2}}[/mm]
>
> = [mm]x_{1}^{2}*a[/mm] + [mm]x_{1}x_{2}(b+c)[/mm] + [mm]x_{2}^{2}*d[/mm]
> analog zu 3x3...nxn
> trotzdem habe ich probleme daraus was zu schlussfolgern
Komisch.....
Wie geht das denn allgemein ? So:
Sei [mm] x=(1,1,...,1)^T \in \IR^n.
[/mm]
Dann ist doch
$0<x^TAx= [mm] \summe_{i,j=1}^{n} a_{ij} [/mm] $
Steiler als die Steilvorlage von Marcel kann doch eine Vorlage nicht sein !
> und mit Freds angabe komm ich dooferweise gar nicht
> weiter.
Was ist ??? Wie habt Ihr denn "positiv definit" definiert ?
FRED
>
> lisa2802
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:25 Di 02.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Hallo,
> >
> > danke für eure schnellen Antworten.
> > Marcels Definiton kennen wir auch.
> >
> > Ich habe trotzdem noch ein paar Probleme.
> >
> > wenn ich wie von Marcel angedacht mir gedanken über 2x2
> > bzw 3x3 mache und dann über nxn :
> >
> > (1, 1)* [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }* \vektor{1 \\ 1}[/mm] = a+b+c+d
> > ( 2x2 also [mm]n^{2}[/mm] = 4)
> >
> > für 3x3 [mm](n^{2}[/mm] = 9)
> > (1, 1, 1)* [mm]\pmat{ a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i}* \vektor{1 \\ 1 \\ 1}=[/mm]
> > a+b+c+d+e+f+g+h+i
> >
> > also die summer aller EIntrage und diese muss größer 0
> > sein.
> >
> >
> >
> > für beliebiges x [mm]\in \IR^{n}\[/mm] {0} zb in 2x2:
> > [mm](x_{1}, x_{2})* \pmat{ a & b \\ c & d }* \vektor{x_{1} \\ x_{2}}[/mm]
>
> >
> > = [mm]x_{1}^{2}*a[/mm] + [mm]x_{1}x_{2}(b+c)[/mm] + [mm]x_{2}^{2}*d[/mm]
> > analog zu 3x3...nxn
> > trotzdem habe ich probleme daraus was zu schlussfolgern
>
> Komisch.....
>
>
> Wie geht das denn allgemein ? So:
>
> Sei [mm]x=(1,1,...,1)^T \in \IR^n.[/mm]
>
> Dann ist doch
>
> [mm]0
>
> Steiler als die Steilvorlage von Marcel kann doch eine
> Vorlage nicht sein !
[mm] $\tan(\phi) \notin \IR$? [/mm] 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:48 Di 02.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lisa,
Fred hat ja eigentlich schon alles gesagt:
> Hallo,
>
> danke für eure schnellen Antworten.
> Marcels Definiton kennen wir auch.
>
> Ich habe trotzdem noch ein paar Probleme.
>
> wenn ich wie von Marcel angedacht mir gedanken über 2x2
> bzw 3x3 mache und dann über nxn :
>
> (1, 1)* [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }* \vektor{1 \\ 1}[/mm] = a+b+c+d
> ( 2x2 also [mm]n^{2}[/mm] = 4)
>
> für 3x3 [mm](n^{2}[/mm] = 9)
> (1, 1, 1)* [mm]\pmat{ a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i}* \vektor{1 \\ 1 \\ 1}=[/mm]
> a+b+c+d+e+f+g+h+i
>
> also die summer aller EIntrage und diese muss größer 0
> sein.
Und zwar INSBESONDERE!!
