potenzieren von Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:17 Do 29.11.2012 | | Autor: | lukas843 |
| Aufgabe | Sei $X=E*F*G$ Berechnen Sie [mm] $X^n$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] 2$
Wenn [mm] E=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0&0 \\ 0&-1&1&0\\0&0&-1&1 }
[/mm]
[mm] F=\pmat{0&1&2&2\\0&0&3&1\\0&0&0&2\\0&0&0&0}
[/mm]
[mm] G=\pmat{1&0&0&0\\1&1&0&0\\1&1&1&0\\1&1&1&1} [/mm] |
X habe ich schonmal ausgerechnet:
[mm] X=\pmat{4&4&3&1\\0&0&1&0\\-2&-2&-2&1\\-2&-2&-2&-2}
[/mm]
Ist das so korrekt? Wie löse ich nun [mm] X^n?
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 Do 29.11.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
die Matrix X stimmt nicht, wie Du sie ausgerechnet hast. X hat folgendes Aussehen
[mm] X=\pmat{ 5 & 5 & 4 & 2 \\ -1 & -1 & 0 & -1 \\ -2 & -2 & -2 & 1 \\ -2 & -2 & -2 & -2 }
[/mm]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:20 Do 29.11.2012 | | Autor: | lukas843 |
Oh ja stimmt. Und wie mach ich das jetzt mit meiner eigentlichen frage?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:36 Fr 30.11.2012 | | Autor: | lukas843 |
Wie kann man [mm] X^n [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] 2 berechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:44 Fr 30.11.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo!
Bestimme die Jordannormalform der Matrix [mm]X[/mm].
Dann ist [mm]X^n=\left(SDS^{-1}\right)^n=...[/mm]
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:55 Fr 30.11.2012 | | Autor: | lukas843 |
Aus dem Wikipedia artikel dazu werde ich leider nicht schlau :(
Es wäre schön wenn mir jemand das etwas anschaulicher erklären könnte.
mfg lukas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:50 Sa 01.12.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
wie bereits ullim geschrieben hat. Berechne doch einfach mal die ersten paar Potenzen!
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Sa 01.12.2012 | | Autor: | lukas843 |
Ok das habe ich jetzt gemacht und raus kam:
$ [mm] X^2=\pmat{ 8 & 8 & 8 & 5 \\ -2 & -2 & -2 & 1 \\ -6 & -6 & -6 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm] $
$ [mm] X^3=\pmat{ 6 & 6 & 6 & 6 \\ -6 & -6 & -6 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm] $
[mm] $X^4$ [/mm] ist dann eine Nullmatrix und dann gehts ja immer so weiter.
Ist das richtig?
Aber wie mache ich es allgemein? wenn ich nachher eine komplexere Matrix habe die nicht nach dem 4. mal multiplizieren zum Nullvektor wird muss ich das ja allgemeiner aufschreiben .
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Sa 01.12.2012 | | Autor: | teo |
> Ok das habe ich jetzt gemacht und raus kam:
> [mm]X^2=\pmat{ 8 & 8 & 8 & 5 \\ -2 & -2 & -2 & 1 \\ -6 & -6 & -6 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> [mm]X^3=\pmat{ 6 & 6 & 6 & 6 \\ -6 & -6 & -6 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> [mm]X^4[/mm] ist dann eine Nullmatrix und dann gehts ja immer so
> weiter.
>
> Ist das richtig?
Habe jetzt nicht nachgerechnet. Aber bei der Aufgabenstellung war zu erwarten, dass da irgendwann eine Nullmatrix entsteht. Der Rest geht dann mit Induktion.
> Aber wie mache ich es allgemein? wenn ich nachher eine
> komplexere Matrix habe die nicht nach dem 4. mal
> multiplizieren zum Nullvektor wird muss ich das ja
> allgemeiner aufschreiben .
Also, eine Matrix kann schonmal nicht zu einem Vektor werden. Sie wird zur Nullmatrix. Außerdem kann ich mir nicht vorstellen, dass es da eine Möglichkeit gibt, das allgemein zu machen.
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Sa 01.12.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
ich habe das nicht nachgerechnet!
Allerdings hast du Recht. Hier hast du Glück, dass du bereits so früh siehst, dass die Matrix nilpotent ist.
Wenn du mal eine andere Matrix hast, bei der das nicht gleich ersichtlich wird, bestimme die Jordannormalform [mm]X=SDS^{-1}[/mm], mit Diagonalmatrix D.
Dann ist [mm]X^n=(SDS^{-1})^n=SD\underbrace{S^{-1}S}_{I_n}DS^{-1}*\ldots{}*SD\underbrace{S^{-1}S}_{I_n}DS^{-1}=SD^nS^{-1}[/mm] mit [mm]I_n\in\IR^{n\times{n}}[/mm] Einheitsmatrix.
Und die Potenz einer Diagonalmatrix erhälst du durch Potenzieren der Diagonalelemente.
Das dürfte als kurze Info genügen!?
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 So 02.12.2012 | | Autor: | lukas843 |
Ich werd daraus leider nicht schlau :( kann mir jemand ein beispiel zur jordannormalform geben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 So 02.12.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
nehme z.B. die Matrix [mm] A=\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }
[/mm]
Berechne die Eigenvektoren [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] von A. Bilde die Matrix [mm] S=\pmat{ v_1 & v_2 } [/mm] und berechne [mm] S^{-1}
[/mm]
Danach bilde [mm] S^{-1}*A*S. [/mm] Das Ergebnis sollte eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten [mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] \lambda_2 [/mm] auf der Diagonalen sein.
exp(A) berechnet sich dann wie von barsch beschrieben zu [mm] S*\pmat{ e^{\lambda_1} & 0 \\ 0 & e^{\lambda_2} }*S^{-1}
[/mm]
In diesem Beispiel ergeben sich folgende Matrizen und Eigenwerte
[mm] S=\pmat{ -0.416 & -0.825 \\ -0.909 & 0.566 }
[/mm]
[mm] S^{-1}=\pmat{ -0.574 & -0.837 \\ -0.923 & 0.422 }
[/mm]
[mm] \lambda_1=5.372
[/mm]
[mm] \lambda_2=-0.372
[/mm]
[mm] exp(A)=\pmat{ 51.969 & 74.737 \\ 112.105 & 164.074 }
[/mm]
Kann man auch mit dem Potenzreihenansatz [mm] exp(A)=\summe_{i=1}^{\infity}\bruch{A^n}{n!} [/mm] kontrollieren.
Das ist jetzt ein Beispiel für eine diagonalisierbare Matrix A, im allg. kommt man, wie von barsch beschrieben, auf eine Jordan Normalform
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:32 Fr 30.11.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
berechne einfach mal [mm] X^3 [/mm] und [mm] X^4, [/mm] dann siehst Du schon was raus kommt.
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