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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Fr 10.06.2005 | | Autor: | Marietta |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum vorher gestellt.
Wir machen gerade projektive Geometrie und beschäftigen uns jetzt öfter mit dem Gebilde [mm] \IP^n\IR. [/mm] Allerdings kann ich damit irgendwie nichts anfangen, da unser Prof auch nicht erklärt hat wie es definiert ist. Kann mir jemand helfen?
Und vielleicht hat jemand einen Tip für mich für folgende Aufgabe:
Zeigen Sie, dass jede projektive Geometrie mit 13 Punkten isomorph ist zu [mm] \IP^2 \IF_{3}.
[/mm]
Vielen Dank. Gruß Marietta
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Grüße!
Ja, bei projektiven Räumen ist die Vorstellung immens wichtig... dazu werde ich ihn als Menge beschreiben - natürlich hat er noch mehr Struktur, aber wo die Topologie genau herkommt ist vielleicht momentan nicht so wichtig.
Also, fangen wir klein an, in Dimensionen, die man sich vorstellen kann. Man nehme den [mm] $\IR^2$ [/mm] und betrachte die Menge aller 1-dimensionalen Unterräume - also die Menge aller Ursprungsgeraden. Diese nennt man dann die Punkte des [mm] $\IP^1 \IR$. [/mm] Was ist das Besondere daran? Naja, man kann jede Ursprungsgerade durch ihre Steigung identifizieren, d.h. auf jeder Urpsrungsgeraden liegt der Punkt $(1,m)$, wo $m [mm] \in \IR$ [/mm] beliebig ist und zwei Geraden sind genau dann gleich, wenn ihre Steigung übereinstimmt.
Moment - jede Ursprungsgerade? Nein, es gibt eine, die sich widersetzt - die y-Achse. Diese Gerade ist ja nicht Graph einer Funktion von [mm] $\IR$ [/mm] nach [mm] $\IR$, [/mm] hat also gewissermassen "unendliche Steigung". Gut, dann nennen wir den Punkt mal [mm] $\infty$ [/mm] und fügen ihn hinzu. Damit haben wir so etwas wie
[mm] $\IP^1 \IR [/mm] = [mm] \IR \cup \{ \infty \} [/mm] = [mm] \IR \cup \IP^0 \IR$
[/mm]
Der [mm] $\IP^0 \IR$ [/mm] hat nur einen Punkt (es gibt nur eine Ursprungsgerade in [mm] $\IR^1$), [/mm] daher kann ich den mit [mm] $\{ \infty \}$ [/mm] identifizieren. Dass das wirklich Sinn macht sieht man, wenn man eine Dimension hinaufgeht.
Der [mm] $\IP^2 \IR$ [/mm] ist die Menge aller Ursprungsgerade in [mm] $\IR^3$. [/mm] Jetzt kann man zwei Fälle unterscheiden:
1. Fall: Die berachtete Gerade liegt in der xy-Ebene, also jeder ihre Punkte hat als z-Koordinate 0. Die Menge all solcher Geraden jedoch ist der [mm] $\IP^1 \IR$, [/mm] denn die xy-Ebene ist ja der [mm] $\IR^2$.
[/mm]
2. Fall: Die Gerade liegt nicht in der Ebene. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Punkt darauf mit $z$-Koordinate 1: $(x,y,1)$. Die Werte $x,y [mm] \in \IR^2$ [/mm] bestimmen die Gerade wieder eindeutig.
Zusammenfassend: [mm] $\IP^2 \IR [/mm] = [mm] \IR^2 \cup \IP^1 \IR [/mm] = [mm] \IR^2 \cup \IR \cup \{ \infty \}$
[/mm]
Und so geht das weiter. Diese Möglichkeit der Beschreibung kann man auch in Koordinaten formulieren: Man kann ja eine Ursprungsgerade eindeutig durch einen Punkt festlegen, der nicht der Ursprung ist. Wenn wir uns also im [mm] $\IP^n \IR$ [/mm] befinden, liefert jeder Punkt des [mm] $\IR^{n+1}$, [/mm] der nicht der Nullpunkt ist, eine Ursprungsgerade. Man schreibt das Element des projektiven Raumes dann so:
[mm] $(x_0 [/mm] : [mm] \ldots [/mm] : [mm] x_n)$ [/mm] und nennt das "homogene Koordinaten". Natürlich kommt dieselbe Gerade heraus, wenn man alle Koordinaten mit einem beliebigen [mm] $\lambda \in \IR$ [/mm] multipliziert, also läßt man diese Operation zu.
Alles klar? 
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Sa 11.06.2005 | | Autor: | Marietta |
Hallo Lars,
Danke für die Erklärung; hat mir echt weitergeholfen.
Ist dann der [mm] \IP^2 \IF_{3}= \IF_{3}^2 \cup\IF_{3} \cup{\infty}?
[/mm]
Und wenn man zeigen will das dies isomorph ist zu jeder projektiven Geometire mit 13 Punkten, dann muss man doch zeigen, dass es eine bijektive Abbildung gibt... Zu einer projektiven Geometrie lautet der Anfang unserer Definition so: Eine projektive Geometrie besteht aus einer Menge von Punkten P, G [mm] \subseteq [/mm] Pot(P), so dass gilt...
Heißt das, dass hier mein P 13 Punkte enthält?
Gruß Marietta
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Genau das ist gemeint!
Ich habe nochmal eine grundsätzliche Idee hier gepostet - vielleicht hilft Dir das ja weiter.
Viel Erfolg!
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:37 Sa 11.06.2005 | | Autor: | Shaguar |
Moin,
nur ne kleine Anmerkung: Jan-Christoph ist kein Prof! und hat von Didaktik auch noch nix gehört. Ich komme mit den Aufgaben auch nicht voran.
Falls du mehr weist schick mal ne PN
Gruß Shaguar
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