>
>
> für beliebiges x [mm]\in \IR^{n}\[/mm] {0} zb in 2x2:
> [mm](x_{1}, x_{2})* \pmat{ a & b \\ c & d }* \vektor{x_{1} \\ x_{2}}[/mm]
>
> = [mm]x_{1}^{2}*a[/mm] + [mm]x_{1}x_{2}(b+c)[/mm] + [mm]x_{2}^{2}*d[/mm]
Warum springst Du wieder zu beliebigen $x [mm] \in \IR^n \setminus \{0\}$ [/mm] zurück? Schau' doch
einfach mal, was für obige spezielle Wahl des [mm] $x\,,$ [/mm] ich schreibe einfach
mal ein wenig penibel [mm] $x_n:=(1,1,...,1)^T \in \IR^n$ [/mm] (wie gesagt: das
[mm] $x\,$ [/mm] hängt von [mm] $n\,$ [/mm] ab, aber hier ist doch [mm] $n\,$ [/mm] ein Parameter - d.h.
nach einer Wahl ($n [mm] \in \IN$) [/mm] ändert man [mm] $n\,$ [/mm] nicht mehr!) bei [mm] $x^T [/mm] A x$ rauskam, und was das insbesondere für obiges [mm] $x=x_n$ [/mm] bedeutet, wenn
[mm] $A\;$ [/mm] (die "Größe" einer solchen Matrix hängt übrigens auch von [mm] $n\,$ [/mm] ab!)
positiv definit ist.
> analog zu 3x3...nxn
> trotzdem habe ich probleme daraus was zu schlussfolgern
> und mit Freds angabe komm ich dooferweise gar nicht
> weiter.
[mm] $$\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_ix_j=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}\,,$$
[/mm]
wenn man [mm] $x_k=1$ [/mm] hat für [mm] $k=1,\,\ldots,\,n\,.$ [/mm] (Ist doch toll, dass
dann [mm] $a_{ij}x_ix_j=a_{ij}*1*1=a_{ij}$ [/mm] für alle [mm] $i,j=1,\;\ldots,n$ [/mm] ist!)
Fred wollte Dir quasi zeigen, wie man, ohne auch nur viel nachzudenken,
zu meiner Wahl des [mm] $x_n=(1,1,...,1)^T \in \IR^n$ [/mm] kommt - ohne sich noch Gedanken über irgendwelche Zeilen- oder Spaltensummen machen zu
müssen.
Mach' Dir übrigens mal klar, dass [mm] $\sum_{i,j=1}^n a_{ij}$ [/mm] überhaupt nur
hingeschrieben werden kann, weil die Addition kommutativ (und assoziativ)
ist. Strenggenommen bedeutet nämlich
[mm] $$\sum_{i,j=1}^n a_{ij}\,,$$
[/mm]
sofern es nicht irgendwo von Eurem Dozenten mal anders definiert
worden ist, eigentlich
[mm] $$\sum_{(i,j) \in \{1,...,n\} \times \{1,...,n\}=\{1,...,n\}^2} a_{i,j}\,.$$
[/mm]
Dann kann man sich aber schnell klarmachen, dass [mm] $\sum_{i,j=1}^n a_{ij}=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}=\sum_{\red{j}=1}^n \sum_{\blue{i=1}}^n a_{ij}$ [/mm] ist...
Und weil's Dir anscheinend immer noch unklar ist:
Berechne mal für Matrizen [mm] $\IR^n \ni A=\pmat{a_{11} & ...& a_{1n}\\...& ...& ...\\...& ...& ...\\ a_{n1} & ... & a_{nn}}$
[/mm]
sowohl
[mm] $$(\*)\;\;\;A*x_n$$
[/mm]
als auch
[mm] $$(\*\*)\;\;\;x_n^T \cdot [/mm] A$$
[mm] ($x_n\,$ [/mm] wie oben!) Du wirst sehen, dass bei [mm] $(\*)$ [/mm] ein Vektor des
[mm] $\IR^n$ [/mm] rauskommt, dessen [mm] $k\,$-te [/mm] Komponente/Zeile
($1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n$ natürlich) gerade die Summe der Einträge der [mm] $k\,$-ten [/mm]
Zeile von [mm] $A\,$ [/mm] beherbergt.
