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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:23 Fr 13.03.2009 | | Autor: | AriR |
hey leute,
potenzen der form [mm] a^x [/mm] für [mm] a,x\in\IR [/mm] schreibt man gewöhnlich folgendermaßen um:
[mm] a^x= e^{log(a)*x}
[/mm]
könnte man das nicht anstatt e zB auch ne 2 etc nehmen?
also [mm] a^x=2^{2^{-1}(a)*x} [/mm] wobei [mm] 2^{-1} [/mm] die umkerfunktion zu [mm] 2^x [/mm] sein soll.
oder ganz allgemein eine funktion f für die gilt:
[mm] 1.f(x*a)=f(x)^a
[/mm]
2.f hat eine umkehrfunktion [mm] f^{-1}
[/mm]
dann gilt nämlich
[mm] a^x= f(f^{-1}(a)*x)=f(f^{-1}(a))^x=a^x
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:32 Fr 13.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hey leute,
>
> potenzen der form [mm]a^x[/mm] für [mm]a,x\in\IR[/mm] schreibt man gewöhnlich
> folgendermaßen um:
>
> [mm]a^x= e^{log(a)*x}[/mm]
das stimmt so nicht ganz. Es gilt [mm] $a^x=e^{x*\log(a)}$ [/mm] für alle [mm] $\blue{a >0}$ [/mm] und alle $x [mm] \in \IR$.
[/mm]
> könnte man das nicht anstatt e zB auch ne 2 etc nehmen?
>
> also [mm]a^x=2^{2^{-1}(a)*x}[/mm] wobei [mm]2^{-1}[/mm] die umkerfunktion zu
> [mm]2^x[/mm] sein soll.
O Gott, bitte nicht diese Notation verwenden. [mm] $2^{-1}=1/2\,,$ [/mm] das ist ganz klar, das lernt man bei der ![[]](/images/popup.gif) Einführung negativer Exponenten. Wenn Du eine Umkehrfunktion zu der Funktion [mm] $\IR \to \IR$, [/mm] $x [mm] \mapsto 2^x$ [/mm] noch nicht kennst, so wäre eigtl. zunächst die Existenz einer solchen zu begründen. Wenn Du dies dann getan hast, dann bezeichne meinetwegen mit [mm] $2^{\text{inv}}$ [/mm] diese Umkehrfunktion. Sie hat aber einen Namen:
Es ist der Logarithmus zur Basis [mm] $2\,$, [/mm] im Zeichen [mm] $\log_2(.)\,,$ [/mm] und das ist eine Funktion [mm] $(0,\infty) \to \IR$, [/mm] $x [mm] \mapsto \log_2(x)\,.$
[/mm]
Es gilt dann übrigens die Beziehung
[mm] $$\log_2(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(2)}\;\;\;(x [/mm] > [mm] 0)\,.$$
[/mm]
Wobei der [mm] $\ln(.)$ [/mm] hier nichts anderes als den Logarithmus naturalis bezeichnet, denn Du oben mit [mm] $\log(.)$ [/mm] bezeichnet hast.
Somit könnte man dann (für $a [mm] \,>0$) [/mm] auch schreiben
[mm] $$a^x=(2^{\log_2(a)})^x=2^{x*\log_2(a)}\,.$$
[/mm]
Das ganze klappt auch, wenn man anstatt der [mm] $2\,$ [/mm] eine andere Zahl [mm] $\,> [/mm] 0$ hernimmt (sofern man $x [mm] \in \IR$ [/mm] oder auch nur $x [mm] \in \IQ$ [/mm] zuläßt, ist das eine notwendige Bedingung), aber es gibt dann auch noch eine Problemzahl, nämlich die [mm] $1\,.$ [/mm] Die Funktion $x [mm] \mapsto 1^x$ [/mm] ist nämlich nicht umkehrbar.
Aber generell kannst Du Dir merken:
Sind $a,b [mm] >\, [/mm] 0$ und $b [mm] \not=1$ [/mm] fest, so gilt für jedes $x [mm] \in \IR$
[/mm]
[mm] $$a^x=b^{x*\log_b(a)}\,.$$
[/mm]
> oder ganz allgemein eine funktion f für die gilt:
>
> [mm]1.f(x*a)=f(x)^a[/mm]
> 2.f hat eine umkehrfunktion [mm]f^{-1}[/mm]
>
> dann gilt nämlich
>
> [mm]a^x= f(f^{-1}(a)*x)=f(f^{-1}(a))^x=a^x[/mm]
Ja, aber natürlich wäre die Frage naheliegend, ob eine Exponentialfunktion (mit Basis $a [mm] >\, [/mm] 0$, $a [mm] \not=1$) [/mm] alleine durch diese Eigenschaften [mm] $f(a*x)=f(x)^a$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$), [/mm] Umkehrbarkeit charakterisiert ist.
Aber eine jede Funktion dieser Bauart erfüllt sicher 1. und 2., 1. ergbt sich aus
[mm] $$f(x)=a^x \Rightarrow f(a*x)=a^{a*x}=(a^x)^a=(f(x))^a\;\;\;(x \in \IR)\,.$$
[/mm]
P.S.:
Generell könnte auch der Artikel Wiki: Logarithmus für Dich von Interesse sein.
Gruß,
Marcel
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