prime Restklassengruppe < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 So 25.01.2009 | | Autor: | mavis |
| Aufgabe | G sei die prime Restklassengruppe (Z/35Z)*. Beweisen Sie:
a) G ist direktes Produkt zweier zyklischer Gruppen der Ordnungen 4 und 6
b) Jedes x aus G erfüllt x^12=1
c) sigma: G-->G: x --> [mm] x^5 [/mm] ist ein Gruppenautomorphismus mit sigma^-1 = sigma |
Hallo,
ich sitze wieder vor einer Examensaufgabe und komme kaum weiter. Was die Gruppenordnung ist oder was ein erzeugendes Element ist etc. weiß ich, aber leider kann ich keine Beweise angeben.
Zu Teil a) Phi von 35 ist das Produkt von Phi von 5 und Phi von 7. Da 5 und 7 teilerfremd sind, außerdem Primzahlen sind, bilden sie eine zyklische Gruppe. Das Produkt zweier zyklischer Gruppen ist wieder zyklisch. Phi von 5 ist 4 und phi von 7 ist 6. Also ist G direktes Produkt zweier zyklischer Gruppen der Ordnungen 4 und 6. Das ist doch kein Beweis oder?
Zu Teil b) Ich scheitere schon dabei, eine Primitivwurzel zu finden. Da es per Hand sehr aufwendig ist [mm] (2^1 [/mm] =1 mod 35, [mm] 2^2 [/mm] = 4 mod 35, .... , [mm] 2^7 [/mm] = 23 mod 35, [mm] 2^8 [/mm] = 11 mod 35... ). Wie kann man am einfachsten eine Primitwurzel finden ohne jedes Element potenzieren zu müssen? Reicht es dann aus einfach die gefundenen Primitivwurzeln hoch 12 zu nehmen und zu gucken ob b) gilt?
Zu Teil c) Kann man verwenden, dass 35 das Produkt aus 5 und 7 ist? (Z/5Z)* x (Z/7Z)* --> (Z/35Z), da ord=phi(5) x phi(7) das gleiche wie insgesamt phi(5*7) Stück ist. Das ist aber sicherlich auch kein Beweis.
Über einen Lösungsvorschlag bin ich sehr dankbar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 So 25.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> Zu Teil a) Phi von 35 ist das Produkt von Phi von 5 und Phi
> von 7. Da 5 und 7 teilerfremd sind, außerdem Primzahlen
> sind, bilden sie eine zyklische Gruppe.
Soll was genau heißen?
> Das Produkt zweier
> zyklischer Gruppen ist wieder zyklisch. Phi von 5 ist 4 und
> phi von 7 ist 6. Also ist G direktes Produkt zweier
> zyklischer Gruppen der Ordnungen 4 und 6.
Und woher weiß ich das dies gleich obigen G ist?
> Das ist doch kein
> Beweis oder?
Irgendwie nicht ganz - du musst imo bei [m]\IZ_7\oplus \ZI_5[/m] starten, und dann weißt du was für jeden Faktor die Einheitengruppe ist, damit dann weitermachen.
> Zu Teil b) Ich scheitere schon dabei, eine Primitivwurzel
> zu finden.
Brauch man nicht - es folgt aus der a)! Was gilt denn dort für [m]x^{12}[/m]?
> Zu Teil c) Kann man verwenden, dass 35 das Produkt aus 5
> und 7 ist?
Nö.
> (Z/5Z)* x (Z/7Z)* --> (Z/35Z), da ord=phi(5) x
> phi(7) das gleiche wie insgesamt phi(5*7) Stück ist.
Und was ist die Abbildung?
> Das
> ist aber sicherlich auch kein Beweis.
Nein, viel mehr ist [m]5^2=25=1+2*12[/m] einer ... siehe auch b). Die Aufgaben haben was mit einander zu tun!
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:30 So 25.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > Zu Teil b) Ich scheitere schon dabei, eine Primitivwurzel
> > zu finden.
>
> Brauch man nicht - es folgt aus der a)! Was gilt denn dort
> für [m]x^{12}[/m]?
Nun, die braucht man nicht nur nicht, sondern die gibt es auch gar nicht. Wenn es eine gaebe, muesste [mm] $(\IZ/35\IZ)^\ast$ [/mm] naemlich zyklisch sein, was es laut a) nicht ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:22 Mo 26.01.2009 | | Autor: | mavis |
danke! Leider ist mir immer noch nicht klar, wie ich zu beweisen habe, dass (Z/35Z)* keine zyklische gruppe ist. Die Zusammenhänge sind mir wohl doch nicht so klar aber trotzdem vielen dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:07 Mo 26.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> danke! Leider ist mir immer noch nicht klar, wie ich zu
> beweisen habe, dass (Z/35Z)* keine zyklische gruppe ist.
> Die Zusammenhänge sind mir wohl doch nicht so klar aber
> trotzdem vielen dank
Verwende Aufgabenteil a) und beachte den Hauptsatz ueber endlich erzeugte Gruppen. Oder spezieller: wann ist das Produkt von zwei zyklischen Gruppen wieder zyklisch?
LG Felix
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