Analoges für die [mm] $k\,$-te [/mm] Komponente/Spalte des Zeilenvektors, der bei
[mm] $(\*\*)$ [/mm] rauskommt - nur werden hier die Spalteneinträge summiert.
Sowas muss man sich mal aufgeschrieben und nachgerechnet haben.
Wobei man übrigens auch [mm] $(\*\*)$ [/mm] aus [mm] $(\*)$ [/mm] mittels des
Transpositionsgesetzes
[mm] $$(A*B)^T=B^T*A^T$$
[/mm]
und einer kleinen Zusatzüberlegung - man benutzt halt in [mm] $(\*)$ [/mm] nicht
[mm] $A\,,$ [/mm] sondern [mm] $A^T\,,$ [/mm] nachdem man [mm] $(\*)$ [/mm] bewiesen hat - folgern kann!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:06 Mi 03.10.2012 | | Autor: | lisa2802 |
> Hallo Lisa,
>
> Fred hat ja eigentlich schon alles gesagt:
>
> > Hallo,
> >
> > danke für eure schnellen Antworten.
> > Marcels Definiton kennen wir auch.
> >
> > Ich habe trotzdem noch ein paar Probleme.
> >
> > wenn ich wie von Marcel angedacht mir gedanken über 2x2
> > bzw 3x3 mache und dann über nxn :
> >
> > (1, 1)* [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }* \vektor{1 \\ 1}[/mm] = a+b+c+d
> > ( 2x2 also [mm]n^{2}[/mm] = 4)
> >
> > für 3x3 [mm](n^{2}[/mm] = 9)
> > (1, 1, 1)* [mm]\pmat{ a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i}* \vektor{1 \\ 1 \\ 1}=[/mm]
> > a+b+c+d+e+f+g+h+i
> >
> > also die summer aller EIntrage und diese muss größer 0
> > sein.
>
> Und zwar INSBESONDERE!!
>
> >
> >
> > für beliebiges x [mm]\in \IR^{n}\[/mm] {0} zb in 2x2:
> > [mm](x_{1}, x_{2})* \pmat{ a & b \\ c & d }* \vektor{x_{1} \\ x_{2}}[/mm]
>
> >
> > = [mm]x_{1}^{2}*a[/mm] + [mm]x_{1}x_{2}(b+c)[/mm] + [mm]x_{2}^{2}*d[/mm]
>
> Warum springst Du wieder zu beliebigen [mm]x \in \IR^n \setminus \{0\}[/mm]
> zurück? Schau' doch
> einfach mal, was für obige spezielle Wahl des [mm]x\,,[/mm] ich
> schreibe einfach
> mal ein wenig penibel [mm]x_n:=(1,1,...,1)^T \in \IR^n[/mm] (wie
> gesagt: das
> [mm]x\,[/mm] hängt von [mm]n\,[/mm] ab, aber hier ist doch [mm]n\,[/mm] ein Parameter
> - d.h.
> nach einer Wahl ([mm]n \in \IN[/mm]) ändert man [mm]n\,[/mm] nicht mehr!)
> bei [mm]x^T A x[/mm] rauskam, und was das insbesondere für obiges
> [mm]x=x_n[/mm] bedeutet, wenn
> [mm]A\;[/mm] (die "Größe" einer solchen Matrix hängt übrigens
> auch von [mm]n\,[/mm] ab!)
> positiv definit ist.
>
> > analog zu 3x3...nxn
> > trotzdem habe ich probleme daraus was zu schlussfolgern
> > und mit Freds angabe komm ich dooferweise gar nicht
> > weiter.
>
> [mm]\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_ix_j=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}\,,[/mm]
> wenn
> man [mm]x_k=1[/mm] hat für [mm]k=1,\,\ldots,\,n\,.[/mm] (Ist doch toll,
> dass
> dann [mm]a_{ij}x_ix_j=a_{ij}*1*1=a_{ij}[/mm] für alle
> [mm]i,j=1,\;\ldots,n[/mm] ist!)
