potenzreihenansatz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:18 Di 15.08.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | | Man löse die DGL y'=y², y(0)=1 mit einem Potenzreihenansatz. |
Hallo, könnt ihr mir bitte bei dieser aufgabe weiterhelfen?
und zwar hab ich so angefangen:
y= [mm] \summe_{i=0}^{\infty} a_n x^n
[/mm]
y' = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} [/mm] n [mm] a_n x^{n-1}
[/mm]
und jetzt müsste ich diese beiden reihen ja wieder in die dgl einsetzen um koeffvgl machen zu können.
ich häng aber an y² = [mm] (\summe_{i=0}^{\infty} a_n x^n)² [/mm]
- wie kann ich das berechnen? oder umschreiben? *help*
viele grüße
riley
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Erstmal: Schau dir nochmal deine Zählervariablen an, da ist dir dicher ein Tippfehler unterlaufen, oder?
Dann noch ein Tipp: Du solltest die Indizes aller Summen so umschreiben, daß überall [mm] x^n [/mm] steht. Sonst gibts Verwirrung bein Vergleich! Dazu mußt du natürlich auch die Grenzen anpassen.
Nun zu deinem Problem:
[mm] $y^2=\left( \summe_n a_nx^n\right)^2=\summe_k a_kx^k\summe_l a_lx^l=\summe_{k;l} a_ka_lx^{l+k}$
[/mm]
Insgesamt also:
[mm] $\summe (n+1)a_{n+1}x^n=\summe_{k;l} a_ka_lx^{l+k}$
[/mm]
das heißt also
[mm] $(n+1)a_{n+1}=\summe_{k+l=n} a_ka_l$
[/mm]
was man noch umformen könnte zu
[mm] $a_{n+1}=\bruch{1}{n+1}\summe_{m=0}^n a_ma_{n-m}$
[/mm]
Das ist die Lösung! [mm] a_0 [/mm] ist freier Parameter, und alle weiteren ergeben sich jeweils aus allen vorherigen.
Evtl kannst du das mit einer Taylorreihe der analytischen Lösung vergleichen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 Di 15.08.2006 | | Autor: | Riley |
ganz vielen dank für deine erklärung, das hat mir viel geholfen!!!
und ich habs endlcih verstanden =)
nur der leztzte schritt ist mir nicht ganz klar, warum hast du [mm] \summe_{k+l=n} a_ka_l [/mm] zu [mm] \summe_{m=0}^n a_ma_{n-m} [/mm] umgeformt ?
wie kommst du zu diesen indizes m und n-m??
edit: hab noch ne frage: warum hast du bei dem Koeff.vgl auf der linken seite das summenzeichen weggelassen, auf der rechten aber nicht??
wenn ich z.B. hab y'=y mit y(0)=5.
d.h. [mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] (n+1) [mm] a_{n+1} x^n [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n x^n
[/mm]
ist die lösung dann [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \frac{1}{n+1} summe_{n=0}^{\infty}a_n
[/mm]
oder einfach [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \frac{1}{n+1} a_n [/mm] ?
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Nun, wir summieren ja über alle n.
Und dann wollen wir uns nur die Koeffizienten von einem [mm] x^n [/mm] anschauen.
Also von [mm] $\summe_n a_nx^n$ [/mm] gehen wir zu [mm] a_nx^n
[/mm]
AUf der anderen Seite wollen wir das auch. Die Summe dort besagt aber daß wir über alle k und l summieren, und da dort [mm] x^{k+l} [/mm] steht, müssen wir alle die Folgenglieder, bei denen k+l=n gilt, addieren
Nochmal für n=3:
Links steht [mm] $a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+a_3x^3$, [/mm] und wir schauen und nur die Koeffizienten von z.B. [mm] x^3 [/mm] an.
Wenn ich mir aber die Folgeglieder rechts anschaue, finde ich dort mehrere Glieder, die [mm] x^3 [/mm] haben, nämlich [mm] $a_0x^0a_3x^3+a_1x^1a_2x^2+a_2x^2a_1x^1+a_3x^3a_0x^0=x^3*\summe_{k+l=3}a_ka_l$
[/mm]
Diese Summe ist der Koeffizient von [mm] x^3.
[/mm]
Nun, und wenn du dir die Summe nochmal scharf anschaust, so geht der erste Index von 0 bis n, und der zweite von n bis 0. Wenn der erste Index m ist, ist der zweite grade (3-m)
Ich habe das gemacht, um aus dre Doppelsumme über zwei Indizes eine einfache über einen Index zu machen.
