positive Determinante < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich habe eine kurze Frage. In meinem Buch steht folgendes:
..die Matrix ist symmetrisch und positiv definit. folglich ist die Determinante >0.
Weiss jemand zufällig, warum dies daraus folgt?
Liebe Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:13 So 27.06.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
positiv definite symetrische Matrizen sind diagonalisierbar und besitzen nur Eigenwerte [mm] \lambda_i [/mm] > 0
Daraus folgt, die Determinate ist ebenfalls > 0
|
|
|
| |
|
Oh vielen Dank für die Antwort.
Warum sind diese Matrizen denn Diagonalisierbar? braucht man dafür beide Voraussetzungen (also symmetrisch und positiv definit)?
Liebe Grüße
raubkätzchen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 So 27.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Oh vielen Dank für die Antwort.
>
> Warum sind diese Matrizen denn Diagonalisierbar? braucht
> man dafür beide Voraussetzungen (also symmetrisch und
> positiv definit)?
schau' Dir am besten nochmal an, was eine ![[]](/images/popup.gif) Diagonalisierung ist, und Du kannst Deine Fragen selbst beantworten:
Die positive Definitheit einer symmetrischen quadratischen Matrix ist hinreichend dafür, dass sie diagonalisierbar ist. Es gibt durchaus auch symmetrische quadratische Matrizen, die nicht positiv definit sind, aber dennoch diagonalisierbar.
(Eines kannst Du doch schon selbst überlegen
$$A [mm] \text{ positiv definit} \gdw [/mm] x^TAx >0 [mm] ,\;x \not={\bf 0} \gdw x^T(-A)x [/mm] < [mm] 0,\; [/mm] x [mm] \not={\bf 0} \gdw [/mm] -A [mm] \text{ negativ definit}\,.$$
[/mm]
Und wie sieht's denn mit der Diagonalisierbarkeit von [mm] $-A\,$ [/mm] aus, wenn man etwas über die Diagonalisierbarkeit von [mm] $A\,$ [/mm] weiß?)
Zudem:
Für symmetrische positiv definite Matrizen gilt die Aussage mit den Eigenwerten, vgl. z.B. Wiki, Definitheit.
Aber lies' auch mal Wiki, lineare Algebra:
"Ein Endomorphismus (bzw. eine quadratische Matrix) ist genau dann diagonalisierbar,..."
Beste Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
Vielen Dank für deine Hilfe Marcel,
Also ich habe nochmal nachgesehen, und eine Matrix ist doch Diagonalisierbar genau dann wenn das ch. polynom in Linearfaktoren zwerfällt und algebraische und geometrische Vielfachheit gleich sind (für jeden Eigenwert). Nur warum muss das so sein?
Deinen Kommentar, dass es(positiv definitheit und symmetrie) kein notwendiges Kriterium für die Diagonalisierbarkeit ist, verstehe ich. Danke.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 So 27.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für deine Hilfe Marcel,
>
>
> Also ich habe nochmal nachgesehen, und eine Matrix ist doch
> Diagonalisierbar genau dann wenn das ch. polynom in
> Linearfaktoren zwerfällt und algebraische und
> geometrische Vielfachheit gleich sind (für jeden
> Eigenwert). Nur warum muss das so sein?
das habe ich nun leider auch nicht mehr so ganz im Kopf. Da muss man sich nochmal mit Eigenräumen, Eigenwerten (und vll. sogar Jordan-Normalform?) etc. befassen. Hast Du kein gutes Skript zur L.A.?
> Deinen Kommentar, dass es(positiv definitheit und
> symmetrie) kein notwendiges Kriterium für die
> Diagonalisierbarkeit ist, verstehe ich. Danke.
Die positive Definitheit für eine symmetrische quadratische Matrix ist doch schon hinreichend für die Diagonalisierbarkeit. Aber wenn [mm] $A\,$ [/mm] diagonalisierbar ist, dann ist doch sicher auch [mm] $-A\,$ [/mm] diagonalisierbar. (Warum?)
Daher:
Sei [mm] $A\,$ [/mm] symmetrische quadratische Matrix und positiv definit. Dann ist [mm] $A\,$ [/mm] und damit auch [mm] $-A\,$ [/mm] diagonalisierbar. Meine obige Rechnung zeigt aber, dass [mm] $-A\,$ [/mm] negativ definit ist. Also kann die Diagonalisierbarkeit einer symmetrischen quadratischen Matrix nicht implizieren, dass die Matrix auch positiv definit sei. (Sonst müßte ja [mm] $-A\,$ [/mm] als diagonalisierbare Matrix auch positiv definit sein, was nun ein offensichtlicher Widerspruch ist.)
Beste Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:56 So 27.06.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
> Also ich habe nochmal nachgesehen, und eine Matrix ist doch
> Diagonalisierbar genau dann wenn das ch. polynom in
> Linearfaktoren zwerfällt und algebraische und
> geometrische Vielfachheit gleich sind (für jeden
> Eigenwert). Nur warum muss das so sein?
Beim Diagonalisieren verwendet man für die Transformation ja eine Matrix mit den Eigenvektoren als Spalten. Diese Matrix kommt auch als Inverse vor. Damit eine Matrix invertier bar ist, muss sie ja bijektiv sein, bzw. linear unabhängige Spaltenvektoren haben. Hast du zu zwei Eigenwerten nur einen Eigenvektor, musst du den doppelt zählen. Das fürt aber zu zwei linear abhängigen Vektoren in der Matrix.
Gruss
|
|
|
|