>
> Fred wollte Dir quasi zeigen, wie man, ohne auch nur viel
> nachzudenken,
> zu meiner Wahl des [mm]x_n=(1,1,...,1)^T \in \IR^n[/mm] kommt - ohne
> sich noch Gedanken über irgendwelche Zeilen- oder
> Spaltensummen machen zu
> müssen.
Okay anscheinend hab ich einfach nicht verstanden was ihr mir sagen wollt. SOrry aber ja ist klar.
>
> Mach' Dir übrigens mal klar, dass [mm]\sum_{i,j=1}^n a_{ij}[/mm]
> überhaupt nur
> hingeschrieben werden kann, weil die Addition kommutativ
> (und assoziativ)
> ist. Strenggenommen bedeutet nämlich
> [mm]\sum_{i,j=1}^n a_{ij}\,,[/mm]
> sofern es nicht irgendwo von
> Eurem Dozenten mal anders definiert
> worden ist, eigentlich
> [mm]\sum_{(i,j) \in \{1,...,n\} \times \{1,...,n\}=\{1,...,n\}^2} a_{i,j}\,.[/mm]
>
> Dann kann man sich aber schnell klarmachen, dass
> [mm]\sum_{i,j=1}^n a_{ij}=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}=\sum_{\red{j}=1}^n \sum_{\blue{i=1}}^n a_{ij}[/mm]
> ist...
>
> Und weil's Dir anscheinend immer noch unklar ist:
> Berechne mal für Matrizen [mm]\IR^n \ni A=\pmat{a_{11} & ...& a_{1n}\\...& ...& ...\\...& ...& ...\\ a_{n1} & ... & a_{nn}}[/mm]
>
> sowohl
> [mm](\*)\;\;\;A*x_n[/mm]
> als auch
> [mm](\*\*)\;\;\;x_n^T \cdot A[/mm]
>
> ([mm]x_n\,[/mm] wie oben!) Du wirst sehen, dass bei [mm](\*)[/mm] ein Vektor
> des
> [mm]\IR^n[/mm] rauskommt, dessen [mm]k\,[/mm]-te Komponente/Zeile
> ([mm]1 \le k \le n[/mm] natürlich) gerade die Summe der Einträge
> der [mm]k\,[/mm]-ten
> Zeile von [mm]A\,[/mm] beherbergt.
> Analoges für die [mm]k\,[/mm]-te Komponente/Spalte des
> Zeilenvektors, der bei
> [mm](\*\*)[/mm] rauskommt - nur werden hier die Spalteneinträge
> summiert.
Doch ist mir klar.
> Sowas muss man sich mal aufgeschrieben und nachgerechnet
> haben.
> Wobei man übrigens auch [mm](\*\*)[/mm] aus [mm](\*)[/mm] mittels des
> Transpositionsgesetzes
> [mm](A*B)^T=B^T*A^T[/mm]
> und einer kleinen Zusatzüberlegung - man benutzt halt in
> [mm](\*)[/mm] nicht
> [mm]A\,,[/mm] sondern [mm]A^T\,,[/mm] nachdem man [mm](\*)[/mm] bewiesen hat - folgern
> kann!
also ich verstehe was [mm] x^{t}*A*x [/mm] nur wie zeige ich dass das größer null ist? mit x [mm] \in x_n:=(1,1,...,1)^T \in \IR^n [/mm] verstehe ich auch ist auch klar.
ich weiß einfach nicht wie ich zeige dass es größer null ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:58 Mi 03.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo Lisa,
> >
> > Fred hat ja eigentlich schon alles gesagt:
> >
> > > Hallo,
> > >
> > > danke für eure schnellen Antworten.
> > > Marcels Definiton kennen wir auch.
> > >
> > > Ich habe trotzdem noch ein paar Probleme.