Schau dir meine Gleichungen genau an, insbesondere, wie die Indizes laufen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:31 Mi 16.08.2006 | | Autor: | Riley |
oh, das ist ja kompliziert, aber danke, du hast das wirklich gut erklärt!! =)
habs mir gleich aufgeschrieben!
d.h. bei dem zweiten bsp y'=y wäre dann [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \frac{1}{n+1}a_n, [/mm] da das hier keine doppelsumme ist (also nich mehrere glieder mit [mm] x^n), [/mm] hab ich das richtig verstanden?
viele grüße
riley
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Setz doch mal ein!
[mm] $a_1=C$
[/mm]
[mm] $a_2=\bruch{C}{2}$
[/mm]
[mm] $a_3=\bruch{C}{2*3}$
[/mm]
[mm] $a_4=\bruch{C}{2*3*4}$
[/mm]
[mm] $a_5=\bruch{C}{2*3*4*5}$
[/mm]
[mm] $a_n=\bruch{C}{n!}$
[/mm]
[mm] $f(x)=C*\summe_n\bruch{1}{n!}x^n=C*e^x$
[/mm]
Mir scheint, [mm] $C*e^x$ [/mm] ist eine Lösung für $y'=y$ 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:52 Mi 16.08.2006 | | Autor: | Riley |
ahh, okay, vielen vielen dank für deine hilfe!!! :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Do 24.08.2006 | | Autor: | Riley |
Hi!
jetzt hab ich doch nochmal ne frage zu dieser Aufgabe:
man bekommt ja raus:
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n+1} \summe_{m=0}^{n}a_m a_{n-m} [/mm] mit [mm] a_0=1.
[/mm]
und wenn ich nun einsetze, dann bekomm ich:
[mm] a_0 [/mm] = 1
[mm] a_1 [/mm] = [mm] \summe_{m=0}^{0} a_m a_{0-m} [/mm] = [mm] a_0 a_1 [/mm] = 1
[mm] a_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \summe_{m=0}^{1} a_m a_{1-m} [/mm] = [mm] 1/2(a_0a_1+a_1a_0) [/mm] = 1/2 (1+1) = 1
[mm] a_3 [/mm] = 1/3 (1+1+1) = 1
... das ist irgendwie komisch, weil ich da immer 1 herausbekomme?
was ist denn meine lösungsfunktion?
viele grüße
riley
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Do 24.08.2006 | | Autor: | fisch000 |
Da ich zufällig auch an dieser Aufgabe sitze stelle ich meine Frage hier rein falls es niemandem was ausmacht. Mein Problem bei solchen Aufgaben ist dieser Koeffizientenvergleich. Ich weiss einfach nicht wie man den durchführt. Wäre vllt. jemand so nett und könnte den mir kurz und auf verständliche Weise erklären wie das funktioniert ?
MfG fisch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:43 Do 24.08.2006 | | Autor: | Riley |
hi fisch!
event_horizon hat das weiter oben schon voll gut erklärt, am besten du liest dir das nochmal durch...
bei dem bsp y' = y ist es vielleicht einfacher zu sehen:
y= [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n x^n
[/mm]
y' = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] n [mm] a_n x^{n-1} [/mm]
hier fängt man bei n=1 an zu summieren, da die konstante beim differenzieren ja wegfällt.
um den koeff.vgl zu machen, muss man sich aber die gleiche potenz von x anschauen, deshalb muss man umnummerieren:
y' = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] (n+1) [mm] a_{n+1} x^{n}
[/mm]
koeff.vgl ergibt nun:
(n+1) [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_n, [/mm] also [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \frac{1}{n+1} a_n
[/mm]
viele grüße
riley
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Do 24.08.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Mathemaduenn!
Danke für den tipp, auf diesem weg hab ich sie auch schon gelöst [mm] y=-\bruch{1}{x+c}. [/mm] nur in der aufgabestellung steht drin, dass man sie mit potenzreihenansatz lösen soll und deshalb hab ich mich gefragt wie man nach dem koeff.vgl und einsetzen dann explizit y angeben kann??
viele grüße
riley
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Hallo Riley,
Wenn Du die Lösung über einen Potenzreihenansatz machst ist die Lösung eben die gefundene Potenzreihe.
Um zu testen ob die richtig ist kannst du ja [mm] y=\bruch{1}{1-x} [/mm] (nach Einsetzen der Anfangswerte) in eine Taylorreihe entwickeln.
viele grüße
mathemaduenn
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Trennung der Veränderlichen