> > >
> > > wenn ich wie von Marcel angedacht mir gedanken über 2x2
> > > bzw 3x3 mache und dann über nxn :
> > >
> > > (1, 1)* [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }* \vektor{1 \\ 1}[/mm] = a+b+c+d
> > > ( 2x2 also [mm]n^{2}[/mm] = 4)
> > >
> > > für 3x3 [mm](n^{2}[/mm] = 9)
> > > (1, 1, 1)* [mm]\pmat{ a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i}* \vektor{1 \\ 1 \\ 1}=[/mm]
> > > a+b+c+d+e+f+g+h+i
> > >
> > > also die summer aller EIntrage und diese muss größer 0
> > > sein.
> >
> > Und zwar INSBESONDERE!!
> >
> > >
> > >
> > > für beliebiges x [mm]\in \IR^{n}\[/mm] {0} zb in 2x2:
> > > [mm](x_{1}, x_{2})* \pmat{ a & b \\ c & d }* \vektor{x_{1} \\ x_{2}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > = [mm]x_{1}^{2}*a[/mm] + [mm]x_{1}x_{2}(b+c)[/mm] + [mm]x_{2}^{2}*d[/mm]
> >
> > Warum springst Du wieder zu beliebigen [mm]x \in \IR^n \setminus \{0\}[/mm]
> > zurück? Schau' doch
> > einfach mal, was für obige spezielle Wahl des [mm]x\,,[/mm] ich
> > schreibe einfach
> > mal ein wenig penibel [mm]x_n:=(1,1,...,1)^T \in \IR^n[/mm] (wie
> > gesagt: das
> > [mm]x\,[/mm] hängt von [mm]n\,[/mm] ab, aber hier ist doch [mm]n\,[/mm] ein Parameter
> > - d.h.
> > nach einer Wahl ([mm]n \in \IN[/mm]) ändert man [mm]n\,[/mm] nicht
> mehr!)
> > bei [mm]x^T A x[/mm] rauskam, und was das insbesondere für obiges
> > [mm]x=x_n[/mm] bedeutet, wenn
> > [mm]A\;[/mm] (die "Größe" einer solchen Matrix hängt
> übrigens
> > auch von [mm]n\,[/mm] ab!)
> > positiv definit ist.
> >
> > > analog zu 3x3...nxn
> > > trotzdem habe ich probleme daraus was zu
> schlussfolgern
> > > und mit Freds angabe komm ich dooferweise gar nicht
> > > weiter.
> >
> > [mm]\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_ix_j=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}\,,[/mm]
> >
> wenn
> > man [mm]x_k=1[/mm] hat für [mm]k=1,\,\ldots,\,n\,.[/mm] (Ist doch toll,
> > dass
> > dann [mm]a_{ij}x_ix_j=a_{ij}*1*1=a_{ij}[/mm] für alle
> > [mm]i,j=1,\;\ldots,n[/mm] ist!)
> >
> > Fred wollte Dir quasi zeigen, wie man, ohne auch nur viel
> > nachzudenken,
> > zu meiner Wahl des [mm]x_n=(1,1,...,1)^T \in \IR^n[/mm] kommt - ohne
> > sich noch Gedanken über irgendwelche Zeilen- oder
> > Spaltensummen machen zu
> > müssen.
>
> Okay anscheinend hab ich einfach nicht verstanden was ihr
> mir sagen wollt. SOrry aber ja ist klar.
>
> >
> > Mach' Dir übrigens mal klar, dass [mm]\sum_{i,j=1}^n a_{ij}[/mm]
> > überhaupt nur
> > hingeschrieben werden kann, weil die Addition
> kommutativ
> > (und assoziativ)
> > ist. Strenggenommen bedeutet nämlich
> > [mm]\sum_{i,j=1}^n a_{ij}\,,[/mm]
> > sofern es nicht irgendwo
> von
> > Eurem Dozenten mal anders definiert
> > worden ist, eigentlich
> > [mm]\sum_{(i,j) \in \{1,...,n\} \times \{1,...,n\}=\{1,...,n\}^2} a_{i,j}\,.[/mm]
>
> >
> > Dann kann man sich aber schnell klarmachen, dass
> > [mm]\sum_{i,j=1}^n a_{ij}=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}=\sum_{\red{j}=1}^n \sum_{\blue{i=1}}^n a_{ij}[/mm]
> > ist...
> >
> > Und weil's Dir anscheinend immer noch unklar ist:
> > Berechne mal für Matrizen [mm]\IR^n \ni A=\pmat{a_{11} & ...& a_{1n}\\...& ...& ...\\...& ...& ...\\ a_{n1} & ... & a_{nn}}[/mm]
>
> >
> > sowohl
> > [mm](\*)\;\;\;A*x_n[/mm]
> > als auch
> > [mm](\*\*)\;\;\;x_n^T \cdot A[/mm]
> >
> > ([mm]x_n\,[/mm] wie oben!) Du wirst sehen, dass bei [mm](\*)[/mm] ein Vektor
> > des
> > [mm]\IR^n[/mm] rauskommt, dessen [mm]k\,[/mm]-te Komponente/Zeile
> > ([mm]1 \le k \le n[/mm] natürlich) gerade die Summe der Einträge
> > der [mm]k\,[/mm]-ten
> > Zeile von [mm]A\,[/mm] beherbergt.
> > Analoges für die [mm]k\,[/mm]-te Komponente/Spalte des
> > Zeilenvektors, der bei
> > [mm](\*\*)[/mm] rauskommt - nur werden hier die Spalteneinträge
> > summiert.
> Doch ist mir klar.
> > Sowas muss man sich mal aufgeschrieben und nachgerechnet
> > haben.
> > Wobei man übrigens auch [mm](\*\*)[/mm] aus [mm](\*)[/mm] mittels des
> > Transpositionsgesetzes
> > [mm](A*B)^T=B^T*A^T[/mm]
> > und einer kleinen Zusatzüberlegung - man benutzt halt
> in
> > [mm](\*)[/mm] nicht
> > [mm]A\,,[/mm] sondern [mm]A^T\,,[/mm] nachdem man [mm](\*)[/mm] bewiesen hat - folgern
> > kann!
>
> also ich verstehe was [mm]x^{t}*A*x[/mm] nur wie zeige ich dass das
> größer null ist? mit x [mm]\in x_n:=(1,1,...,1)^T \in \IR^n[/mm]
> verstehe ich auch ist auch klar.
> ich weiß einfach nicht wie ich zeige dass es größer null
> ist.
Da gibts nichts zu zeigen !!! Nach Vor. ist A positiv definit , und das heißt:
[mm]x^{t}*A*x[/mm] >0 für alle x [mm] \ne [/mm] 0.
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:32 Mi 03.10.2012 | | Autor: | lisa2802 |
hi,
also ist der Sinn der aufgabe einfach die Definitonen niederzuschreiben?
NAtürlich steht in der AUfgabenstellung A sei pos.definite MAtrix und daher müssen die Definitonen gelten wie zb
[mm] \sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_ix_j=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}\ [/mm] >0
und mit geeignetem [mm] x_{n} [/mm] = (1, 1, [mm] 1,...)^{t} [/mm] gilt das?
Ist das alles?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Mi 03.10.2012 | | Autor: | fred97 |
Ja
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:56 Mi 03.10.2012 | | Autor: | lisa2802 |
Danke für eure Geduld und Hilfe :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Mi 03.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lisa,
> hi,
>
> also ist der Sinn der aufgabe einfach die Definitonen
> niederzuschreiben?
wir machen zwar nicht viel mehr, aber wir machen MEHR!
> NAtürlich steht in der AUfgabenstellung A sei pos.definite
> MAtrix und daher müssen die Definitonen gelten wie zb
> [mm]\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_ix_j=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}\[/mm] >0
> und mit geeignetem [mm]x_{n}[/mm] = (1, 1, [mm]1,...)^{t}[/mm] gilt das?
> Ist das alles?
Na, aus der Definition folgt nur
[mm] $$(\*)\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_ix_j [/mm] > 0 [mm] \text{ für alle }x \not=0\,.$$
[/mm]
Daraus erkennt man nun nicht unmittelbar, dass
daraus auch [mm] $\sum_{i,j=1}^n a_{ij} [/mm] > 0$ folgt. Weil aber [mm] $x_n=(1,1,...,1)^T \not=0$ [/mm] ist, und hier sind [mm] $x_k=1$ [/mm] für [mm] $k=1,...,n\,,$ [/mm] können wir dieses
spezielle [mm] $x_n\,$ [/mm] in [mm] $(\*)$ [/mm] benutzen, und dann folgt unmittelbar die
Behauptung.
Es scheint hier so, als wäre der Sinn der Aufgabe: Wenn eine Aussage
für alle $x [mm] \not=0$ [/mm] gilt, dann folgere eine andere Aussage, indem Du ein
spezielles [mm] $x\,$ [/mm] findest - das hat hier jedenfalls so funktioniert. Ich habe
mir mit Überlegungen, wie man mit "Matrix mal (geeigneter) Vektor"
einen Vektor findet, der gewisse Summen dann "in einen anderen Vektor
schreibt", überlegt, wie ein solches [mm] $x\,$ [/mm] vielleicht gefunden werden kann,
Fred hat einfach aufgeschrieben,was [mm] $x^T [/mm] A x$ im Endeffekt bedeutet
und sich dann damit überlegt, wie man ein solches finden kann. Es war
leicht, und wird Dir in Zukunft, wenn Du die Aufgabe nochmal sehen wirst,
total banal vorkommen. Aber Du hast doch selbst gemerkt, wie's bei Dir
anfangs gehadert hat.
Von solchen Aufgaben gibt's halt schwerere und halt auch total leichte:
Ein Bsp. für eine leichte: Man folgere (in [mm] $\IR$ [/mm] etwa) die 2e binomische
Formel aus der ersten, d.h. man darf das Wissen verwenden:
[mm] $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\,.$$
[/mm]
Wie bekommt man damit die zweite? Naja, man ersetzt einfach [mm] $b\,$ [/mm] durch
[mm] $-b\,.$
[/mm]
Nun eine schwerere Aufgabe dieser Art:
Im [mm] $\IR^n$ [/mm] will man gerne zeigen, dass die Cauchy-Schwarzsche
Ungleichung Bestand hat:
[mm] $$(x^T\cdot y)^2 \le \|x\|^2 \cdot \|y\|^2$$
[/mm]
Hier kann man das so beweisen (kannst Du bei Wiki nachlesen!):
Für ALLE $r [mm] \in \IR$ [/mm] und $x,y [mm] \in \IR^n$ [/mm] gilt
[mm] $$(\*)\;\;\;0 \le \|x-r*y\|^2=(x-r*y)^T \cdot (x-r*y)=\|x\|^2-2*r*x^Ty+r^2*\|y\|^2\,.$$
[/mm]
Für die SPEZIELLE WAHL
[mm] $$r:=x^Ty/\|y\|^2\,,$$
[/mm]
wobei man ohne Einschränkung schon $y [mm] \not=0$ [/mm] annimmt, folgt also
$$0 [mm] \le \|x\|^2-2(x^Ty)^2/\|y\|^2+(x^Ty)^2/\|y\|^2\,.$$
[/mm]
Daraus nun die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung zu folgern, ist jetzt
banal. Aber mal ehrlich: Hättest Du [mm] $(\*)$ [/mm] angesehen, dass daraus
die Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung folgt? Also hättest Du direkt das
[mm] $r\,$ [/mm] so wie oben passend definiert? Das halte ich doch für sehr
unwahrscheinlich!
Gruß,
Marcel
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